《实变函数与泛函分析》课程教学大纲

1、实变函数与泛函分析课程教学大纲Real Analysis一、课程基本情况课程类别：课程学分：4学分课程总学时：64 学时，其中讲课：64学时，实验（含上机）：0学时，课外0学时课程性质：必修(选修)开课学期：第学期先修课程：数学分析、高等代数适用专业：信息与计算科学教材：程其襄、张奠宙、魏国强、胡善文、王漱石编，实变函数与泛函分析基础（第三版），高等教育出版社，2010年。开课单位：数学与统计学院二、课程性质、教学目标和任务实变函数与泛函分析是数学类非基础数学专业的后续课程。该课程是进一步学习调和分析、偏微分方程、随机过程等与实际应用紧密联系的学科的理论基础。本课程以简明、直观的方式介绍欧氏空

2、间上的Lebesgue测度与Lebesgue积分理论，并以欧式空间上的函数空间为例介绍抽象Hilbert空间和Banach空间理论。通过本课程的教学，学生应理解现代抽象分析的基本思想方法，系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分理论以及常见的函数空间及算子。三、教学内容和要求第1章集合与基数（5学时数）1.1集合及其运算（1学时数）（1）了解：集合的直积，集合与子集的定义；（2）理解：集合运算与命题逻辑的关系，de Morgan公式；（3）掌握：集族的交、并、补运算以及集合列的上下极限。重点：集族的交、并运算难点：集合列的上、下极限1.2集合的基数（1.5学时数）（1）了解：等价关系

3、，Bernstein定理的证明；（2）理解：集合对等的定义；（3）掌握：利用Bernstein定理证明常见集合间的对等。重点：Bernstein定理的应用难点：Bernstein定理的证明1.3可数集合（1.5学时数）（1）了解：可数个可数集合的并仍为可数集合的证明；（2）理解：可数集的定义；（3）掌握：可数集合的运算性质，常见的可数集。重点：可数集的运算性质难点：集合可数性的证明1.4不可数集合（1学时数）（1）了解：连续基数；（2）理解：实数集不可数的证明，无最大基数定理及其证明（Cantor对角线法），连续基数集合的运算性质；（3）掌握：实数集为不可数集，常见的不可数集合，可数的集合交并

4、运算表示集合。重点：实数集为不可数集，可数的集合交并运算表示集合难点：实数集不可数的证明，无最大基数定理的证明，可数的集合交并运算表示集合第2章n中的点集（4.5学时数）2.1聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理（1学时数）（1）了解：外点、孤立点的定义，导集定义，点集的直径与有界性；（2）理解：邻域，点集间的距离，内点、边界点、聚点的定义；（3）掌握：聚点的等价描述，Bolzano-Weierstrass定理，闭包的定义与性质。重点：集合聚点和内点的验证，闭包难点：Bolzano-Weierstrass定理的证明2.2开集、闭集与完备集（1.5学时数）（1）了解：闭

5、集间的距离；（2）理解：开集、闭集、紧集、完备集的定义；（3）掌握：开集、闭集的验证与运算性质，Borel有限覆盖定理。重点：开集、闭集的验证与运算性质，Borel有限覆盖定理难点：Borel有限覆盖定理2.3一维开集、闭集、完备集的构造（1学时数）（1）了解：完备集补集的构成区间；（2）理解：构成区间的定义；（3）掌握：开集、闭集的构造。重点：开集的构造难点：开集构造的证明2.4 Cantor集（1学时数）（1）了解：Cantor集具有连续基数；（2）理解：无处稠密集合；（3）掌握：Cantor集的构造方法，Cantor集是完备集和无处稠密集。重点：Cantor集的构造方法难点：Cantor

6、集的性质第3章测度理论（7学时数）3.1点集的外测度（2学时数）（1）了解：有理数集等的外测度；（2）理解：点集的外测度的定义，区间的外测度；（3）掌握：外测度的基本性质。重点：外测度的基本性质难点：外测度定义方法3.2可测集与测度（3学时数）（1）了解：Caratheodory条件的引入方法；（2）理解：可测集的定义，测度的定义；（3）掌握：集合可测的 Caratheodory条件，可测集的运算性质，外测度在可测集上的可列可加性，单调集合序列极限的测度。重点：集合可测性的判据，可测集的运算性质难点：外测度在可测集上的可数可加性3.3可测集类（2学时数）（1）了解：不可测集存在性，G-集、F-

