2012高中数学竞赛-凸函数和琴生不等式

1、2012 高中数学竞赛凸函数和琴生不等式 / 7高中数学竞赛选讲凸函数与琴生不等式作者 阿道夫 2012.10.121.定义： 设 f (x) 在区间 I 上有定义 ,如果对任意 x1,x2 I 和实数(0,1) 总有f ( x1 (1 )x2)f (x1) (1 ) f(x2)(1)成立，则称 f(x)在区间 I 上为下凸函数。 如果 x1 x2 ，(1)式严格不等式成立， 则称 f(x)在间区 I 上为严格下凸函数。若( 1)式中不等号反向，则称 f (x) 在区间 I 上为上凸函数。.从图像上认识、理解，几何意义。弦的中点总在曲线上或一侧。凹函数的 形状特征是：其函数曲线任意两点 A1与

2、 A2之间的部分位于 弦A1A2的下方;凸函数的 形状特征是：其函数曲线任意两点 A1与 A2之间的部分位于 弦A1A2的上方。 简记为： 形状凹下凸.从导数的角度来理解。凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率 y= f (x)随x增大而增大 ；凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率 y= f (x)随x增大而减小 ； 简记为： 斜率凹增凸减 。x1 x2xn.正项函数的变形。 f(x1) f(x2) f (xn) f( 1 2n) (取对数的结果) .n奥数教程中的练习题 3.nxi a,b, i 0(i 1,2, ,n), i 1, 有i1.琴生不等式： (琴生( Jensen )不等式 )若 f

3、 为 a,b上凸函数，则对任意证 应用数学归纳法，当n 2 时，由定义 1 命题显然成立，设 n k 时命题成立，即对任knnfi xii f (xi ).i 1 i 1意 x1,x2, ,xk a,b 及 i 0,i 1,2, ,k, i 1，都有 i1fi xii f (xi ).i 1 i1现设 x1,x2, ,xk,xk 1 a,b 及k1i 0(i 1,2, ,k 1), i 1i1k令 i i ,i 1,2, ,k, 则 i 1由数学归纳法假设可推得1 k1 i 1f ( 1x12x2k xkk 1xk 1)f (11x12 x2k xkk 1)k 1xk 1(1 k 1)f( 1

4、x12x2kxk) k 1f(xk 1)(1 k 1) 1f(x1)2f(x2)k f(xk)k1f(xk 1)(1 k1)1 1k1f(x1) 1 2k1f(x2)1 kk1f(xk)k1k 1 f(xk 1) i f (xi )。i1这就证明了对任何正整数 n( 2) ，凸函数 f 总有不等式成立。 2. 理论补充：引理 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点 x1 x2 x3 ，总有f(x2) f(x1) f (x3) f (x2) x2 x1x3 x2( 分析 ) 必要性 要证 (3) 式成立 , 需证(x3 x2)f (x2) (x2 x1) f(x2) (x3 x

5、2)f(x1)(x2 x1) f (x3)3)即. (x3 x1)f (x2) (x3 x2)f(x1) (x2 x1)f(x3),记x3 x2 ，则 x2 x1 (1 )x3 ，由 f 的凸性易知上式成立x3 x1充 分 性 在 I 上 任 取 两 点 x1,x3(x1 x3), 在 x1,x3 上 任 取 一 点x3 x2x2 x1 (1 ) x3,(0,1), 即 3 2 ，由必要性的推导逆过程，可证得x3 x1f ( x1 (1)x3)f(x1) (1)f (x3),故 f 为 I 上的凸函数。注 同理可证， f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于 I 上任意三点 x1 x2 x3

6、，有4)x2 x1x3 x1x3 x2f (x2) f (x1)f(x3) f(x1) f (x3) f (x2)定理 1. 设 f 为区间 I 上的可导函数，则下述论断互相等价：1 f 为 I 上凸函数；2 f为 I 上的增函数；3 对 I 上的任意两点 x1,x2 ，有f(x2) f (x1) f (x1)(x2 x1)(5)(分析 ) (1 2 ) 要证 f 为 I 上的递增函数 , 只需任取 I 上两点 x1,x2(x1 x2)及充 分小的正数 h ，证明f (x1) f (x1 h) f(x2 h) f (x2) 成立 , hh由 f 是可导函数，令 h 0 时便可得结论 .由于 x

