企业管理第十六章 随机决策分析方法

1、第十六章章 随机机性决策策分析方方法人们在日日常生活活和工作作中经常常会遇到到一些与与随机因因素有关关、后果果不确定定，而又又必须做做出判断断和决定定的问题题.这类类问题称称为随机机性决策策问题.任任何一个个随机性性决策问问题都包包含两个个方面的的内容，即决策策人所采采取的行行动方案案（简称称决策）和和问题的的自然状状态（简简称状态态），而而且具有有两个基基本特点点：后果果的不确确定性和和后果的的效用.所谓后后果的不不确定性性，主要要是由于于问题的的随机性性，使得得问会出出现什么么状态是是不确定定的，所所以对策策人做出出的某种种决策以以后会出出现什么么后果也也是不确确定的.而效用用是后果果价值

2、的的量化，由于不不确定性性，无论论决策人人采用什什么策略略，都可可能会遇遇到事先先不能完完全预料料的后果果，这要要承担一一定的风风险，不不同的决决策人对对待风险险的态度度会不同同.因而而，同样样的后果果对不同同的策略略人产生生的效用用也会不不同.即即使在没没有风险险的情况况下，不不同的决决策人对对待各种种后果也也有不同同的偏好好，为此此，在进进行定量量分析之之前，就就应该确确定出所所有后果果的效用用.只有有这样，人们才才能比较较各种策策略的优优劣，根根据自己己的喜好好来选择择最佳的的决策方方案.在决策策分析中中，后果果的不确确定性和和对于后后果赋予予的效用用是两个个关键性性的问题题.为此此，对

3、于于状态的的不确定定性主要要用主观观概率来来表示，而后果果的效用用则用效效用理论论来研究究.16.11 随机机性决策策问题的的基本概概念16.11.1 主观概概率随机性决决策问题题的后果果的不确确定性，主要是是由状态态的不确确定性所所引起的的.状态态的不确确定性，往往不不能通过过在相同同条件下下的大量量重复试试验来确确定其概概率分布布（此称称客观概概率）是是有区别别的.主观概概率是决决策人进进行决策策分析的的依据，虽然他他与客观观概率有有本质的的区别，但在定定义概率率方面有有不同之之处，同同样遵循循客观概概率应该该遵循的的若干假假设、公公理和性性质等，因此，适用于于客观概概率的所所有的逻逻辑推

4、理理方法均均适用于于主观概概率.这这里仅给给出主观观概率所所服从的的基本假假设（或或称公理理系统）：（1）设设为一非非空集合合，其元元素可以以是某种种试验或或观察的的结果,也可以以是自然然的状态态.将这这些元素素记作抽抽象的点点,因而有有（2）设设F是中中的一些些子集AA所构成成的集合合,F满足足下列条条件:1）2）如果,则;3）如果可可列多个个,则它们们的并集集.（3）设是定定义在上上的实值值集函数数,如果它它满足下下列条件件,就称为为上的(主观或或客观)概率测测度,或简称称概率,这些条条件是1）对于每每个,有2）3）如果可可列多个个,，则这里称点点为基本本事件,中的集集称为事事件,是全体体

5、事件的的集合,称为事事件的(主观或或客观)概率,三元总总体称为为(主观或或客观)概率空空间.设定主观观概率的的方法主主要有:主观先先验分布布法、无无信息先先验分布布法、极极大熵(极大平平均信息息量)先验分分布法和和利用过过去数据据设定先先验分布布法等.效用函数数在随机性性决策问问题中,后果的的不确定定性是有有状态的的不确定定性引起起的.所以，在研究究后果的的效用时时要充分分考虑后后果的不不确定性性.设决策人人在选择择某一行行动时,决策问问题可能能的个后后果为后后果可能能发生的的概率分分别是且且用表示所所有后果果的概率率分布,并记则称称为展望望.所有有展望构构成的集集合记为为,可以验验证关于于凸

6、线性性组合是是封闭的的,即如果果而且则有有.对于任任意两个个展望,都存在在一定的的优先关关系,即即对于决决策人可可以认为为优于,或或与无差异异，或不不优于三三种情况况,将这这三种关关系分别别记为和和.这种种优先关关系反映映了决策策人对各各种后果果的偏好好程度.定义116.11 设设是定义义在展望望上的实实值函数数,且满满足（1）它它和在上上的优先先关系一一致,即即如果对对于所有有，有当且仅仅当;（2）它它在上是是线性的的,即如如果，而且则那么称是是定义在在展望上上的效用用函数.如果,则就是是表示以以概率选选择的期期望效用用.效用用是决策策人在有有风险的的情况下下对后果果的偏好好的量化化,因此此

7、,其中中包含有有决策人人对于一一个不确确定事件件可能冒冒风险的的态度,又称这这种效用用为基数数效用.如果所所研究的的事件是是确定的的事件,并不受受自然状状态的影影响,类类似地可可以定义义一个效效用来表表示决策策人对确确定事件件的各种种后果的的偏好程程度.对对于这类类事件,决策人人无需承承担风险险,相应应的效用用与基数数效用有有所不同同,在此此称之为为序数效效用.定义166.2 设为为所有确确定事件件的后果果的集合合,是定定义在上上的实值值函数,如果对对于任意意的有,当且且仅当,则称是是定义在在上的序数效效用函数数.基数效效用和序序数效用用的主要要区别是是:基数数效用在在正线性性变换下下是唯一一

