22秋学典八数课堂学用

1、第一章!勾股定理第! 课时探索勾股定理!% 勾股定理 如果直角三角形两直角边分 !别为 斜边为 那么 即 !# # !#! # !# # #平方!直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的$ % 使用勾股定理一定要先判断是否是直! !$角三角形$例!如图#在 %&中#$ # %& &(#% & !#$# #所对的边分别为% # $%若求&$+%若 -#求#的% %!) *)+# +,#长及斜边上的高! ,# % %($!分析!可设每份为)#列方程求解$!+直接用勾股定理求出#用面积法求出斜边上的高$答案%! +.$!+# #( .$-$% % %图 !图+ 2!* /如图2#阴影部分是一个半圆#则

2、阴影部分的面积为 !$结果保留! %!例 + !如 图#折叠矩形$ 四个角都是直角# 对边相等% 的一边 %*使点 *落在&边的点 +处#已知- 65#& / 65#求,的长%&%解 #% /如图#三个正方形的三边恰好围成一个 直角三 角 形#其中两个正方形的面积为 和+*#则第三个正方形的面积是$ & %0/+*1/2+*%, /如图.#在矩形纸片 %&*中#%& - 65#把矩形纸片沿直线%折叠#点&落%在点的长 % %* %+处#%,交 *于点 +#若 + 65#求 ,解 根据折叠前后边角的#/相等关系可知!3/+*,+/等腰三角形的腰长为4/2*底边上的高为图!#底边长为+#则$ &

3、%在% 与 中%# #, * &(7 %* + ,+ !图., & %* + 65% % %* , *+% ,+%* ,% % % # # # #2 /已知在#$ # ! 4/不能确定0/+*!1/;!分析该题要考虑高在三角形内和三角形外两种情况/答案$+% 如图 %&中 &(#*,为#在 %3/# &的垂直平分线 证明#如题图#连接 % # . $: %! #结论 这个重要的结论就是著名的 #+ + + ($ $ 勾股定理 请你用两种方法求图 其中四个直角三角形的较小的直角边长都为 较大的 !#直角边长都为 斜边长都为 的大正方形面 # #%积 并验证勾股定理 #$解#大正方形的面积为#+四

4、个全等直角三角形的面积为+! #中间阴影正方形的面积为! ! #+ 9则 #即直# ! . ! ! ! + + + +% : 9 % :角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方$+ /如图#是由正方形与直角三角形构成的图形#则此正方形的面积是!$!图 图+$如图+#小正方形网格的边长为三边!#的大小关系是+#%&的$ %* /如图2#分别以直角三角形的三边为边长 向外作正方形#然后分别以三个正方形的 中心为圆心#正方形边长的一半为半径作 圆#记三个圆的面积分别为 #探索- #- #- $2 之间的关系#并 说- 明#-理#由- + 2解 理由如下- 个 +#设大% :圆的-半径为.两! 小2 +

5、圆半径分别是/%/则/ !图 + + +由 .勾-股定理-知 /-% % %! ! ! + + 22%+ + +!=!=! !=!=0 /! # 1/! #3/# ! 4 /# != = = =%得.+%#+/$:#+/$+%-2 + +% :/ /7- +:-$+%第 ) 课时一定是直角三角形吗2 /下列各组数中#属于勾股数的是$ & %!勾股定理的逆定理 %&中#若 两条! !%边的平方和等于第三边的平方!#则这个三角形%是直角三角形$%!满足 两个较小数的平方和等于第三个!%数的平方!的三个正整数#称为勾股数$常用的%勾股数组!2.*&,-&*+2&-*;&%&. 等&若!#为一组勾股数

6、#那么0!#%0#0#$0 $% % %4/! 2# .# *% % %!分析+ + + + + +0 /2 . * #1 /* + 2 #:0&1 %&3是直角:三角形%+ + +3/ * - #;不是直角三角形/故选 $4/: %+ + +:$+%已知 !#为 %&的三边#且满足 %2 . * %4/&%#则 %&是 %+ + + %90/等边三角形: 9 %$! %$! #% $!%1/直角三角形3/等腰直角三角形4/等腰三角形或直角三角形!分析由 #可得+ + +或 ! ! #%&为等腰9 : 9 %#即可判断 + + +三%角形或直:角三角形$故选%4/! ! #3/. /在 #+.

7、#+, 4/ /,#/-#9%&中#已知 /如图#四边形 %&*中2 65#%*+#6%5# +.#% 2+(# & *-(& ! ;# +.#% % % %解 如题图 连接# &* 2 .+% :- - %&* &*+: %* + 2,65$+#第 * 课时勾股定理的应用 勾股定理的应用 勾股定理在实际生活 !%中有着广泛的应用 关键是利用数学建模思 #%想 转化为直角三角形 再根据勾股定理求解 # #/% 例!如图#长方体的底面 是边长为65的正方形#高为2 65/如果用一根细线从点%开 始经过. 个侧面缠绕一圈到达 点 !65! 4/ , 65%解 如图 连接 由题意得# %& !6%

8、+ , % %海里+%6& ,%-海里图2%+!%图 !图 + /一个透明的圆柱形状的玻璃杯#由内部测得其底面半径为2 65#高为- 65#今有一支+65的吸管任意斜放于杯中#若不考虑吸管的粗细#吸管露出杯口长度最少为! 65$% %6& &(#%槡海里+ +答 两点间的距离为!%& % : %7%& , - 海里$第 + 课时回顾与思考!勾股定理!如果直角三角形两直角边分别为!#斜边为#那么! # !$# # #!勾股定理的逆定理 %&中#若 两! !$ %条边的平方和等于第三边的平方!#则这个三角形是直角三角形$!满足 两个较小数的平方和等于第三个!数的平方!的三个正整数#称为勾股数$%例

