初中数学北师大九年级上册（2023年修订） 一元二次方程一元二次方程的概念（学案）

1、全国初中数学课堂教学创新研讨会现场展示课学案课题：一元二次方程的概念执教：成都市龙泉第一中学 罗仁亮【学习目标】 1. 能举例说明一元二次方程的含义与特征并能运用概念解题；2. 能从方程的解的概念和一元一次方程解的概念得出一元二次方程的解的概念并能运用它解题；3. 通过一元二次方程概念和一元二次方程解的概念的学习，认识数学概念的形成过程，体会归纳、演绎与类比的学习方法。【学习重点】 正确理解一元二次方程的概念及运用 【学习过程】 一、学习准备学习本节内容需要用到以下知识，同学们通过完成以下问题自我检查一下是否熟悉。1.含有 的等式叫方程；使方程左、右两边的值 的未知数的值叫方程的解；求得方程

2、过程，叫解方程。2.什么样的方程叫做一元一次方程？怎样判断一个方程是否为一元一次方程的步骤是什么？（链接1）3.做一做：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m 10m8m 问题1.如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？设梯子的底端滑动米，由勾股定理可得方程： 问题2.如果梯子的顶端下滑的距离等于梯子底端平滑距离时，那么梯子的底端滑动多少米？ 设梯子的底端滑动米，则可得方程 问题3.如果梯子的顶端到墙脚的距离等于梯子的底端到墙脚的距离时， 设梯子的底端到墙脚的距离为米，则可得方程： 想一想：刚才得到的这几个方程还是一元一次方程吗？你能否求出它们的解呢？

3、学习完今天的内容后你就能很轻松的解决了！二、学习探究1一元二次方程的概念观察思考： 观察“学习准备”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程吗？（ ）含有 个未知数，未知数的最高次数为 ，化简整理成右边为零的形式后得 ；观察“学习准备”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程吗？（ ）含有 个未知数，未知数的最高次数为 ，化简整理成右边为零的形式后得 ；观察“学习准备”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程吗？（ ）含有 个未知数，未知数的最高次数为 ，化简整理成右边为零的形式后得 ；思考： （1）学习准备中的“做一做”得出的方程、有什么共同特点呢？温馨提示：观察方程是什么形式的

4、方程，方程中未知数的个数、次数和化简后的形式几个方面进行。 （2）你能举出几个具有这种特点的方程吗？ 。归纳概括：我们把具有上述特征的方程叫做一元二次方程。请你给一元二次方程下一个定义： 。（链接2）注意：我们把（其中、为常数，且）称为一元二次方程的一般形式。二次项、一次项、常数项分别为 、 、 。二次项系数、一次项系数分别为 、 。 想一想：一元二次方程的定义中的关键词是什么？一元二次方程的特征是什么？巩固应用：将下列方程整理后判断是否为关于的一元二次方程，若是，指出它的各项系数。（ ） ( ) （ ） （ ） （ ） ( ) 解后反思：判断一个方程是否为一元二次方程的步骤是什么？例1 当满

5、足什么条件时,方程是关于的一元一次方程； 当满足什么条件时,上述方程才是关于的一元二次方程思路启迪：一元一次方程、一元二次方程的条件是什么？解：解后反思：解决本题的关键是什么？用到了什么数学思想和方法？变式练习：当取何值时，关于的方程是一元二次方程；当取何值时，上述方程是一元一次方程。2一元二次方程的解（或根）请回忆什么是方程的解？你能否由此得出一元二次方程的解的定义？请写出你得出的定义： 叫做一元二次方程的解。 的方程的解也叫做方程的根 思考：你能类比一元一次方程的解的定义给一元二次方程的解下定义吗？巩固应用：一元二次方程的解是（ ） A . =-5 B. =1 C. =5或-1 D. =-

6、5或1 解题反思：判断一个数是否为一元二次方程的解的关键是什么？所用的方法是什么？ 例2 关于的一元二次方程有一个解是0，求的值.思路启迪：由已知可联想到什么？要求的值的需要得到一个什么？解： 解后反思：解答本题的关键是什么？要求某个字母的值，一般都要转换成什么问题来解决？这里体现了什么样的数学思想？变式练习： 当为何值时，关于的一元二次方程（1）有一根为0； （2）有一根为.。三、学习反思： 1.本节课我们学习了那些知识？如何判断一个方程是一元二次方程？ 2.在利用概念解题的过程中用到了那些数学思想方法？【学习评价】一、感受与认识1.在本节课的学习中，你感受最深的知识、思想、方法是什么？2.你还有没有那些问题没有弄清楚？二、自我测评 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A. B. C. D.2下列方程中,不是一元二次方程的是( ) A. B. C. D.3关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（ ）A B. C. 或 D. 4当 时，是关于的一元二次方程。5若关于一元二次方程有一个根为-1,则的关系是_ _ 。6已知关于的方程是一元二次方程，求n的值。 【学习链接】链接1：只含有一个未知数的整式方程，并且能化为（其中、为常数，且）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。判断一个方程