8、的,而而序数效效用在保保序变换换下是唯唯一的.正线性性变换:.保序变变换：,对任意意为严格格的单调调增加函函数. MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equaatioon CChappterr 1 Secctioon 11 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 1 h * MERGEFORMAT 16.2 效用函函数理论论16.22.1 效用用与风险险的关系系 实际中中很多的的决策问问题都涉涉及经济济效益，对于这这类问题题，在后后果不确确定的情情况下，决策人

9、人的决策策往往是是效益和和风险并并存，但但对不同同的决策策人对待待风险的的态度一一般是不不同的，通常可可分为三三种态度度，即厌厌恶型、中立型型和喜好好型.假设决策策人面对对一种风风险的情情况有11/2的的机会得得不到任任何盈利利，也有有1/22的机会会盈利元元，即他他的期望望盈利为为元.如果果决策人人认为冒冒此风险险的期望望盈利只只等价于于比它低低的不冒冒风险的的盈利，则对待待风险的的态度为为厌恶型型的.否则对对待风险险的态度度为喜好好型的.如果决决策人认认为这和和不冒任任何风险险的另一一行为盈盈利元等等价，则则对待风风险的态态度是中中立型的的.这三种种不同的的态度可可以反映映在效用用函数上上

10、就是凹凹（上凸凸）函数数，线性性函数和和凸（下下凸）函函数.如如图166-1.(a)(b)(c)图16-1 三种不不同的效效用函数数曲线由图166-1（a）是是风险厌厌恶型的的效用函函数，即即有；由图166-1（b）是是风险中中立型的的效用函函数，即即有；由图166-1（c）是是风险喜喜好型的的效用函函数，即即有；实际中，很多的的情况效效用函数数的曲线线呈型，即在后后果的范范围内，决策人人对待风风险的态态度往往往会从厌厌恶风险险改变为为喜好风风险.如如图166-2.图16-2（aa）反映映了决策策人的财财产从小小到大，对待风风险的态态度从喜喜好到厌厌恶的改改变.图图16-2（bb）反映映了决策

11、策人的财财产随着着从损失失到盈利利的增加加，对待待风险的的态度会会从喜好好到厌恶恶的变化化.这是是最常用用的效用用函数.u(x)aoxoxu(x)(a)(b)图16-2 两类S型效用函数曲线损失函数数与风险险函数有的时候候不要效效用函数数，而是是用损失失函数来来做决策策分析.记损失失函数为为，它表表时示一一个决策策问题当当状态为为，决策策人的行行动为时时所产生生的后果果使决策策人所受受的损失失.损失失函数可可以为正正，也可可以为负负，它反反映决策策人获得得的利益益，后果果效用越越大，则则损失越越小.由由此可以以用效用用函数来来定义损损失函数数，即令令实际中，在有些些问题上上为了使使损失函函数总

12、是是为非负负的，也也可以定定义损失失函数为为在效用理理论中，我们说说明了期期望效用用能够合合理的表表示在风风险情况况下决策策人的偏偏好，因因此，期期望损失失也必然然是决策策人在风风险情况况下遭受受损失的的一个正正确测度度.16.22.3 随机机函数与与效用函函数随机决策策分析是是在一定定的条件件下，用用期望效效用来表表示一个个随机事事件效用用的一种种方法.在有价价证券问问题的研研究中，又提出出另外一一种在一一定的风风险情况况下制定定决策的的方法，称为随随机优势势法.假设问题题的效用用函数为为，其自自变量表表示财富富（为一一随机变变量）。实际中中的问题题总是有有，且在上有界界，对于于这种效效用函

13、数数可以分分为以下下几类：递增效用用函数 实际中，一般要要求财富富的效用用函数是是的非递递减函数数，即意意味着当当财富增增加时，它它的效用用总不会会减少.通常是是随着的的增加是是严格递递增的，而且是是有界的的.为此，我们假假设：对于任意意，当时有有；在上连续续，且有有界，即即存在使使；在上一次次可微，且在内内有. 记此类类效用函函数为，即这中类型型的效用用函数仅仅能反映映出财富富与风险险的关系系，但不不能反映映出决策策人对待待风险的的态度.因此中既既可包含含厌恶的的效用函函数，也也可包含含喜好风风险和风风险中立立的效用用函数.为此，还可以以进一步步分类.递增的凹凹效用函函数这种效用用函数是是递

14、增的的，故设设，而且且是严格格凹的，即在上具有有二阶连续有有界的导导数.记记为实际中常常用的类类函数有有幂函数：对数函数数：指数函数数：根据风险险和效用用函数的的关系，当存在在，且时时，定义义对待风风险态度度的局部部测度为为即是效用用函数的的曲率测测度，可可以证明明：如果果，则决决策人的的财产为为时，他他是厌恶恶风险的的.如果果，则决决策人的的财产时时，他是是风险中中立的.如果，则则决策人人财产为为时，他他是追求求风险的的，而且且愈大，他愈厌厌恶（或或追求）风险.递增的厌厌恶风险险的效用用函数实际中，多数决决策人对对小额盈盈亏的态态度是随随着财富富的积累累而变化化的，他他们的财财富积累累愈多，

15、对对小额盈盈亏所冒冒风险的的厌恶程程度愈小小.因此此，我们们假设是是的非递递增的函函数，则则可以得得到一类类效用函函数，记记为即是的一一个子类类. 由于于当时，是非递递增的。要使，即则故因此此，类函数数存在的的必要条条件是但但不是充充分条件件.上面给出出了适应应于不同同情况的的效用函函数的基基本形式式，实际际中需要要依据具具体问题题的性质质，来选选用合适适的效用用函数，对问题题进行研研究.16.33 DDVD在在线租赁赁问题数数学模型型16.33.1 问题题提出 随着信息息时代的的到来,电子商商务已成成为一个个重要的的商业途途径.在在线DVVD租赁赁就是其其中一种种典型的的经营方方式，但但在实

