全国大学生数学竞赛预赛试题(19届)

1、全国大学生数学竞赛初赛试题.(19届)全国大学生数学竞赛初赛试题.(19届)9/9全国大学生数学竞赛初赛试题.(19届)第一届全国大学生数学竞赛初赛试题一、填空题（每题5分，共20分）(xy)ln(1y)1计算Dxdxdy_，其中地域D由直线xy1与两坐标轴所围成三角形地域.1xy2设f(x)是连续函数，且满足f(x)3x22_.f(x)dx2,则f(x)03曲面zx2y22平行平面2x2yz0的切平面方程是_.24设函数yy(x)由方程xef(y)eyln29确定，其中f拥有二阶导数，且f1，则d2y_.dx2二、（5分）求极限lim(exe2xenxe)x，其中n是给定的正整数.x0n1f

2、(xt)dt，且limf(x)A，A为常数，求g(x)并谈论g(x)三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)0 x0 x在x0处的连续性.四、（15分）已知平面地域D(x,y)|0 x,0y，L为D的正向界线，试证：（1）xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx；（2）xesinydyyesinydx52.LLL2五、（10分）已知y1xexe2x，y2xexex，y3xexe2xex是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线yax2bx2lnc过原点.当0 x1时,y0,又已知该抛物线与x轴及直线1所围图形的面积为1.试确定a,

3、b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.3七、（15分）已知un(x)满足un(x)un(x)xn1ex(n1,2,),且un(1)e,求函数项级数un(x)之和.nn1八、（10分）求x1时,与xn2等价的无量大量.n0第二届全国大学生数学竞赛初赛试题一、（25分，每题5分）a2n1x2（1）设xn(1a)(1a2)L(1),其中|a|1,求limxn.（2）求limex1。nxx（3）设s0，求Iesxxndx(nL)。01,2,（4）设函数f(t)有二阶连续导数，rx2y2,g(x,y)f1，求2g2g。rx2y2（5）求直线l1:xy0与直线l2:x42y1z3的距离。z

4、021二、（15分）设函数f(x)在(,)上拥有二阶导数，并且f(x)0,limf(x)0,limf(x)0,且xx存在一点x0，使得f(x0)0,证明：方程f(x)0在(,)恰有两个实根。三、（15分）设函数yf(x)由参数方程x2tt2(t1)所确定，其中(t)拥有二阶导数，曲线y(t)yt2eu23在t1出相切，求函数(t)。(t)与ydu2e1四、（15分）设annak,证明：（1）当1时，级数an收敛；（2）当1且sn(n)0,Snk1n1Sn时，级数an发散。n1Sn五、（15分）设l是过原点、方向为(,)，（其中2221)的直线，均匀椭球x2y2z21，a2b2c2其中（0cba

5、,密度为1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,)的最大值和最小值。六、(15分)设函数(x)拥有连续的导数，在围绕原点的任意圆滑的简单闭曲线C上，曲线积分2xydx(x)dy的值为常数。（1）设L为正向闭曲线(x2)2y21,证明2xydx(x)dy0;（）?42?422xyxycc求函数(x)；（3）设C是围绕原点的圆滑简单正向闭曲线，求?2xydx(x)dy。x4y2c第三届全国大学生数学竞赛初赛试题一计算以下各题（共3小题，每题各5分，共15分）1111（1）.求limsinx1cosx（2）.求lim.；x0 xnn1n2nn（3）已知xln1e2td2yyt

6、arctanet，求dx2。二（10分）求方程2xy4dxxy1dy0的通解。三（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内拥有二阶连续导数，且f0,f0,f0均不为0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得limk1fhk2f2h2k3f3hf00。h0h四（17分）设1:x2y2z21，其中abc0，2:z2x2y2，为1与2a2b2c2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。x23y21z0）取上五（16分）已知S是空间曲线0绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（z侧，是S在Px,y,z点处的切平面，x,y,z是原点到切平面的距离，,表示S的正法向的方向余弦。计算：

7、（1）zdS；（2）zx3yzdSSx,y,zS六（12分）设f(x)是在,内的可微函数，且f、xmfx，其中0m1，任取实数a0，定义anlnfan1,n1,2,.,证明：anan1绝对收敛。n1七（15分）可否存在区间0,2上的连续可微函数f(x)，满足f0f21，2xdx1？请说明原由。f、x1,f0第四届全国大学生数学竞赛初赛试卷一.每题6分共30分1x11.求极限lim(n!)n2；2.求极限lim3xxnxsintdt；tcost3.求经过直线L:2xy3z0的两个相互垂直的平面1,2，是其中一个平面过点（4,3,1）；5x5y4z304.已知函数zu(x,y)eaxby，且2u0

8、，确定常数a和b，使函数zz(x,y)满足方程xy2zzzz0；xyxx5.设函数uu(x)连续可微，u(2)1，且(x2y)udx(xu3)udy在右半平面上与路径没关，求u(x)；L二.（10分）计算0e2x|sinx|dx；三.（10分）求方程x2sin12x501的近似解，精确到0.001；x四.（12分）设函数yf(x)二阶可导，且f(x)0,f(0)0,f(0)0，求limx3f(u)，其中u是3x0f(x)sinu曲线yf(x)上点P(x,f(x)处切线在x轴上的截距；五.（12分）求最小实数C，使得对满足11|f(x)|dx1的连续的函数f(x)，都有f(x)dxC；00六.（