7、1 h x1 x2 x2 h ，根据 f 的凸性及引理有f (x1) f (x1 h) f (x2) f(x1) f (x2 h) f(x2) x2 x1(2 3 ) 在以 x1, x2 (x1 x2 )为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和f 递增条件，有f(x2) f(x1) f ( )(x2 x1) f (x1)(x2 x1)移项后即得( 5)式成立，且当 x1 x2 时仍可得到相同结论(3 1 ) 设以 x1,x2 为 I 上任意两点， x3 x1 (1 )x2,01。由 3 ，并利用x1 x3 (1 )(x1 x2)与 x2 x3(x2 x1) ，f(x1) f (x3) f (x3

8、)(x1 x3) f (x3) (1) f (x3)(x1 x2)，f(x2) f (x3) f ( x3 )( x2 x3) f (x3) f (x3)(x2 x1)分别用 和 1 乘上列两式并相加，便得f (x1) (1 ) f(x2) f (x3) f ( x1 (1 )x2)从而 f 为 I 上的凸函数。注 1 论断 3 的几何意义是： 曲线 y f (x) 总是在它的任一切线的上方 (图 6-14 )。这是可 导凸函数的几何特征。定理 2 设 f 为区间 I 上的二阶可导函数，则在 I 上 f 为凸(凹)函数的充要条件是f (x) 0(f (x) 0),x I.3.例题选讲：1.若函

9、数 y sin x在区间 (0, )上是凸函数，那么在ABC中，sin A sin B sin C的最大值为2.若a1,a2, an是一组实数，且 a1 a2an k(k为定值 )，试求： a12 a22an2的最小值分析：f (x) x2在( , )上是凸函数1n(a12n2 2a1 a2an 2a22an2) ( 1 2n )22a1a222 an当且仅当 a1 a2k2nan时，取等号k23.已知 xi 0,(i 1,2, ,n)，n 2,x1 x2xn 1，求证：(1 1 )n (1 1 )n (1 1 )n n(n 1)nx2xn1 ) n(1 1 )n x2xnnx111 n证：

10、(1)n (1nx11nn (1 1 )n(1 x12 )n (1 x1n )nx1b1b2b1(利用结论：(1 1 )(1 2 ) (1 n ) n 1 (b1 b2 ana1 a2a1 a2ban ) n );an)1(1)(1 1 )1 )(1 (1 1 )1 n) n1 1(xn xn1n x1x12)(1xn 1 )x1 (1x2 1 ) (xnn 1)1nx1 x2 xnn n1 n 1 n 1 n n (1 ) n (1) n(1)n n(n 1)nx1 x2 xn(1(11x1 x1又 (1nx2 x21 x1x21x nx 1 x )n 1 n x1x2 xn n x1x2x

11、n4.若P为 ABC内任一点，求证 PAB、 PBC、 PCA中至少有一个小于或等 于30 ； 证：设 PAB 、 PBC 、 PCA ，且 PAC、 PBA 、 PCB ;PAsin PBsin 依正弦定理有：PB sinPCsin sin sin sin sin sin sin PCsin PAsin (sin sin sin )2 sin sin sin sin sin sin (sinsin sin sin sin sin )6(6)6 sin ( 1 6 ) (1)62sin sin sin(1)32在 、 、 ,中必有一个角满足1sin230 , 否则 150 时， 、 中必有一个

12、满足 305.证明(x y)ln(xy2) xln x yln y(x 1, y 1)证明 ：构造函数 f(t) t lnt,t 1 ，则f (t)f (t) ( f (t)2(ln2t lnt 1) 0.则 f (t) t lnt,t 1为对数性上凸函数，则(2x 2y) ln(xy2) ( xln x)( yln y)1(xln x)(yln y)2xln x yln y故即(x y)ln( x ylnyyln) x ln x y22)x xl nyabc6. 证明不等式 (abc) 3aabbcc ，其中， a,b, c均为正数。证 设 f (x) xln x,x 0.由 f (x) 的一阶和二阶导数1f (x) ln x 1, f (x)x可见， f (x) xln x,x 0.时为严格凸函数，依詹森不等式有f a b cf3113(f(a)f (b) f (c),从而a b c a b cln33(alna blnb cln c),a b c abcabc a b c a b c3abc3 a b c 3 a b c 又因 3 abc , 所以 (abc) 3 a b c