16、际际的经营营过程中中还是存存在很多多问题.下面我我们从复复杂的现现实情况况中考虑虑一个典典型的情情景. 鉴于业业务量的的考虑，网站有有必要采采用会员员制度，顾客需需缴纳一一定数量量的月费费成为会会员. 会员对对哪些DDVD有有兴趣，只要在在线提交交订单，网站就就能立即即了解他他们的需需求，并并通过快快递的方方式尽可可能满足足要求.会员提提交的订订单内容容包括他他对哪几几张DVVD感兴兴趣，对对不同的的DVDD的偏爱爱度，用用数字表表示.这这些DVVD是基基于其偏偏爱程度度排序的的.网站站会根据据手头现现有的DDVD数数量和会会员的订订单进行行分发.每个会员员每个月月租赁次次数不得得超过22次，

17、每每次获得得3张DDVD.会员看看完3张张DVDD之后，只需要要将DVVD放进进网站提提供的信信封里寄寄回（邮邮费由网网站承担担），就就可以继继续下次次租赁.1、由于于DVDD的更新新速度很很快，网网站必须须时常更更新现有有产品，因此在在现有会会员中随随机抽取取10000个会会员进行行调查，以得知知愿意观观看不同同DVDD的人数数（表11.1给给出了其其中5种种DVDD的数据据）.虽虽然网站站规定每每位会员员每月只只能借两两次DVVD，但但从历史史数据显显示，660%的的会员每每月租赁赁DVDD两次，而另外外的400%只租租一次.现在我我们假设设网站现现有100万个会会员，并并已经知知道会员员

18、对DVVD的需需求，以以及会员员每月订订DVDD的规律律.问题题是应该该至少准准备多少少张，才才能保证证希望看看到该DDVD的的会员中中至少550%在在一个月月内能够够看到？如果要要求保证证在三个个月内至至少955%的会会员能够够看到呢呢？ 表1.11 对110000个会员员调查的的部分结结果DVD名名称DVD11DVD22DVD33DVD44DVD55愿意观看看的人数数200100502510 2、尽尽可能多多的满足足会员是是经营中中的一大大目标，但每个个会员对对不同DDVD的的偏爱度度是大相相径庭的的，虽然然他们都都对该DDVD下下了订单单，但最最后得到到该张DDVD收收到的效效果差别别很

19、大，所以还还要考虑虑会员满满意度的的问题.表1.2列出出了网站站中200种DVVD的现现有张数数和当前前需要处处理的1100位位会员的的在线订订单.如如何对手手中已有有的DVVD进行行分配，以使所所有会员员的满意意度和达达到最大大？表1.22 现现有DVVD张数数和当前前需要处处理的会会员的在在线订单单（表格格格式示示例）DVD编编号D0011D0022D0033D0044DVD现现有数量量812210会员在线线订单C000010020C000021090C000030600C000040000C000055000D0011D0020表表示200种DVVD, C00001C01100表表示10

20、00个会会员，会会员的在在线订单单用数字字1,22,表示，数字越越小表示示会员的的偏爱程程度越高高，数字字0表示示对应的的DVDD当前不不在会员员的在线线订单中中. 3、在在实际的的经营过过程中，不可能能像刚才才讨论的的两个问问题这么么简单，我们不不可能将将顾客的的满意率率与他们们的满意意度割裂裂开来分分开研究究，可以以说这是是两个问问题是相相互牵制制的关系系.假设设表1.2中DDVD现现有数量量全部为为0.作为网网站经营营管理人人员，如如何决定定每种DDVD的的购买量量，以及及如何对对这些DDVD进进行分配配，才能能使一个个月内995%的的会员得得到他想想看的DDVD，并且满满意度最最大呢？

21、只有弄弄清楚这这个问题题，我们们才能初初步的对对DVDD在线租租赁问题题有个认认识.16.33.2 问题题分析 问题一一类似于于“货物存存储问题题（Innvenntorry pprobblemm）”，基本本思路是是跟踪DDVD在在一个月月（三个个月）内内的流动动情况，目标是是计算出出DVDD的流转转次数，然后再再结合满满意率要要求得出出所需准准备的DDVD数数量.问题二类类似于“分配问问题”或“指派问问题（AAssiignmmentt prrobllem）”，我们们可以对对偏爱度度进行适适当的处处理以满满足我们们的要求求.0-11规划是是处理该该问题的的最佳方方法，因因此如何何使用这这一方法法

22、将是研研究问题题二的关关键.问题三看看似是问问题一与与问题二二的结合合（存贮贮+分配配），但但实际要要复杂得得多.它它综合考考虑一个个月内DDVD的的购买、分配方方案，是是一个多多目标线线性规划划.从经济济效益看看，在保保证955%以上上会员一一个月内内看到想想看的DDVD的的情况下下，希望望购买尽尽量少的的DVDD，从社社会效应应看，则则要尽可可能多地地考虑让让总的满满意度最最大.这时，可可以将多多目标规规划变为为单目标标规划，以求得得一个经经济与社社会效益益的综合合最优.由于问问题三牵牵涉到两两次分配配，而对对会员满满意率的的理解又又有多种种解释，因此目目标及约约束函数数会和问问题一、问题