9、+!如果一个三角形的三边长分别为!#且满足! # +$* 2! .+ + +*#求这个三角形的面积: : : % : :$解#%考点一#勾股定理点拨 已知直角三角形的任意两边求第%三边 #已知直角三角形的任意一边确定另两$边的数量关系 $证明包含平方关系的几何$问题$例 !如图所示#在 一次夏令营活动中#小明 从营地 %点出发#沿北偏 东,(方向走了.A5到达 &点# 然后再沿北偏西2(方向走了2A5到达目 的地点$求%两点之间的距离解#$%B%& #-& #,#,&$ $7是正# %+ +整数 : : : :%$&+7 +7#+7 +7 #+70/ 个 1/2 个 3/. 个 4/* 个.

10、/已知 !#为 %&三边且满足! #+ +9#则它的形状为+ + . .0 /直%角三9角形# ! $ - %1/等腰三角形3/等腰直角三角形4 /等腰三角形或直角三角形* /如图#*是 %&中 %&边上的高#且%*#求重合部分 ,&*的面积% %2#& $%!$二%转化思想 点拨%非直角三角形可以作辅助线构造直角三角形解决$立体图形上两点最短路线问题应转化为平面图形解决 例.!如图所示#木长二丈#它的一周是三尺#生长在木下的葛藤缠木七周#上端恰好与木平齐#问葛藤至少长多少尺) $ 丈 尺/解#%解 设# %, )*, ; )在 和 中%&, 8*, % % 9 图+%,& 8,*%# # #

11、% 8 &(% %& 8*7 %&, 8*,#008$ $由勾股定理得% % 9%,+即) 2 #; )$+ +: % 9+:%&+解得&,+)%- /如图.#正方体 %8&88* 8的棱长为%&*+#3为棱 %8的中点9#4为棱 &8上任意一点$%4在什么位置时 4最小$+%若 4#求#34 &) 34 ) $+ 的最小值:% :+ +&*, ; ) ; % 9 % 9 %; ; -;- *,&%& $% %,&*;%解 当 时#$ & $* %理 由:如图 将 与! %&8%834 4 $4最小&8&8 在平面上展开图.+ .; /如图 %&中2# # &于 ,(#+$* (#%&的垂直平

12、分线交 # #% %*#&* ;+#%,+&于,#求 + 的大小, $%则当 在一条直线上时%4% 34:4 & $最3小 此时可在 的情 下 即能取到最小 况 4 *算得%+值 最小值为 . ;$+ +: %!图2%& /如图 *#长方体的长宽高分别为. 65#%+ 65#* 65/若一只蚂蚁从 3点开始经过.个侧面爬行一圈到达4点#则蚂蚁爬行的最短路径长为!)! 65&如果从点 3开始经过个侧面缠绕 9 圈到达点4#那么所用细线最短长度.的平方是!#+ !*%!$#$用含9 的代数式表示%图*!$三%分类讨论思想 点拨%在直角三角形中并没有指明是直角 边还是斜边#因此要分类讨论$等腰三角形

13、不知道腰和底#此时也要讨论#即分类讨论思想例*!在 %&中#已知%& .#% 2#/&边上的高等于+$.#求 %&的周长% %$解#%! # . ,解 当 为腰时 则底边长为底边上的高的平方为. # $ ;+ +,9 %当 为底边时 则腰长为 +. *#底边上的高的平方为* # $ + +.9 %综上 底边上高的平方为 + ; +$或!$四%构造法 点拨%构造全等三角形将已知线段转化到一个三角形中#再利用勾股定理或者勾股定理的逆定理解决问题例,!如图#在 %&中/+$如图;#3是等边 %&内一点+#.#则 #3%+&3 +#3 &3 !$% % %#第二章!实!数第 ! 课时认识无理数%!有理

14、数 整 数和 分数统称有理数! ! #%有理数可以表示成有限小数和 无限循环小数 $%!实数中还存在一种我们没有学过的数#这种数既不是 整数!也不是 分数!#如腰! !长为 的等腰直角三角形的斜边长$!无理数 无限不循环小数叫做无理数! $解#负有理数集合 # #() $+ +9 9正分数集合2/.#/+2#() $* ;*无理数集合/+(!相邻的两个+ 之间 的个数依次多# #() $!正数集合2/.#/+(!相邻的两2个+ 之间 的个数依次多 #/+2# #()/*!2% 例!如图是由, 个边长为 的小正方 形拼成的#任意连接这些小正方形的若干个顶 点#可得到一些线段#试分别画出一 条长度

15、是有理数的线段和一条长度 不是有理数的线段/$要求!所作线段不得与图中已有的线重合!分析根据题意可知#要画出%的线段为一直角三角形的斜边/解#如图#%&的长度为有理数#*的长度为无理数$!答案不唯一合理即可# /下列说法正确的是$ - %!0 /!不循!环!小!数!是!无!理!数! !1/分数不是有理数3/有理数都是有限小数4/面积为2 的正方形的边长是无理数+ /有四种说法 !是有理数 * 是分! & /+2*数 !是无理数 是整数#是正& 2 2 之间2 的个数逐次加% #/2+# /*229有理数集合无理数集合正数集合, !+- &., !+- &负数集合, !+-/, !+- & !例