9、12分）设f(x)为连续函数，t0，地域是由抛物面zx2y2和球面x2y2z2t2所围起来的上半部分，定义三重积分Ftfx2y2z2dv，求F(t)；()()七.（14分）设an与bn为正项级数那么（an10，则an收敛；（1）若1）若lim()n1n1nan1bnbnn1an10，则若lim()bn发散，an收敛。nan1bnbnn1n1第五届全国大学生数学竞赛初赛试卷一、解答以下各题（每题6分共24分）4n2nsinxdx不是绝对收敛的1.求极限lim1sin1.2.证明广义积分n0 x3.设函数yyx由x33x2y2y32确定，求yx的极值。4.过曲线y3xx0上的点A作切线，使该切线与

10、曲线及x轴所围成的平面图形的面积为3，求点A的坐标。4二、（12分）计算定积分xsinxarctanexdx1cos2xI三、（12分）设fx在x0处存在二阶导数f0，且limfx0。证明：级数f1收敛。x0 xn1nb2四、（12分）设fx,fx0axb，证明sinfxdxam五、（14分）设是一个圆滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分Ix3xdydz2y3ydzdx3z3zdxdy。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。六、（14分）设Iar?ydxxdy，其中a为常数，曲线C为椭圆x222x2y2axyyr，取正向。求极限ClimIarr11L七（14分）判断级数2n的敛散性

11、，若收敛，求其和。n1n1n2第六届全国大学生数学竞赛初赛试题一填空题(共有5小题，每题6分，共30分)已知1x和1x是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是_1.yeyxe2.设有曲面S:zx22y2和平面L:2x2yz0。则与L平行的S的切平面方程是_3.设函数yy(x)由方程xsin2tdt所确定。求dy_yx14dxx0n1f(x)kf(x)x34.设xn。则limxn_5.已知lim1_xe。则limx2k1(k1)!nx0 xx0二（12分）设n为正整数，计算I1dcosln1dx。e2ndxx三（14分）设函数f(x)在0,1上有二阶导数，且有正常数A,B使得|f(x)|A，

12、|f(x)|B。证明：对任意x0,1，有|f(x)|2AB。2四（14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R。证明该球缺体积为(3Rh)h2。球冠面积为2Rh；3（2）设球体(x1)2(y1)2(z1)212被平面P:xyz6所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。求第二型曲面积分Ixdydzydzdxzdxdy五（15分）设f在a,b上非负连续，严格单增，且存在xna,b，使得f(xn)n1bf(x)ndx。baa求limxnnnnn。求limnAn六（15分）设An22222n1n2nnn4第七届全国大学生数学竞赛初赛试卷一、填空题（每题6分，共5小题，满分30分）sinsin2sin（

13、1）极限limnnnL.222nn1n2nn（2）设函数zzx,y由方程Fxz,yz0所决定，其中Fu,v拥有连续偏导数，且yxxFuyFv0。则xzyz.xy（3）曲面zx2y21在点M1,1,3的切平面与曲面所围地域的体积是.(4)函数fx3,x5,05,5的傅立叶级数在x0收敛的值是.0.x在0,5（5）设区间0,上的函数ux定义域为的uxext2dt，则ux的初等函数表达式0是.二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。三、（12分）设fx在a,b内二次可导，且存在常数,，使得关于xa,b，有fxfxfx，则fx在a,b内无量次可导。四、（14分）求幂级数n32x1n

14、的收敛域，及其和函数。n0n1!五、（16分）设函数fx在1fxdx0,10,1上连续，且xfxdx1。试证：00（1）x00,1使fx04（2）x10,1使fx14六、（16分）设fx,y在x2y21上有连续的二阶偏导数，且fxx22fxy2fyy2M。若f0,00,fx0,0fy0,00,证明：fx,ydxdyM。x2y214第八届全国大学生数学竞赛初赛试卷一、填空题（每题5分，满分30分）1fa1、若fx在点xa可导，且fa0，则limnfann.2、若f10，f1存在，求极限Ilimfsin2xcosxtan3xx2.x01sinxe3、设fx有连续导数，且f12，记zfexy2，若z

15、z，求fx在x0的表达式.x4、设xsin2，求，4.fxex0anf025、求曲面zx2y2平行于平面2x2yz0的切平面方程.2二、（14分）设fx在0,1上可导，f00，且当x0,1，0fx1，试证当a0,1，a2a3fxdxxdx.0f0三、（14分）某物体所在的空间地域为:x2y22z2xy2z，密度函数为x2y2z2，求质量Mx2y2z2dxdydz.四、（14分）设函数fx在闭区间0,1上拥有连续导数，f00，f11，11nk1.证明：limnxdxffn0nk1n2fx在闭区间0,1上连续，且I10,1内存在不同样的两点x1,x2，五、（14分）设函数fxdx0，证明：在011

16、2使得fx2.fx1I六、设fx在,可导，且fxfx2fx3.用Fourier级数理论证明fx为常数.第九届全国大学生数学竞赛初赛试卷一填空1.已知可导函数满足,则f(x)2求limsin2n2nn3.设wf(u,v)拥有二阶连续偏导数，且u=xcy，v=x+cy，其中c为非零常数。则wxx12wyy=_。c4.设f(x)有二阶导数连续，且f(0)f(0)0,f(0)f(sin2x)=_6，则lim4x0 x5不定积分Iesinxsin2xdx=_.(1sinx)26.记曲面z2x2y2和z4x2y2围成空间地域为V，则三重积分zdxdydz=_.V二（本题满分14分)设二元函数f(x,y)在平面上有连续的二阶偏导数.对任何角度，定义一元函数g(t)f(tc