23、二二有很大大差别.而问题题三的模模型又可可从当前前满意度度最大和和一段时时间内满满意度最最大两个个角度来来考虑.16.33.3假假设条件件 11.对110000名会员员的调查查足以反反映100万名会会员对于于各种DDVD的的需求及及喜好；2.所有有会员提提交订单单的时间间是随机机的；3.一个个月的天天数为330天；4.会员员中有660%的的会员每每月租赁赁DVDD两次，40%的会员员每月租租赁DVVD一次次；5.会员员只有在在需要再再次租赁赁DVDD时，才才会将上上次租赁赁的DVVD归还还；6.会员员临近两两次借的的DVDD种类不不会重复复；7.每位位会员每每月至少少租赁11次；8.会员员本次

24、提提交后没没得到该该DVDD，则他他下次仍仍要看该该DVDD，且偏偏爱度不不变；9.每类类租赁出出的DVVD有660%在在每月租租赁2次次的会员员中，440%在在每月租租赁1次次的会员员中；10.公公司收到到订单时时不知道道此会员员在一个个月内会会借一次次或两次次.在实际建建模中还还会遇到到其他问问题，比比如问题题一中可可以淡化化会员每每次借三三张的条条件，即即会员每每次借的的DVDD数量不不固定；问题二二中不考考虑多次次分配的的问题；问题三三中对顾顾客满意意率的不不同理解解.因此此，我们们将在以以下讨论论具体问问题时再再给出.模型建立立与数值值求解 参数与与变量说说明：第时间间节点上上第种D

25、DVD的的可分配配量；：所有会会员中愿愿意观看看第种DDVD的的人的概概率；：所有会会员中每每月借22次的人人的概率率；：需要满满足的会会员比例例；：会员总总数；：所考虑虑的时间间跨度，即月份份数；：第个会会员对第第种DVVD的偏偏爱程度度；：第个会会员对第第种DVVD的满满意度；：分配变变量，表表示第个个会员得得到第种种DVDD，否则则为0；：网站第第种DVVD的现现有数量量.其余特殊殊的变量量将在后后面的讨讨论中具具体说明明.问题一：悲观情情况估计计 一个月月 假设DVVD1其其购买量量为，从从表1可可以认为为想看DDVD11的有22万人，而会员员一个月月借1次次或借22次是随随机的，这就

26、可可能出现现极端的的情况，即第一一次分配配时正好好所有11类会员员都分配配到了DDVD11，我们们把这种种情况称称为悲观观情况.则的一部部分首先先被会员员总数440%的的1类会会员借走走了，而而且在该该月不会会归还.那么，为了保保证至少少有500%的会会员在一一个月内内能看到到该DVVD，则则DVDD1总的的购买量量应满足足：同理，设设为愿意意看第 种DVVD的人人的概率率，可从从表1中中将愿意意看该DDVD的的人数除除以总人人数可获获，则55种DVVD的购购买量为为:DVD名名称DVD11DVD22DVD33DVD44DVD55购买量90000450002250011255450问题一：悲观

27、情情况估计计三个个月 从“一月月情况”，我们们可以推推广到“三月情情况”.如果，则则每次分分配都将将只能由由每月借借一次的的会员的的到DVVD，这这样三个个月中DDVD11的流动动量就仅仅为，为为了保证证至少有有50%的会员员在一个个月内能能看到该该DVDD，那么么此时DDVD11总的购购买量应应该满足足同理，对对于其余余4种DDVD的的购买量量有，为保证三三个月内内至少995%的的会员看看到他想想看的DDVD，每种DDVD的的购买量量为：DVD名名称DVD11DVD22DVD33DVD44DVD55购买量633443167715844792317问题一：均值情情况估计计现实中，每天都都会有订

28、订单提交交，也有有DVDD归还，而且都都是服从从参数为为的普哇哇松分布布.考虑虑平均情情况，认认为：660%的的会员115天归归还DVVD，440%的的会员一一个月归归还，即即对于每每张DVVD有660%的的可能115天流流通一次次，400%的可可能300天流动动一次.假设所所有会员员在每个个月的某某天（不不妨为11号）提提交订单单，那些些2类会会员也集集中在115号归归还并提提交下一一份订单单，则可可以发现现上述的的简化是是普哇松松分布的的平均情情况.因因此，在在处理时时可以不不考虑每每个会员员的具体体租赁、归还的的时间，而只考考虑每个个月两次次的分配配方案，即1号号和155号的分分配方案案

29、. 同时，在DVVD租赁赁出去后后，对于于某种DDVD，是均匀匀的分布布在1类类会员和和2类会会员中，即在115号，该DVVD将有有60%归还.我们用下下图表示示租赁情情况，每每块代表表长度为为15天天的时段段，上方方的箭头头表示该该时刻借借出的数数量，下下方表示示归还的的数量.则初始始时刻有有张可用用于分配配 第二次 第四次 第六次 第一次租赁 第三次 第五次 对于“一一月情况况”，仅观观察上图图中的前前两段.在分配配时，每每张DVVD都有有60%的可能能被分配配给一月月个借22次的会会员，440%的的可能分分配给每每月借11次的.在初始始时刻会会将所有有DVDD借出，因此，即表示示网站对对

30、的购买买量，而而问题目目标则是是要求出出的最小小值，以以达到效效益的最最优. 由假设设可知，第1个个月月中中有的归还，另外440%仍仍在会员员中，这这时网站站可将的的借出.则与有如下下关系：这样就可可以计算算在一个个月中的的流通量量即一个个月内DDVD的的流通量量为月初初购买量量的1.6倍，称这个个“1.66”为“一月流流通系数数”.那么DDVD一一个月最最小购买买量可通通过以下下公式来来计算： 由表1得得到10000人人中愿意意观看每每种DVVD的概概率分别别为：由于这110000人为110万人人的子样样本,也也可表示示10万万人中愿愿意观看看每种DDVD的的概率.则表示110万人人中愿意意