16、2!直角三角形两直角边长分别为2#斜边长为!#估计! 的近似值$结果精确到 十分位+#!分析 按要求求无理数的值时#可采用%+夹逼法,逐渐+逼近,#求出其值/答案%2/,/* /王大爷要挖一个面积为 + 的正方形+5鱼池$%这个正方形鱼池的边长是不是有理数) 说明理由&$+%请计算出鱼池的边长#要求结果精确到十分位$解 不是有理数#$ $理由 设边长为 则! )5 ) +%= = = =0/. ! * 1/* ! ,3/, ! ; 4/; ! -= = = = /!例+!把下列各数填在相应大括号内#/+$相+ +9 9 * ;#2/.#%+不是整数&, ) +*7. ) *= = = =) +

17、7) 又 不是分数7) %7) 不是有理数+ +#+$.$.=+=.$*邻的两个+ 之间 的个数依次多% #/+2# /%*!%负有理数集合, +- &2正分数集合, +- &无理数集合, +- & %正数集合, +-/%7鱼池的边长约为.$5$(第# 课时平方根!%+%!$2%* &!$.%$ -% /9! 算术平方根!如果一个正数)的平方等于!#即 !#则 !叫做 !的算) ! !+术平方根#记作 !$特别地# 的算术平%!方根是 !#记作! !$!算术平方根槡!具有双重非负性! #!槡(%,解#2$#.$-&.+$%#槡 &% %* 7 * , , .槡+ +9 9 %-$ 7 # -$

18、 -$! $(!当例!求下列各数的算术平方根/+%!$%!例+!$%使代数式取值范围是槡) 29) .9有意义的)的$!%.9+- %- %$%/,&$+%+ &$2% &$.%$9;%/解#!/2 /,& /2$+*/, ! ; #7 ! ; ;/% 9 9 %& 的值等于$/槡0/ 2 1/ 2 4 /2C 92 3 /槡+ /下列说法正确的是! ! ! !$0/ / 是 / 的算术平方根C+ 是 + 的算术平方根1/* 是+* 的算术平方根4/, 是2, 的算术平方根3/ $ +%9 92 /计算!$% 槡&, !&%槡*$+% !& %.&槡,$2% !&9 9 % +*$.%槡$.

19、!$%.$槡, 的算术平方根是!$*$求下列各数的算术平方根$%0/) 2!1/) 2B(2 且!分析根据算术平方根的被开方数一定B3/) .! 4/) ) .( &为非负数可得 #根据除数不为 可得) 99(9. %) ) %4/#解得 22且 .#故选 )& ( &$+%若!是实数#式子槡#求 + 的值 + , ?! + ?$! % $ : : 9% :解#由题意得#+ , #! + #故 2#! +#: % 9 %9 %+ +! ! $: % 9 %, /若槡 )在实数范围内有意义#则+ 9值范围是9$)的取- %0/) 1/) +(3/) + 4 /) +( ); /$%若?!槡9 :

20、 9+ ? 2: 9$# .%+#则%! # !&9 : %$+% 已知 )#1为实数#且槡 2 $ 1+% ) 1 !$% 9 %#则 )9 : 9+-$若槡 #求 1的值2 ? ) $解 由)题1意 得 ?)9 : : 9 %) 1 ) 21 .#解得 2 )9 % 9 : % %1 .7) 2 -$% %$%+*&!$+%+$-&解槡+#$* +*7 +* *% %槡+#+$#/;$ +/-&7 +/-&%/;/%)第) 课时平方根!#%+!$2%;&! $.%$ ,% /9!平方根!如果一个数)的平方等于!#即) ! !#则 !叫做 !的平方根#记+作 !$特别的# 的平方根是! !#

21、%记作!$!一个正数有两个平方根#它们 互为相反!数!& 的平方根为 负数!没有平!&!方根$%&槡!$槡!% !$! !$+ +% %! (,.+$%.&$+% &$2%$ *% &$.%/9%解#;$! #解槡#槡+CC9 ,$ %C ,$ !例 + $+! % +!如果槡 +!#则 ! 满 足的条件是 9 % 9 !$ ! !分析由槡 ?! ?#再根据绝对值的性 + %质即可求解$答案 %! $ ) +. /$%若槡 #则 )的取值$) 2% ) 2+范围是9 : 9 %!&$+%若! ! $! % !$#化简 槡+= 9 9 %*$% 若 的平方根是 *#则+) .) 槡: C :$+

22、%一个!自然数的算术平方根为 则与这个自然数相邻的两个自然数的算 术平方根为%!&!$! %#B!$!例2!求下列各式中的)的值$例!求下列各数的平方根!解#! . +$+*C槡%C槡,. -!+ $C %C+* *槡+!2 ! * *$C 9 %CC槡!. /% /下列式子中#正确的是$ & %槡 槡+ +0/ $ *% *!1/ * *9 %9 9 %9槡 * 4/槡*+ +3/ $ *% *C %C %C.+/$% !&的平方根是+%解 2,&!$+%$2) %#!&) 2,#% 9+%C槡+7) .#7) . +$% %C+!+ 9 9 %! 解 槡 槡#! 原式$!+ 原式, & .

