多元函数复合求导和隐函数

1、多元函数复合求导和隐函数第1页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 全导数公式 )第2页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二又如,当它们都具有可微条件时, 有注意:这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x

2、 求导口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二例1. 设解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二例2.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二例3. 设 求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到,下列例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.第7页，共44页，2022年，5月

3、20日，13点31分，星期二为简便起见 , 引入记号例4. 设 f 具有二阶连续偏导数,求解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二例1 .例 6.利用全微分形式不变性再解例1. 解:所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，共44页，2022年，5月20日，13点

4、31分，星期二第11页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数隐函数的求导方法 第12页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二两边对 x 求导回顾 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二一、一个方程所确定的隐函数及其导数两边对 x 求导在的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二若F( x , y ) 的二阶

5、偏导数也都连续,二阶导数 :则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二例1. 方程解: 令则求第16页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二两边对 x 求偏导同样可得则第17页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二解法1 利用公式设则两边对 x 求偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设第18页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二解法2 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导例2. 设第19页，共44页，2022年，5月20日，13点31分

6、，星期二机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设解法3. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第20页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二思路：解令则第21页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二整理得第22页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二整理得整理得第23页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二解法2.利用公式第六节 目录 上页 下页 返回 结束 设则第24页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二解法3. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第六节 目录 上页 下页 返回 结束 由d

7、 y, d z 的系数即可得第25页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组公式 目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.第26页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 第27页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二解:二元线性代

8、数方程组解的公式第29页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二例4. 设解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习: 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案:故有第30页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二3、 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 代公式;方法3. 利用微

9、分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二思考题1. 已知求解: 由两边对 x 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二第34页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二第35页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二分别由下列两式确定 :又函数有连续的一阶偏导数 ,3. 设解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得(2001考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得因此第36页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二4. 设是由方程和所确定的函数 , 求解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得(99考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二解法2 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得第38页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二练 习 题第39页，共44页，2022年，5月20日，13点31分，星期二第40页，共44页，2