7、集及其与测度关系；（2）理解：-代数定义，Borel集的定义，零测度集，Lebesgue测度的内外正则性；（3）掌握：Borel集可测性。重点：Borel集可测性难点：Lebesgue测度的内外正则性第4章可测函数（8.5学时数）4.1可测函数（3学时数）（1）了解：扩充实数集的运算规则，几乎处处性质；（2）理解：可测函数定义；（3）掌握：函数可测性各种等价判据，可测函数的基本运算、极限，简单函数逼近可测函数。重点：可测函数的基本运算、极限，简单函数逼近可测函数难点：简单函数逼近可测函数4.2 Egoroff定理（1.5学时数）（1）了解：Egoroff定理的有限测度条件；（2）理解：Egor

8、off定理的证明；（3）掌握：几乎处处收敛、几乎一致收敛， Egoroff定理。重点：Egoroff定理难点：Egoroff定理的证明与运用4.3可测函数的结构：Lusin定理（1.5学时数）（1）了解：闭集上连续函数的扩张；（2）理解：函数相对于子集的连续性；（3）掌握：Lusin定理及其等价形式。重点：Lusin定理及其等价形式难点：Lusin定理的证明4.4依测度收敛（2.5学时数）（1）了解：几种收敛蕴含关系的常见反例；（2）理解：依测度收敛极限的唯一性；（3）掌握：依测度收敛与几乎处处收敛、几乎一致收敛的联系与区别（Lebesgue定理，Riesz定理）。重点：依测度收敛与几乎处处收

9、敛、几乎一致收敛的关系难点：Riesz定理的证明第5章 Lebesgue积分（14学时数）5.1非负简单函数的积分（2学时数）（1）了解：Riemann积分局限性，Riemann积分和Lebesgue积分的思想的区别；（2）理解：非负简单函数的Lebesgue积分定义（3）掌握：非负简单函数积分的基本性质。重点：非负简单函数积分的基本性质难点：Riemann积分和Lebesgue积分的思想的区别5.2 非负可测函数的积分（3学时数）（1）了解：Fatou引理不等号相关反例；（2）理解：非负可测函数的Lebesgue积分定义（3）掌握：非负可测函数的积分基本性质，非负可测函数积分的Levi定理、

10、Fatou引理。重点：非负可测函数的积分存在性，Levi定理，Fatou引理难点： Levi定理的证明5.3一般可测函数的积分（3.5学时数）（1）了解：可测函数的正部和负部；（2）理解：积分确定与可积的定义，积分的绝对连续性；（3）掌握：可测函数的积分基本性质，Lebesgue控制收敛定理，含参变量积分的导数。重点：Lebesgue控制收敛定理难点：积分的绝对连续性5.4 Riemann积分与Lebesgue积分（1.5学时数）（1）了解：Lebesgue积分与反常Riemann积分关系；（2）理解：可测函数Riemann可积的充要条件；（3）掌握：重点：可测函数Riemann可积的充要条件

11、难点：可测函数Riemann可积的充要条件5.5 Fubini定理（2学时数）（1）了解：非负可测函数Lebesgue积分的几何意义；（2）理解：集合的直积与截面；（3）掌握：截面定理，Fubini定理。重点：Fubini定理难点：截面定理的证明5.6微分与不定积分（2学时数）（1）了解：分部积分法、变量替换公式，Vitali覆盖引理；（2）理解：绝对连续函数,有界变差函数，不定积分，单调函数的微分，有界变差函数的微分；（3）掌握：绝对连续函数的微积分基本定理。重点：绝对连续函数的微积分基本定理难点： Vitali覆盖引理，单调函数、有界变差函数、绝对连续函数的微分第6章度量空间与赋范线性空间

12、（7.5学时数）6.1度量空间（1学时数）（1）了解：离散空间，序列空间；（2）理解：度量空间的定义；（3）掌握：连续函数空间，平方可和序列空间2。重点：连续函数空间，平方可和序列空间2难点：无穷维空间的抽象理解6.2度量空间的拓扑（1.5学时数）（1）了解：边界点、聚点等的抽象定义；（2）理解：邻域，内点的定义，收敛点列；（3）掌握：稠密子集，可分空间。重点：可分空间定义难点：不可分性6.3连续映射（1学时数）（1）了解：；（2）理解：度量空间连续映射的定义；（3）掌握：映射连续性的序列刻画与开集刻画。重点：映射连续性的序列刻画难点：6.4完备度量空间（1学时数）（1）了解：常见完备度量空间