31、观看第第种DVVD的人人.经计计算，各各种DVVD的最最少月初初购买量量为：DVD名名称DVD11DVD22DVD33DVD44DVD55购买量625003125515633782313总的最少少购买量量S=1120333问题一：均值情情况估计计三月月 该情况需需要考虑虑6个时时段，而而且各个个时段节节点互相相影响.在“一月情情况”中已经经知道与与 之之间的关关系： 在第33个时间间点，会会有张DDVD归归还.观观察张DDVD的的组成，第1个个时间点点有400%的DDVD分分配给了了1类会会员，则则在第33个时间间点归还还，数量量为.而对于于第2个个时间点点中收回回的部分分DVDD同样有有60

32、%的可能能分配给给2类会会员，440%的的可能分分配给11类会员员，因此此在第33个时间间点，会会有600%的人人归还，数量为为.则第33个时间间点收回回的来源源于两个个部分，分别为为第1时时间点借借给“一类会会员” 的DDVD以以及第22个时间间点借给给“二类会会员”的DVVD.所以有有.三个月月内6 DVDD租出数数如下：第一次： 第二二次：第三次： 第四四次：第五次： 第六六次：由此，可可以得出出一个通通用的递递推公式式：通过上面面的递推推公式就就可以建建立与“一月情情况”相似的的模型：经计算，各种DDVD的的最少月月初购买买量为DVD名名称DVD11DVD22DVD33DVD44DVD

33、55购买量423222116610588529212总的最少少购买量量S=881477.由上面的的递推公公式可得得“三月情情况”中DVVD的流流通量：式中“44.499” 为“三月流流通系数数”.问题一：理论证证明 事实上，不必认认为所有有人都在在1号来来借DVVD.以DVVD1为为例，设设某种DDVD一一个月内内被看到到1次的的概率为为0.44，被看看到2次次的概率率为0.6，则则其服从从分布：为使想看看该DVVD的会会员中至至少500%在一一个月内内能够看看到，即即要 成立立的概率率尽可能能大，不不妨取：由于是独独立同分分布的，且的数数量很大大，有中中心极限限定理知知，近似似服从正正态分布

34、布.将其其化为标标准正态态分布即即为：查表并求求解得：同理也可可推出其其他解，由此证证明了均均值情况况下的估估计是完完全可行行的.问题一：一般情情况推广广 在上面的的基础中中，我们们把模型型推广到到范围更更广的现现实经济济生活中中.假设设通过问问卷调查查分析推推算出任任意客户户群体的的借阅分分布情况况，设为为2类会会员的概概率，为为需要满满足的会会员比例例，为所所考虑的的时间跨跨度，即即月份数数，为会会员总数数，则可可得到下下面更一一般的带带约束的的线性规规划模型型（这里里人设DDVD种种类为55种）：问题二的的模型与与求解 问问题二是是在现有有一定数数量DVVD的前前提下，如何分分配以使使会

35、员总总的满意意度最大大.这与与“分配问问题”或“指派问问题（AAssiignmmentt prrobllem）”有很多多相同点点.我们们可以通通过一些些变化来来使求解解“分配问问题”的模型型能运用用于该问问题. 我们把把问题二二中“1000个会员员对DVVD的需需求” 理解解为“需要完完成的1100项项任务”，“20种种DVDD数量”理解为为“有个人可可以承担担这些任任务”，“会员对对于不同同DVDD的偏爱爱度”理解为为“不同人人去完成成不同工工作的效效率”，通过过类比就就能把分分配问题题的模型型运用到到问题二二中了. 分配问问题最常常用的方方法是00-1型型整数规规划.在在具体使使用前，还需

36、要要将每个个会员对对不同DDVD的的偏爱度度转化为为满意度度.因为为我们的的目标是是总体满满意度最最大.从表1.2中可可以看到到：会员员的在线线订单用用数字表表示，数数字越小小表示会会员的偏偏爱程度度越高，数字00表示对对应的DDVD当当前不在在会员的的在线订订单中.通过观观察我们们用一个个大于99的固定定数值来来减偏爱爱数,把把这个差差值作为为满意度度.问题二:参数定定义 1、设矩矩阵为偏偏爱度矩矩阵，矩矩阵中的的元素为为表1.2中的的偏爱数数，表示示第个会会员对 的偏爱爱数.越小表表示会员员的满意意程度越越高，为为1时最最高，为为0时表表示客户户没有下下订单.于是就就得到了了偏爱度度矩阵.

37、2、设矩矩阵为满满意度矩矩阵，矩矩阵中的的元素为为满意度度，表示示第个会会员对第第的满意意度.可通过过如下算算法获得得：通过矩阵阵就能应应用0-1规划划进行求求解.3、令为为分配变变量，表表示第个个会员得得到；表示未分分配给第第个会员员.由此此得到我我们要求求的分配配矩阵为为：4、令表表示的现现有数量量，则有有数量矩矩阵.5、令表表示所有有会员满满意度的的总和，我们的的目标就就是求出出其最大大值.问题二:模型建建立 1.因为为表1.2中的的数字00意义特特殊，不不直接与与满意度度产生关关系.00代表该该DVDD没有出出现在订订单中，即会员员不需要要看该DDVD.从分配配费用考考虑，避避免把该该

38、DVDD分配给给会员.根据 的定义义，不妨妨认为：，则时，也等于于0，即即避免了了上述情情况的发发生.2.由于于一次最最多只能能借3张张，那么么就有： ，又分配配给各会会员的数数量肯定定不超过过现有数数量，所所以：.由以上分分析可得得问题二二的模型型：用LINNGO 数学软软件实现现对此题题0-11规划模模型的求求解.问题二:模型改改进-约约束条件件改进 根据上述述模型的的求解，我们发发现有些些会员没没有分配配到3张张DVDD，即他他们的需需要没能能被满足足.从网网站的社社会效益益考虑，这样的的情况会会导致网网站客户户的流失失.所以以希望在在满足所所有会员员都能借借到3张张DVDD的前提提下，