23、 +/+; - 2%9 9 : 9 %9槡槡 22. /$% +* !&$+% !&% 9 % -槡 槡2 2+; 2$2% !&$.% 2 !$% 9 %2.2 -,. 的立方根是 ,. 的平方*$% 槡 槡2根是!&!#槡 *+ 的立方根是2$+% !$9,$计算 槡! 2 $ % +* $槡 槡槡2 2+2 +*9 9 9 9 9- .解 原式# * 2/2 *% 9 : 9 % + +*%/9+* 的立方根是$ ( %!例2!求下列各式中)的值$2 22;$%) &!$+%$+) % +*$: % 9 %! ! ! ! %0/ * 1/ * 3 /* 4/9 C+ /下列说法中#正确的

24、是 0/一个有理数的平方根有两个#它们互为 相反数*$ - %1/一个有理数的立方根#不是正数就是负数3/负数没有立方根4/如果一个数的立方根是这个数本身#那 么这个数一定是 或 或2/下列说法中正确的是9$ - %01 / 的立方根是9 C. 没有立方根的立方根是 3/2, ,4/ *9 9* 的立方根是槡2!例+!求下列各式的值/槡 槡2 2 ; *9 9 9 : +; -$% 2 $ +槡 槡22 +$ + % $ ,% $ &%9 9 9槡* /* ./*/9%&槡29 9,.9%!分析利用立方根的定义求解$,.解#!) #2+;%9 ,.槡2 +; 27) $ ,. .% 9 %9槡

25、2!+) +* *#9 % %7+) ,#7) 2$% %; /已知槡 #求*) 2+ +2: : %解 槡# *) 2+ +2: %9) $:; 的平方根7*) 2+ -7) -: %9 %97) ;:%&7槡C :) ;%C2$- /求 中2$) -2解 %#2#) $ -9 : %29 %9)的值$27#) $ +;9 %97) 27) +$9 %9 %9!第 + 课时估算#用计算器开方!估计一个数的平方根立方根#主要依据一个正数在两个正数之间#那么它的算术平方根或立方根一定在这两个数的 算术平方根或!立方根!之间$!在用计算器求平方根和立方根时#关键是掌握按键顺序$!一个正数扩大为原来

26、的 倍#它的算术平方根扩大为原来的 .!倍&一个正数扩!大为原来的 倍#它的立方根扩大为原来的 .!倍! $%. /! 是槡 的整数部分#是槡* 的整数部分#则! !$+ +: %!例+!比较大小!:槡:槡 + /* + &!$+% 9 +2 与 与$%槡 9槡 2解#! * 2 # + +9 9 = 9=槡 = 9槡=#7槡 B 9槡9 9 * 2 + $:槡:槡 2!+ : D % 2 + $ !+ 阴影部分正方形的边长为槡 $ =槡 !2% %!+ 原式+* , , $% 槡 槡 槡% *% % %+ +* 2 2 $!2 原式 槡 槡 槡!. 原式槡& * & * * $% % 槡 槡

27、 槡% 2!* 原式槡& 2 & 2 2 /% % 槡 槡 槡% 22 /下列根式属于最简二次根式的是槡槡+0/ ! !1/: +3 /槡- ! 4 /槡+;. /若槡 2#则2 ) ) !$)*$化简下%列各式 %!槡$% +* . !& %槡,$化简 %!$+% +; * !$% 槡+.+ !&%$+% 槡 !;$计算 %;* !$槡 9$% + &!: 9 9 .92$ ( % /二次根式是槡 有意义#则)9)的取值范围$ & %解 原式#%:+99+92%2!%! !=!( )%槡 槡+ /已知1) 2 29 :%值为!$+*#则9):槡 1的2):%+%2/!例+!计算!槡$% -

28、,. &槡$+% +* , &槡$2% $ +% $ +*% &9 9$.% 槡.* &$*% 槡 !分 析+;利/用积的算术平方根的性质#先化简#再计算/%- +: 槡 槡: $2$+%$9%解 原式# + +槡%9 :槡%+ / 槡9 +9槡+ $!$第4 课时二次根式!#!例+!计算!% 判断一个二次根式是否为最简二次根!%式主要方法是根据最简二次根式的定义 进行 #%直观地观察被开方数不含能开得尽方的因数%或因式 且被开方数中不含有分母 #/% 槡 槡 槡 % !*!( (%! $! # %&% 槡%B槡%! !槡%$! # %$(%槡 %例 若式子槡 ! # 成立 则)%9 9) )

29、 槡%+ )9%应该满足的条件是9+ )$!%90/) !(%1/+ ) #且9 B%3/) #且+ ) 9 9( &4!分/)析根据商的算术平方根的性质9 9 B #以及( + ) 代数式有意义的条件#可得 #且) + )#故选%4/9 9 B(% /二次根式槡+) 2:有意义的条件是$ & %! !9! ! ! !B!9!(%槡 槡* -9$% &!$+% & 9&槡 槡& +$2% + & $.% &9+ 2槡+ % ? + ? * / 槡 槡$*%$ 9+9 :+* 槡 槡% %解 原式 #!$* *槡2&槡!+ 原式槡$- . + + 槡+槡% % %& 2&!2 原式+ + $槡

30、槡2& +%9 %9. 槡%!. 原式槡$, ,%!* 原式+ + + 2/& 2% : % 槡 槡9 :. /把下列各式化成最简二次根式!$% 槡& !&%槡+$+% !$%*$计算!;槡 槡 槡2 + +$% &!$+% &!$2% ,. ; 2槡解 原式#$ 2% -&%+ /下列各式是最简二次根式的是3/) 2 4/) 29 =9$ & %&槡0 /槡- 1/+槡 4/槡2 3/ /+*2/下列各式成立的是+$ - %槡槡9 9+ +槡0/%9 922槡2槡!1/ !%&槡 槡%槡 +3/ . . %& & 2槡 槡4/当 时 槡! #! !9= = %9%槡原式.#+$%;槡 槡-

