高阶微分方程的降阶和幂级数解法

1、高阶微分方程的降阶和幂级数解法第1页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式: 1 不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是若能求得(4.58)的通解对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解即第2页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五 解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解第3页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五解令则方程化为这是一阶方程,其通解为即有对上式积分4次, 得原方程的通解为例1第4页，共35页，2

2、022年，5月20日，1点14分，星期五 2 不显含自变量t的方程, 一般形式:因为第5页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五用数学归纳法易得:将这些表达式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一阶第6页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五 解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解第7页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五解令则方程化为从而可得及这两方程的全部解是例2再代回原来变量得到所以得原方程的通解为第8页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五 3 已知齐线性方程的非零特解,进行降

3、阶的非零解令则代入(4.69)得即第9页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五引入新的未知函数方程变为是一阶线性方程,解之得因而则第10页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五因此 (4.69)的通解为第11页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五 解题步骤:第一步:第二步:解之得即第12页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五第三步:第四步: (4.69)的通解为注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)第13页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五解这里由(4.70)得例3第14页，共35页，2022年，5

4、月20日，1点14分，星期五第15页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五代入(4.2)得第16页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五事实上第17页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五若则即因此,对(4.67)仿以上做法,第18页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五第19页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始条件用级数表示解?第20页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五定理10第21

5、页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五定理11第22页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五例4解设级数为方程的解,由初始条件得:因而将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得第23页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五即因而也即第24页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五故方程的解为第25页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五例5解将方程改写为易见,它满足定理11条件,且第26页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五将(4.75)代入(4.74)中,得第27页，共35页，2022年，

6、5月20日，1点14分，星期五由(4.76)得即第28页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五从而可得第29页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五因此(4.77)变为第30页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五若取则可得(4.74)的另一个特解由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.第31页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五因而(4.74)的通解为因此,不能象上面一样求得通解;因此,(4.74)的通解为第32页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五例6解代入方程得第33页，共35页，2022年，5月20日，1点14分，星期五代回