39、再再通过会会员总满满意度最最大来决决定分配配方案.这就需需要对上上面的模模型做一一些改进进.我们可以以将 改改为，则则得到模模型问题二:模型改改进-约约束条件件改进 以上修改改，约束束条件加加强了，可能导导致模型型无可行行解.事事实上通过LLINGGO 程程序也发发现该模模型无解解.因为为约束条条件中规规定了不不能分配配给会员员不要的的DVDD，而会会员每次次都被分分到3张张，则网网站至少少有3000张DDVD，而现仅仅有3003张，只比最最低限度度多3张张，则当当某DVVD需求求较大时时就会供供不应求求.所以以要放宽宽条件11，才能能找到最最优解.最优值在在第1665次迭迭代后得得到.以上两

40、两个模型型的结果果是相同同的，由由于约束束条件的的放宽，后一个个模型的的迭代次次数较少少，则在在说明每每个会员员一次能能借到33张DVVD不会会影响会会员整体体满意度度，而且且从模拟拟结果看看，改进进后的对对原有分分配策略略影响不不大.问题二:模型改改进-满满意度定定义改进进 以上的讨讨论都是是基于用用一个固固定数去去减会员员偏爱数数作为满满意度来来分析的的.但存存在一定定的不合合理性.比如，当看到到了最想想看的DDVD时时，心理理上满足足是非常常大的，但若仅仅仅得到到了第二二想看的的DVDD，那样样满足感感会大打打折扣，而如果果仅得到到了第三三想看得得DVDD，满足足感会更更低，但但与仅获获

41、得第二二想看的的DVDD相比，也许失失落感并并不会如如没有获获得第一一想看的的DVDD那么大大.所以以，如果果只是简简单得把把会员订订单中的的DVDD进行了了相同差差别的处处理，无无法表示示出会员员的真实实满意度度差别.所以我我们想到到了用偏偏爱数的的倒数来来表示会会员的满满意度，对满意意度矩阵阵的元素素重新定定义：把新定义义的满意意度代入入上述模模型中，并由LLINGGO 程程序计算算，最优优值在第第54次次迭代后后得到.我们对对分配策策略的分分析发现现，该结结果与上上一个模模型相比比并没有有太大的的变动，这是因因为两种种满意度度的定义义其实质质是一样样的.问题三的的模型与与求解 在现实的的

42、网站经经营中需需要综合合考虑问问题一、二，这这就需要要我们进进一步讨讨论问题题三的模模型，它它需要考考虑两次次分配方方案，但但我们可可以简化化为仅考考虑当前前时间点点下如何何用最小小的DVVD购买买来满足足95%的会员员并找出出最佳分分配方案案使会员员总满意意度最大大.那么么如何将将这两个个目标同同时放入入一个目目标函数数呢，最最简单的的方法就就是相加加.由问题二二知道，目标是是使所有有会员满满意度总总和 尽尽可能地地大，而而且每种种DVDD数量是是固定的的，但问问题三中中DVDD的购买买量是自自己定的的，因此此设置一一个新的的变量表表示当前前需要购购买的数数量，则则表示总总的购买买数量，而且

43、从从盈利角角度考虑虑总的购购买数量量越小越越好.所所以我们们可以将将目标函函数定如如下：问题三:等权情情况（会会员总体体满意度度与DVVD购买买量权重重相等） 针对“使使一个月月内955%的会会员得到到想看的的DVDD”的要求求，可以以参照问问题一的的处理方方法，从从表1.2中统统计出原原意观看看的人数数占全体体会员比比例.结结果如下下：DVD名名称DVD11DVD22DVD33DVD44DVD55DVD66DVD77DVD88DVD99DVD110愿意观看看人数53374634374242484151占全体会会员比例例0.5330.3770.4660.3440.3770.4220.4220.

44、4880.4110.511DVD名名称DVD111DVD112DVD113DVD114DVD115DVD116DVD117DVD118DVD119DVD220愿意观看看人数48414345524143454431占全体会会员比例例0.4880.4110.4330.4550.5220.4110.4330.4550.4440.311由问题一一的流通通量可得得. 由由于网站站可自由由决定其其DVDD的购买买量，则则有.为了计算算上的方方便直观观，我们们选择用用10减减会员偏偏爱数来来定义会会员满意意度.并建立立模型.最优值在在第855次迭代代后得到到:Z=18778.问题三:不等权权情况（会员总总体

45、满意意度与DDVD购购买量权权重不相相等） 如果不考考虑会员员总体满满意度与与DVDD购买量量之间的的权重差差异，这这会导致致其中某某个目标标对整个个函数的的影响被被过分夸夸大，所所以有必必要进行行标准化化.先来看的的最大值值和最小小值.对于当前前的分配配，最理理想的是是每位会会员都得得到了最最想看的的3张DDVD，此时就就达到了了最大值值.通过过表1.2的统统计我们们得到最最大值为为 . 最差情情况就是是会员得得到了33张没有有出现在在订单中中的DVVD，此此时达到到最小值值0.再来看的的最大值值和最小小值.由“每位位会员每每次分配配到3张张DVDD”和“一个月月内955%的会会员得到到想看