31、+*$.% &!$*% & ,槡槡 槡解 原式#.$ - . + + +槡% % %2 2&:槡 9槡+ $,%$ % . ? + ? $ +% $9 9 9 9解 原式!槡 槡# + + + + /% : 9 9 % 9!%第5 课时二次根式!)%!槡!*槡 %槡% ! $! # %&( (槡槡%! !槡% B$! # %$( %例!计算下列各式/$% 槡 槡+ 2 &槡 槡+ +$+% + &D2 2$2% 槡 槡+ ,槡&+.$.% 槡 2 槡 * 槡 2* $ , % + /D 9 !分析利用二次根式的积和商进行计算#得到结果/解#!原式2, ,$%槡%!+原式 槡 槡+ 2 % %

32、%$2 - . +!2原式 槡2 $%槡+ ,% % +. %!.原式 槡* +%& &%9 %9 * , *槡 &槡+ +/%9% 槡2/ ! 若 和槡 都有意义 则 ! #! 满足的条件9是$ %0/! 1 /! 3/! 4/! ( ) &. /若槡 , #则+ ) ) !$%槡%* /计算槡+ * !$槡的结果是*,$计算 + 的结果是$ 槡 9槡 D槡* - % !$!例+!计算!$%$槡 $槡 9槡+ %$槡 :槡* % * * + %&+: 9$+%$槡 9槡 $槡 :槡2 + % 2 + % /+ +!分析利用乘法公式进行计算/解#!原式* * * +槡% : : 9 :2 *

33、$+槡% :!+原式2 2 + . 2-!槡 9槡+ !槡 :槡 !槡+%9槡 %槡 9槡+ 2 + /; /计算!$% 槡+;$9槡* %D槡, &解 原式#槡% 2 2 #槡%9* ,槡9* +槡D,$槡D,%9*$ /计算 + $ ( %! 槡 D槡%* 1/* 3/槡 4/槡0 /槡! ! ! !* +/下列计算正确的是+ +$ %0/+槡 2槡 ,槡2 2 2 %1/.槡!*.槡 %槡 !槡 槡 !3/+ *2 ,%! 槡槡9! !槡4/%99% 槡$+%$,解 原式#:%槡#; + , $% :槡, + , $% :+$槡299槡+ %$槡29#29+$:槡+ %/!&第!. 课时

34、二次根式!*!同类二次根式!几个二次根式化成 最!简二次根式!后#如果 被开方数相同!#那!么这几个二次根式叫做同类二次根式$!二次根式的加减#实质上就是合并同类二次根式$%解 原式 #!. , , . , $ 槡 槡 槡9 : +% : % 槡9% :!+ 原式 槡 槡 槡 槡2 + 9 9+ + 2 2+. 槡;+%.!2原式槡, 2% 槡2+%:槡2 $9+ *2 , 9槡+ 2槡 +9 ,槡 * /%9槡,槡9*例!下列二次根式与槡+ 不是同类二次根式的是$!%$%, %槡0/2槡+ !1/槡+ !3/槡- !4/!分析同类二次根式是化为最简二次根+式后#被开方数相同的二次根式/答案#

35、1/%2 /下列计算正确的是0/槡 :槡 %槡* 1/槡 槡! ! ! !2 + 2 +3/槡 9槡 %槡2 ! !4!/槡 D槡+ 2 - +9槡./计算+; !$! 槡2% !*$计算 +$% 槡 :槡 :槡 9槡+* ;* .* .- &%.% /下列二次根式中与槡, 是同类二次根式的是$ - %0/槡+ 1/槡, 3/槡- 4/槡! ! ! !+.+/如果最简二次根式 槡槡 - 与 ! 是2! ; +9 9同类二次根式#则! !$%!例+!计算下列各式/槡$% 槡 D槡 槡 :槡.- 2 + +. &9 +槡 槡 槡$+%$槡 9槡- + 2 % $ +%& 9 9 9+ 2 -槡$2

36、%$槡 + 槡 槡, * % 2 , /9 9!分析! 根据二次根式混合运算的顺+ 序和法则分别进行计算#再合并同类二次根式 即可$!+先化为最简二次根式#去括号#再合 并同类二次根式$!2先根据乘法运算律去括号#再化为最简二次根式#最后合并同类二次 根式即可/%解 原式#* * 2 2 *. 2槡槡 槡槡%: :9槡槡%- *:2 /槡$+%$ 槡 2 槡$+. * + + %+9 : 2解 原# .- 2 2 +式 槡槡 槡,% 9 :2槡槡 槡- 2% 9 : 2. 2 2 2,$已知%槡) +%槡:#1 +$求!9$%)1&+ +$+%) 1 )1$: :解 原式#$#+$原式槡+%#

37、 + $% :#) 1$槡%#+ +$+9+ 9 )1+9%;$槡+ $!第! 课时二次根式!+%!分母有理化指的是将该原为无理数的%分母化为有理数的过程#也就是将分母中的根号化去/!如果两个二次根式的积不含根号#则称这两个二次根式互为有理化因式/如槡! 的有理化因式是 的有理化因式是槡! ! C槡!#槡 :槡 9槡或者槡 !$%9槡!分母有理化就是将分子分母同时乘以分母的有理化因式/槡9 槡% 槡9$槡 9槡 . 2%槡 槡:$槡 :槡2%$槡 9槡 . . 2%+/%.2&.2$% 填空! ! ! ! !#槡 :槡%+ +!$9 为正整数%&:槡%: 9$+%化简! /+槡解#9+ %例!

