线性代数第四章知识要点

1、知 识 要 点 一 内容提要 1. n 维向量 1) 2) 向量的相等, 零向量, 负向量. 3) 向量的线性运算 当 = (a1 , a2 , , an), = (b1 , b2 , , bn), 则 + (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn) ;(a1 , a2 , , an ) , 其中 R . 4) 线性运算满足下列八条规律: + = + ; ( + ) + = + ( + ) ; + 0 = ; + (-) = 0 ; 1 = ; () = () ; ( + ) = + ; ( + ) = + ,其中 , , 为 n 维向量 , , R. 2. 线性相关与线性

2、无关 1) 线性组合 线性表示 线性相关 设有 n 维向量组 A: 1, 2 , , m , B: 1 , 2 , , s , 对于向量 , 如果有一组数 1 , 2 , ,m , 使 = 11 + 22 + + mm ,则称向量 是向量组 A 的线性组合, 或称 可由 A 线性表示. 如果存在一组不全为零的数 k1 , k2 , , km , 使 k11 + k22 + + kmm = 0 ,则称向量组 A 线性相关, 否则称 A 线性无关. 如果向量组 A 中的每一个向量都能由向量组B 中的向量线性表示 , 则称向量组 A 能由向量组B 线性表示 .如果 A 能由 B 线性表示 , 且 B

3、 也能由 A 线性表示 , 则称 A 与 B 等价 . 向量组之间的等价关系具有反射性 , 对称性,传递性 . 2) 线性相关的性质 定理 1 向量组 1, 2 , , m (m2) 线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量组可由其余 m - 1 个向量线性表示. 定理 2 设 1, 2 , , m 线性无关, 而1, 2 , , m , 线性相关, 则 能由 1, 2 , , m 线性表示, 且表示式是唯一的. 3) 线性相关性的判定定理 定理 3 若 1, 2 , , r 线性相关, 则1, 2 , , r , r+1, , m 也线性相关. 定理 4 r 维向量组的每个向量添上 n-

4、r 个分量,成为 n 维向量组,若 r 维向量组线性无关,则 n 维向量组也线性无关. 反言之, 若 n 维向量组线性相关, 则 r 维向量组亦线性相关. 定理 5 m 个 n 维向量组成的向量组, 当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关. 3. 向量组的秩 1) 定义 设有向量组 T , 如果 (i) 在 T 中有 r 个向量1, 2 , , r 线性无关; (ii) T 中任意 r+1 个向量(如果 T 中有 r+1 个向量的话)都线性相关, 那么称 1, 2 , , r 是向量组 T 的一个最大线性无关向量组, 简称最大无关组; 数 r 称为向量组 T 的秩. 并规定: 只含零向量

5、的向量组的秩为 0. 2) 性质 性质 1 向量组线性无关的充要条件是它所含向量个数等于它的秩. 性质 2 设矩阵 A 的某个 r 阶子式 D 是 A 的最高阶非零子式, 则 D 所在的 r 个行向量即是矩阵A的行向量组的一个最大无关组;D 所在的 r 个列向量组即是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组. 性质 3 R(A) = A 的行秩 = A 的列秩. 性质 4 设向量组 A: 1, 2 , , r 是向量组 T 的一个最大无关组, 则向量组 A 与向量组 T 等价. 定理 6 设有两个向量组: A: 1, 2 , , r , B: 1 , 2 , , s ,如果 A 组能由 B 组线性

6、表示, 且 A 组线性无关, 则A 组所含向量个数 r 不大于 B 组所含向量个数 s, 即 r s . 推论 1 设向量组 A 的秩为 r1,向量组 B 的秩为 r2 , 若 A 组能由 B 组线性表示, 则 r1 r2 . 推论 2 等价的向量组有相同的秩. 4. 向量空间 1) 设 V 为 n 维向量的集合, 如果集合 V 非空 且集合 V 对于加法入乘数两种运算封闭,那么就称集合 V 为向量空间. 所谓封闭, 是指对 V , V 及 k R,则 + V , k V . 2) 由向量组 1, 2 , , m 所生成的向量空间为: V=x | x=k11 + k22 + + kmm , k

7、1 , , km R 3) 设有向量空间 V1 及 V2 , 若 V1 V2 , 就称V1 是 V2 的子空间. 4) 设 V 为向量空间, 如果 r 个向量 1, 2 , , r V , 且满足 (1) 1, 2 , , r 线性无关; (2) V 中任一向量都可由1, 2 , , r 线性表示, 那么, 向量组 1, 2 , , r 就称为向量空间V的一个基, r 称为向量空间 V 的维数, 并称 V 为 r 维向量空间. 二 基本要求，重点与难点 本章的基本要求是： 1. 掌握 n 维向量的概念, 能熟练地进行向量的线性运算. 2. 掌握线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、最大无关组等概念. 能熟练地判断向量组的线性相关性, 求出其最大无关组. 3. 掌握向量组的秩, 矩阵的秩,