46、的的DVDD”的约束束，则由由计算出出各种DDVD最最小购买买量，相相加得的的最小值值5222.只要某DDVD出出现在订订单中，就应将将其购入入，也就就是说保保证会员员可以拿拿到他想想看的任任何一张张DVDD，则会会员在一一个月中中的满意意率为1100%.此时，统计各各种DVVD的购购买量并并相加得得的最大值值为8644.问题三:不等权权情况（会员总总体满意意度与DDVD购购买量权权重不相相等） 我们取和和的最大大值及最最小值的的平均数数12000和6693来来确定各各自权重重.因此此，它们们的权重重分别为为 和.建立带带权重的的模型：同样用LLINGGO 程程序对其其进行求求解，最最优值在在

47、第1116次迭迭代后得得到Z=6888.433，DVVD购买买总量为为5322张.比较较两个模模型的计计算结果果，发现现DVDD的购买买量和分分配策略略没有发发生变化化，这是是由于和和的数量量级相差差并不大大.问题三:综合最最佳方案案 以上的决决策是基基于当前前时刻的的考虑.事实上上，600%的DDVD会会面临二二次分配配，考虑虑所有会会员在一一个月内内总的满满意度就就需要对对二次分分配进行行分开考考虑.在在此我们们假设：不要求求会员每每次借DDVD都都必须被被分配到到3张，但分配配到的必必须是在在其订单单中的.而每次次只有拿拿到3张张的会员员才能算算满意.由于要对对二次分分配进行行讨论，所以

48、需需要设置置两个新新的变量量：1、：第第一次分分配的分分配变量量，表示第一一次分配配时第位位会员得得到了表示第一一次分配配时第位位会员未未得到2、：第第二次分分配的分分配变量量，表示第二二次分配配时第位位会员得得到了表示第二二次分配配时第位位会员未未得到因此在等等权情况况下目标标函数应应为：问题三:综合最最佳方案案约束束条件 1假设设会员在在这一个个月不会会两次借借相同的的DVDD，则可可以表示示为2每次次分配每每位会员员最多得得到3张张DVDD，即，.3第一一次分配配时最多多只能分分配出新新购入的的DVDD，则.4考虑虑前后两两次分配的的关系，平均情情况下，可以近近似的认认为每种种DVDD每

49、次都都有600%借给给2类会会员，440%借借给1类类会员.所以有有：不等式右右边表示示网站在在第二次次分配时时可用于于分配的的数量.5因为为规定在在一个月月中必须须有955%的会会员被满满足要求求，所以以DVDD总的数数量需大大于1.60.99510003+11.60.00510002=4472，相应的的约束条条件为:.问题三:综合最最佳方案案权重重设置 对于理想想情况是是两次分分配都给给会员最最想看的的3张DDVD，而且会会员不想想看已经经看过的的DVDD，则一一个中月月获得的的最大满满意度为为9+88+7+6+55+4=39，以600%的22类会员员记，一一个月所所有会员员最大满满意度为

50、为1000*(99+8+7)+60*(6+5+44)=332000;而最最差的情情况是每每次会员员都只得得到了不不在其订订单中的的DVDD，或没没得到DDVD，则有：对于的最最大、最最小值取取值方法法和上次次讨论的的一样，计算得得到分别别为8664和4472.同样取取中间值值来确定定权重，分别得得到的权权重为，的权重重为.问题三:综合最最佳方案案模型 综合上述述分析，得到“最佳方方案”的模型型：用LINNGO 程序求求解，最优值值在第224822次迭代代后得到到Z=8815.69666，DVDD购买总总量为4472.模型评价价 问题一我我们分别别对悲观观情况估估计和平平均情况况估计进进行讨论论

51、，并且且用概率率的理论论证明了了结果的的正确性性.问题题二我们们在原始始0-11模型的的基础上上做了多多次改进进，对会会员每次次得到的的DVDD数量做做了严格格限制，得出的的结论是是会员总总的满意意度没有有变化；对满意意度的定定义做了了改进，并发现现对分配配策略的的影响也也不是很很大.在问题三三中我们们将问题题一与问问题二的的要求结结合在一一起进行行考虑，将两个个目标加加权后放放在一个个目标函函数中进进行讨论论.从相相对简单单的“当前情情况最佳佳方案”进行研研究，并并将问题题分为等等权与不不等权两两种情况况进行讨讨论.然然后我们们对分配配的全过过程综合合进行考考虑，并并建立了了一个综综合模型型

52、，经LLINGGO程序序求解后后得到了了“综合最最佳方案案”.从两种种模型的的DVDD购买量量来看，“当前情情况最佳佳方案”所需购购买的DDVD数数量大于于“一月综综合最佳佳方案”所需购购买的DDVD数数量，这这是由于于后一模模型考虑虑了DVVD的循循环使用用，降低低了DVVD的所所需的储储备量.第十七章章 多目目标决策策分析方方法实际中，许多决决策问题题都属于于多目标标决策问问题，特特别是工工程系统统和社会会系统等等领域，大量的的决策问问题都有有多个目目标，具具有两个个和两个个以上目目标的决决策问题题统称为为多目标标决策问问题.例例如，一一家公司司（或企企业）要要确定下下一年度度的投资资组合

53、方方案问题题，在可可供选择择的多个个候选方方案中，往往是是收益与与风险并并存，而而且收益益越高，风险也也就越.如何选选择合适适的投资资组合方方案，是是收益最最高风险险最小呢呢？这显显然是一一个双目目标的决决策问题题.又例例如，在在人才的的选拔使使用、招招聘录用用、选优优评奖等等活动中中，由于于每个人人都有不不同的特特长、优优势和劣劣势，组组织部门门总是要要综合考考虑各方方面的情情况，作作出决策策使得各各方面的的条件优优势最大大，劣势势最小.多目标决决策问题题的最主主要的特特点是各各目标间间的矛盾盾性和不不可公度度性.所所谓目标标间的矛矛盾性是是指如果果试图采采用某一一种方案案去改进进一个目目标