38、下列各组代数式中#互为有理化因%式的是$!% 与 1与0/槡2 槡)! 1/槡 9槡) 2 ) ) 1: 9 : 9)与槡 )与槡9槡 + !4/槡%3/+ ) 2 )!分析 2)#满足9%0/!槡2 槡%有理化因式的定义#正确) ! 2) : 9 % 9) 1! ) 1$1/!槡 9槡 %)#不满足有理化因式的定义: 9 %+1槡%+错误 .#不满足有9 : :!) 1 #$3 /!+ ) + ) )9槡) !槡 .槡%理化因式的定义#错误 )#不满9 % 9 92)$4 /槡)*槡 )槡2足有理化因式的定义#错误$故选%0/%2$计算!$%槡+,槡%!&$+%-%!&2 的一个有理化因式是

39、!:槡% /$%槡 + !& 1的一个有理化因式是 9槡$+%) !+ /下列各式中#不互为有理化因式的是 !$ %槡 槡与0/ + ! ! 9 9 9+ 与槡1 /槡2 2 +9 :槡 槡!与3/ !9 :与4/)槡 1槡 )槡 1槡! ! : 9 :!例+!阅读下面的材料#并解答问题!%槡 + % 9$槡槡 $槡 %$槡% 9+ &+ + + %: : 9 2 +%$槡 9槡%槡 9槡槡 :槡 $槡 :槡+%$槡 9槡%2 +&2 + 2 2 +% + 槡 槡 % % $2% !&$.% !$ : 9 + 2 .$计算 ! 槡 :槡 + $ + * 槡 +槡 9 9 9 解 原式 * +

40、2 槡 % : 9 : : # + + #+ + 2$ 槡 % : + + ./*$已知 #求! # . ! % % : 9 $的值 9:2 + 2 +槡 +槡% % : 9 !解 由题意可知# ! 2 + + 2 + + 槡 槡% : % 97! ,! : % %原式.+ + +! #! $ : :% 9 %9+!9! !+#! $:% 9 % 9 %, 2, , 2$!(第 !# 课时回顾与思考./下列说法 2 是& 的平方根 & 的平! &%方根是 2 是& 的平方根 & 的平2& &C #%!有理数与 无理数!统称实数#有理数! !%方根是2#其中正确的有C$ %是有限小数和无限 循环

41、!小数#无理数是%$ ( % %无限不循环!小数%* /如果一个自然数的算术平方根是 9#则下! ! ! !0 /2 个! !1!/+ 个! !3!/ 个! !4!/ 个 ! $%!&槡!$槡 一个自然数的算术平方根是!% $! % ! !&%+ +% % ! (槡 槡 $ - %槡22 2%2 2+$ !% !& ! !& !% % 90 /9 1 /9 : :槡 槡%!$+!槡!*槡 -#则%槡 , /若3/ 9 4/ 9 : :%+ % !$! # %&( (: % %+$) *% ) !$槡槡考点二#立方根 %! !%槡% 点拨%理解立方根的概念B$! # %$(% %例+!$% 若

42、+ $与9 是同%+ 9 . +79 :类项#则 29 的立方根是9+) 1 2)1 %考点一#平方根与算术平方根%解#由7题意得 !&97 +#9 +#点拨%注意平方根与算术平方根的区别/% %977 29 -# - %+$9 % %+#故答案为 槡例 .& 的平方根是!&!$% 槡%2%解 ;#; 的平方根是 $+%若 #则# 槡 C槡.& ; #%22%) 2 ) !$9 % %.& 的平方根是 ; #故答案为% ; /7 槡 C槡 C槡%-解 #故答案为#) 2 #7) % $. 的算术平方根是%22 2 29%9 % %解/#- + + %9.%; /下列语句中#正确的是$ - %9

43、故答案为%/7 /#.的算术平方根是%0 /一个实数的平方根有两个#它们互为相%$2%若槡 #则! + 1/一个实数的立方根不是正数就是负数? , ?!的值为反数 %+9 : 9 %!解!#由&题意得 3/负数没有立方根#! + # , #%+%解得 4 /如果一个数的立方根是这个数本身#那! 么这个数一定是 或9 % 9 %.#% %C+-#故答案为%7$.!%一个正数的两个平方根分别为%C C #则这% -$! 2- /一个数的立方根与算术平C方根相等%个数是! $+;#则和 2#则! !$:%&$若 !$) $;% ) !$+!解#由题意得 #即: %! 2 +! 2 2! ,#%2%9

44、 % %解得 +#故答案为! % +$: : : % %9考点三#实数 %9 9%点拨%实数的相关概念与有理数中相关概%/+* 的平方根是 念基本相同$ %/C槡%例2!$%在实数槡#槡0/* ! ! 1/ *!3/ *!4/ *2, 的平方根是9 C%+!+ /槡9*# # 2,# /.%中#无理数有$!%; +$ - %C槡0 / 个!1/+ 个!3/2 个!4/. 个%2 /当 时 7表示0/, ! ! !1/ ,!3/ ,!4/ ,7 $ %9 C#槡%答案#1/%0/7的平方根 ! ! !1/一个有理数($+% 如图#矩形 6%&的边 6%长为+#边 %3/7的算术平方根! !4/!

45、一个正数% %&长为#6%在数轴上#以原点6为圆心 对%#!)角线6&的长为半径画弧#交正半轴于一点#则这个点表示的实数是$!%槡 槡0/2 !1/+ +槡3/* !4/+ /*解#由题意得 槡%槡+ + % :#6& 6% %& * #7这个点表示的数是槡* $故选%3/以下说法 若! 是无理数#则槡! 是实数! 的倒数+槡 !#槡为9!$/2 !+$实数!在数轴上的位置如图 所示#化简 槡 槡!?!? $! % $+ +9 9 9解 原式#%9!图9 9 9 %9 # !$ +$考点四#二次根式例.!计算!9槡 9槡2槡$ % ? 2 ? + $: 9!2槡+9 9$ 2% &槡$+% 槡