13、,度量空间的完备化,压缩映像原理应用于隐函数定理和常微分方程；（2）理解：完备度量空间定义，压缩映像原理；（3）掌握：Cauchy点列。重点：Cauchy点列，常见完备度量空间；难点：压缩映像原理6.5赋范线性空间（3学时数）（1）了解：维数，有限维赋范线性空间基本性质；（2）理解：线性空间，基，范数，赋范线性空间；（3）掌握：Banach空间，Holder不等式，Minkowski不等式，Lp空间、p空间和连续函数空间为Banach空间。重点：Banach空间及常见例子；难点：Holder不等式，Minkowski不等式，赋范线性空间完备性的证明方法，有限维赋范线性空间的范数等价性第7章有界

14、线性算子与连续线性泛函（4.5学时数）7.1线性算子与线性泛函（0.5学时数）（1）了解：线性算子的零空间与像；（2）理解：线性算子定义，线性泛函定义；（3）掌握：线性算子的相加和复合运算。重点：线性算子定义及常见例子难点：7.2有界算子（2学时数）（1）了解：常见有界算子的范数，无界算子、泛函的例子；（2）理解：有界算子定义，连续线性泛函定义，有界算子范数定义，连续泛函的零空间刻画；（3）掌握：线性算子有界性等价于连续性，有界算子范数的基本计算方法。重点：有界算子的范数，线性算子有界性与连续性的等价性难点：有界算子范数的计算7.3有界算子空间与对偶空间（2学时数）（1）了解：广义函数，函数；

15、（2）理解：有界算子空间为赋范线性空间，等距同构，对偶空间定义；（3）掌握：Lp空间及p空间的对偶空间。重点：对偶空间概念，Lp空间及p空间的对偶空间难点：Lp空间及p空间的对偶空间的证明第8章 Hilbert空间（7学时）8.1内积（1学时）（1）了解：不构成Hilbert空间的例子；（2）理解：内积空间与Hilbert空间的定义；（3）掌握：平行四边形公式，Cauchy-Schwarz不等式，L2空间及2空间为Hilbert空间；重点：平行四边形公式难点：8.2投影（2学时）（1）了解：直和，补子空间，正交补子空间，稠密子空间；（2）理解：凸集定义，正交性；（3）掌握：一点到闭凸集的投影，

16、正交投影；重点：正交投影算子；难点：到闭凸集的投影的存在性证明8.3 可分Hilbert空间的正交完备基(2学时)（1）了解：线性空间意义下的基（Hamel基），Fourier级数视作正交展开；（2）理解：可分Hilbert空间，正交完备基定义与存在性；（3）掌握：Bessel不等式，Parseval等式， Gram-Schmidt正交化；重点：Parseval等式难点：Gram-Schmidt正交化过程，Hilbert空间的基与其线性空间意义下的基的区别8.4 RieszFrchet表示定理（2学时）（1）了解：自伴算子、正规算子、酉算子的定义与例子；（2）理解：共轭算子及例子；（3）掌握：

17、RieszFrchet表示定理；重点：RieszFrchet表示定理难点：共轭算子的概念第9章 Banach空间的几个基本定理（6学时）9.1 Hahn-Banach定理（1.5学时）（1）了解：次线性泛函定义，Hahn-Banach定理的几何形式；（2）理解：Hahn-Banach定理；（3）掌握：有界线性泛函保范延拓的存在性，有界线性泛函区分点；重点：Hahn-Banach定理，有界线性泛函保范延拓的存在性难点：Hahn-Banach定理的证明，Zorn引理9.2 Banach-Steinhaus共鸣定理（2学时）（1）了解：稀疏集，集合的纲；（2）理解：Baire纲定理；（3）掌握：Banach-Steinhaus共鸣定理；重点：Banach-Steinhaus共鸣定理难点：Baire纲定理，集合的纲9.3 开映射定理与闭图像定理(2.5学时)（1）了解：无界闭算子及例子；（2）理解：闭图像定理；（3）掌握：开映射定理，逆映射定理，范数等价定理；重点：开映射定理，闭图像定理难点：开映射定理的证明四、课程考核（1）作业每4学时布置一次，约16 次；（2）考核方式：闭卷考试；（3）总评成绩计算方式：总评成绩=平时成绩10%+期中