54、的值值，则可可能会使使另一个个目标的的值变劣劣.而目目标间的的不可公公度性是是指各目目标间一一般没有有统一的的度量标标准，因因而不能能直接进进行比较较，由于于目标间间的矛盾盾性和不不可公度度性，则则不可能能将多目目标的问问题直接接归并为为单目标标的问题题来解决决.如何何克服目目标间的的矛盾，在不可可公度的的目标间间建立一一种可以以度量的的指标（即效用用函数）来求解解多目标标决策问问题，这这就是本本章多目目标决策策分析方方法要研研究解决决的问题题.多目标决决策分析析的基本本概念17.11.1 多目标标决策问问题1.多目目标决策策问题的的解决过过程多目标决决策问题题的求解解过程主主要可分分为四个个

55、步骤：第一步：问题的的构成，即对所所需要解解决的实实际问题题进行分分析，明明确问题题中的主主要因素素、界限限和所处处的环境境等，从从而确定定问题的的目标集集.第二步：建立模模型，根根据第一一步的结结果，建建立起问问题的一一个适宜宜模型.第三步：对模型型进行分分析和评评价，即即对各种种可行的的方案进进行比较较，从而而可以对对每一个个目标标标定一个个（或几几个）属属性（称称为目标标函数），这些些属性的的值可作作为才用用某方案案时各个个目标的的一种度度量.第四步：确定实实施方案案，即依依据每一一个目标标的属性性值和预预先规定定的决策策规则比比较个可可行方案案，按优优劣次序序将所有有的方案案排序，从而

56、确确定出最最好的实实施方案案.2.多目目标决策策问题的的基本要要素任何一个个多目标标决策问问题都包包含有五五个基本本要素：决策单单元、目目标集、属性集集、决策策情况和和决策规规则.决策单元元是指制制定决策策的人，可以是是一个人人，也可可以是一一群人.目标事故故关于决决策人被被研究问问题的“要求”或“愿望”，决策策人可以以有若干干个不同同的目标标，即构构成一个个目标集集.通常常情况下下，目标标集可以以表示为为一个递递阶结构构.属性是实实现目标标程度的的一个度度量，即即每一个个目标都都可以设设定一个个或若干干个属性性，即构构成一个个属性集集.目标标属性是是可度量量的，它它反映了了特定目目标达到到目

57、的的的程度.决策情况况是指决决策问题题的结构构和决策策的环境境，即说说明决策策问题的的决策变变量、属属性，以以及度量量决策变变量与属属性的标标度、决决策变量量与属性性之间的的因果关关系等.决策规则则是指用用于排列列方案优优劣次序序的规则则，而方方案的优优劣是依依据所有有目标属属性的值值来衡量量的.3.多目目标决策策问题的的数学模模型设为方案案集，它它是决策策变量的的集合，表示目目标函数数.对每每一个给给定的方方案,由由目标函函数可以以确定每每一个属属性,的值.实际中中，方案案可以是是有限的的，也可可以是有有限的，也可以以是无限限的.在在这里我我们假设设决策变变量的所所有约束束都能用用不等式式表

58、示出出来，即即其中均为为决策变变量的实实际函数数.则方方案（又又称决策策空间中中的可行行域）可可以表示示为. 于是，一一般的多多目标决决策问题题的数学学模型可可以表示示为 ()其中(ddeciisioon rrulee)表示示决策规规则，即即上式的的意义是是运用决决策规则则依据属属性，的值在在中选择择一个最最好的方方案.例如，如如果设有有一个确确定的无无限个方方案的多多目标决决策问题题，其属属性集为为，目标标集为，方案集集为，决决策规则则为如果果有某方方案能使使所有属属性都能能达到最最优（最最大或最最小），则可选选择这个个方案，即决策策问题的的解.否否则，可可选择一一个非劣劣解,使使能最好好的

59、满足足决策人人的要求求.求解解多目标标决策问问题的非非劣解，即求向向量最优优化问题题 （）的解.所所得非劣劣解（非非劣方案案）集为为,即可能能是单元元素集，也可以以是多元元素集.如果是是多元素素集，则则说明非非劣解是是不惟一一的，决决策人可可根据自自己的偏偏好选择择他认为为最好的的方案.选择方案案的方法法主要是是依据决决策人的的“偏好结结构”，一般般偏好结结构可用用效用函函数来表表示，即即用函数数来表示示非劣方方案的效效用，故故问题转转化为求求解的问题.17.11.2多多属性效效用函数数多属性效效用函数数理论是是单属性性效用理理论的推推广，效效用理论论可分为为确定型型的和不不确定型型的两种种情

60、形.对确定定型的效效用函数数通用定定义为价价值函数数，对于于更多的的不确定定型的情情况，一一般都是是根据问问题的实实际意义义来定义义相应的的效用函函数.1. 常常用确定定型的价价值函数数对于确定定型的效效用函数数通常定定义为价价值函数数，最常常用的是是加性价价值函数数.设分别表表示个属属性所有有可能值值的集合合，为属属性集，即.对对于某一一个确定定的方案案,对应应属性向向量，其其中，表表示对应应于方案案的第个属属性的取取值.为为了方便便，也称称为方案案，并用用表示第第个属性性的价值值函数.如果一偏偏好结构构的价值值函数能能用加性性表示时时，则， 其中为标标度常数数，且.实际上，我们可可以证明明