46、 :槡 槡2+ + /* /9 9-解#!原式2 2 2 + :%槡 :槡 +槡9 9 992%92%9*$%*/计算!槡 槡$%+ 槡 2 槡 + : 9 9+ 2 * .- &2 2槡 槡解 原式# . 2 + 2槡 槡. 2 - 2% : 9 9槡2 2%+ 2 $+% 槡 9槡 9槡槡.- *. + $2 2 %$ %&D : :解 原式# . 22槡%$2% 2% $ 2% +; 29 : :$槡 9槡 9槡 ?槡!2+ 槡解 原式# 2 2 2 2 + 22槡 槡 槡% 9 : 9 : 99+?&$.%$+9槡2 %+$+:槡2 %+9+9槡29+9槡解 原式# (#+ 2 $ #

47、+ 2 $) &$ + % /槡 槡+% 9 :槡 槡#+ 2 $ 2 : 9 9槡 槡考点五#化简求值% : 9 9+ 2 2 %$例*!$% 已知实数 )1满足 槡1 ) +% 9槡2#试求 的值+ +:槡 9槡9 9 : 9+ ) &$+%已知 * #求代数式! + * # +) 1 ) 1:槡 9槡% %槡+ 的值+! ! & 9 :$2%已知 #求代数9 :+ +! .! + *: 9 9 : %式 槡的值$:槡! 2 !+槡解#9!+原式.槡%+9槡+:槡+!槡9+9%2槡%+:/%槡2/若使代数式 有意义#则)的取值范) 9槡围是!$9) .$已知最简二次根式 槡2 + ! +和

48、槡+ +9是同类二次根式#则! !#9 :% %!$%*,/$%已知 槡1槡 +#则)+ +) + ) +9 9+% 9 :*) . . *)9 9+%$+%如果化简槡 +?的结果为$) % ?)+$2%已知 2 与 2 的小数部分+) ! !&92#则)的 取9值范:围是9& &:槡 9槡分别是! 和 #则 - 的! 2! .值是!$9 : :%槡 :槡 %槡 9槡;/$% 已知 #求!) #1 )2 + 2 +槡 9槡 槡 :槡+ 的值2 + 2 +解#)1 ) # 2 + $ 1 # 29 :)1 1 &槡 槡 槡+% % : % 9槡 槡+7 #) 1$ )1原式% 9 :9 %+ $

49、 ) 1 . , +槡+% : %#. , $ &;$%; )/$ * % 已 知 2# 化 简! 槡) )+槡+解 原式# ?)? ?) 2 ?) ,) &$9 :% : 9 ) )原式) 2 % :7 ) 29 % ) 2$ % *是 &边 上# 的点 &(# #$ %#&将-/如图+#在 %&中 ,(#点 #* # # %&沿直线 %*翻折#使点 % % 落在 边上的点,处#若点3是直线%*上的动 %& 点#求 3,&的周长的最小值 / :$+%已知 槡) $1 +) % 2 2.#且槡2+#求 2的值) 1 &% 9 : : 9% : :解 槡#1 +) $ 2 2 ) .槡2+9 :

50、 : 9 % % 29 : %1 +) ) ,.7 7 2 2 9 %1 +;%槡原 式%2 2%) .7 ,. +; 2 &.$% : : %槡 槡$2% 若 #求1+) 1+ +) . . )9 : 9%:的值&) +:%解 如图 连接# 33,&图+ 折得到的% : :3是,由,& 3&翻 %,* %* 73 7 3 3& &,当, 与3 重合时 周长最小% % : :3,&最小值为&,设 &* ) & )* *, 则:% % : % % %& &( %& ,(# #% % % +7 *,& &( ,*& 2(# #解 # : %) + &%)7,& %由勾股定理得!+)% :$.% 已

51、知 槡 )# 化简? $) % ? !+9 9 %槡 槡+ + ) ) ) )&: 9 : : :解 由题意可知# ) . .) )原式 7 ?) ? ?) ?% 9 : :+ +当 ) )时%.槡 槡解得 槡% 2+ 2 2) ,&% %2 2槡周长的最小值为+ 27 3,&2:$槡2: 2:) +原式%9 : :) )%+ +原式) ) +)$% % % 9 : : %+ +%!第三章!位置与坐标第 ! 课时确定位置%!在生活中#确定平面内点的位置至少需要 #!个数据$常见的有!经纬定位法#方向!角:距离(表示法#区域定位法等$%例!如图#一只甲虫在 * 的方格$每*%小格边长为% 上沿着

52、网格线运动$它从 %处出发去看望&*处的其它甲虫#规定!向上向右走为正#向下向左走为负$如果从 %到&记为 2%#从 &到 %记为!% &$ # !& %2%#其中第:一个数表示左右方向:#第二* *%个数表示上下方向$%$ #9 9$%图中% $! #!%#& *$!#* *$+%若这只甲虫的行走路线为!%# *$ #!%&*:*#请计算该甲虫走过的路程 $2%若这只甲虫从 %处去甲虫 3处的行走路线依次为&% & * * *%: +%#请9在图中9标: :$ +# +%#$ # %#$ +#出3的位置$: 9 92%#$ #解#%图 !图 +!2 /某市大约位于北纬.(东经2(#用一个有序

53、数对表示应是 $ !$纬!#*.6!)6度在前%.$如图+#是一台雷达探测器测得的结果#图 中显示#在%&*,处有目标出现#请 用适当的方式分别表示每个目标的位置 $点6是雷达所在地 + 米%$比如 目标%在点6的正北方向上+ 米处#目#%6 !%标&在 点 北偏东 方向上 米! 2.6 +. !& ! ).6 *.目标在 点 的南偏西 方向上米处!&目标*在 点 的南偏东 方! ).6向上 米处!&目标,在 点 的北偏). ! 西 方向上 米处).6 2. !$!例+!某市区有2 个加油站#位置如图所示#若加油站 的位置表示为则加油站+ 的位置可表示为!#加油站2 的位置可表示为$#;%#$

54、2#% 坐标 所代表的地点分别为!,-./!/ + 2图 ! 图* /点 .%的位置在 0!轴的 负!半;$# ! !轴上/9, /如图2 的围棋盘放在某个平面直角坐标 系内#白棋#的坐标为 .%#白棋的坐标为 -%#那9么 黑9棋$ ,#的坐标$ ;#$ $ ;#$ ,#应该是 9 9!# ) ,$!$/ /!例+!在直角坐标系中#描出下列各组点#并将各组内的点用线段依次连接起来/%$+#%#$+#%#$2#+%#$#2%&%#$*#.%#$#2%/% /如图是#在平面直角坐标系中#点3的坐标$ - %!0 /!$#!+%! ! 1!/!$+#!%!%3/$ #+% 4 /$+# %9 9%

55、 !分析由点的坐标确定点的位置#然后依次用线段连接#从而得到正确图形解#如题图#像帆船/图+ /在平面直角坐标系中#点 2#% 所在3$的象限为$ & %90/第一象限 1 /第二象限3/第三象限 4 /第四象限2 /与直角坐标平面内的点对应的坐标是%; /如图.#在所给的直角坐标系中#作出点%$+#并写出点3;的坐标$9 9 92% #&$2# *%#$# 2%#*$解 坐#%&%*标位置如题图所示9+#9.%#0/一对实数 1 /一对有序实数$ & % 3/一对有理数 4 /一对有序有理数. /如图+ 是画在方格纸上的某行政区简图 $%地点# $9图.%#第) 课时平面直角坐标系!#!点3

56、$!#%到)轴的距离是 7!#到!7#1轴的距离是 7!# 到原点的距离是! 7槡# #!若点 3$!#% 在第一% 三象限角平分线! # !$上#则 #!&若点 3$!#% 在第二四象限! !%!若点3$!#%#4$#=% 满足/34 #)轴! ! #!$则 !=&若点! ! !1 #轴#!则3$!#%#4$#=%+满足34 ! ! !#! !=$&$+ &%* /以点 %为圆心#2 为半径画圆#分别3$#交1轴的正半轴#负半轴于点%#$如果点 !%*%到它到 91轴的距:离相等#求7的值解 到 轴 $#$ +#!9 9&$+%如图 + 是平面直角坐标系内的#3#3两点#求证 槡!33+ +

57、$2%根据% 9 : 9$+% 的$结)果)#计% 算 点$1 1% &%$ +#%# + + + &$+#.%之间的距离 $9!$+ !%已!知!点& 4的坐标为 -%#且点4到两坐标轴的距离相等#求点4的坐标$+ +!#!9 :解#!第一 #第二&三象限的角平分线上 $&四象限的角平分线上$!+由题意得?!+或+!? !?#?-9 % :解得9 % : 9 %9 9! ! #+ +!当 + 时! 时 #+%9 %+! ,#- ! ,#当%9 9 % : %#+ +! -#- ! -#7点% 9 %9 : %! 4的坐标为!,#,或! -#-$9%图 !图!解# # /已知点 )%在第一三象

58、限的角平分线上 2;#2的坐标为;$+#)则9 9$ %0/$ # % 1/$ #%+ /已知3 /$#)# %1为实数#且43/$)#1% 的坐标满足9%#则点3必在+ +) 1 $ ( %: 1/)轴正半轴上0/原点上%3/1轴正半轴上 4/)轴负半轴上2 /已知点 #%$#%#以%$+#%&$9%&三点为顶点画平行四边形 + #则第四个顶点不可能在0/第一象限 1/第二象限 $3/第三象限 4/第四象限 %* /点%$2#%与点 #%的距离是点%$#,%与点&$#2%的距离是9!)!*&!点&%$2#%与点&$#2%的距离是槡, /求点%$ *#+%#&$;# $2%之 间!的) 距#离

59、!$9 9解 槡#%& #;%:*$+ +: 9 9# 2 +$2$%第 + 课时平面直角坐标系!*!例+!已知在直角坐标系中有点%$#+%# %&$*#*%#$*#+% 三点#问是否存在点 *#使%!几何图形建立直角坐标系的原则!便于 %*与 %&全等) 若存在#求出一个这样 %计算$步骤是! 找好原点# 分别建立 的点 &若不存在#请说明理由)轴与%*的坐标%1轴 解$%#%例!如图#网格中每个小正方形的边长都是#依次完成下列各问!$%任选一点作为原点#建立平面直角坐标系&$+%写出%&*,各点的坐标&$2%求五边形%&*,的面积$解#!建立如题图所示的平面直角坐标系 $!+%!#+&!#&!2#&*!.#+&,!2#2$!2 -五边形 2 . + % 9 9 %&*, + + +9 9 % 2 -$+ + /如图 #在直角梯形6%&中#& 6%#+%+$已知直线! 平行于 )轴#点;$ +# 2%是直线! 上的一个点#若点也9是 直9线!上的一个点#请写出符合条件的一个点的坐标是!$2$如图+#正方形 %&*的顶 点&都在直角坐标系的 )轴上# 若点 %的坐标是$ 9#.%#则点 的坐标是图+.$如图2#已知! !$%& ,#% *# &% +($% % %#$%求&点的坐标$+%求&的长&$%建立合适的直角坐标系#并求点% +%,$*$%+- 9 /在平面直角坐标系中