初中数学北师大七年级上册（2023年修订）综合与实践学案

1、制作一个尽可能大的无盖长方体形的盒子教学目标1.在解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念与符号感;借助已有的信息去推断事物变化的趋势的活动,发展学生的推理能力;2.体验建立模型解决问题、分割逼近的方法和从特殊到一般的数学思想。3.渗透数学美育（感受方法美、感悟数学思想美、拓展应用创造美）一：问题初探，感受数学美如何用手中现有的正方形卡纸，做一个尽可能大的无盖长方体形的盒子？点评:第一环节，任务驱动。用手正方形卡纸“做一个尽可能大的无盖长方体形的盒子”，任务 有趣味性(与生活联系，装尽可能多的瓜子)，任务也有挑战性，怎样做才最大? 如何引导学生“剪四角”?1.展开一个盒子看看，这是逆向思维，从

2、结果倒推，感受逆向思考的 数学方法美。2 展开发现:立体变平面图形，四角缺了。3 提出问题，四角的缺口是什么图形?一样 吗?这个确保生成盒子的核心问题(顺势而生!)。 比较一下:如果教师直接让学生剪四角，强调四个角是完全相同的正方形。哪个效果好?为什么? 还有一个细节:对折纸片后，剪四角的方法的指导，感受方法简单美。 抽取学生的作品，一个“底大高小”，一个“底小高大”，提出问题，谁的体积大(谁装的瓜子多)? 顺势引入理性思考，要从“量”的角度科学研究“如何才最大”?小组合作动手算一算，剪一剪。二：问题深究，感悟数学美1、如果正方形纸片的边长为20cm,设剪掉的小正方形的边长为xcm，你能用x来

3、表示这个长方形盒子的体积吗？点评:第二环节，问题深究，感悟数学理性美。1 为什么要设定正方形纸片的边长为 20cm? 2.李 老师提问:是什么影响了“体积”?这是思考决定体积大小的关键量。3 设四角正方形的边长为 x,体积 用字母 V 表示，建立体积 V 与 x 的对应关系。即借助体积计算公式，表示出无盖长方体盒子的体积 v=20-2x2x。实质上，这是数学建模的过程。设定已知量和未知量，建立等量关系(其实是 已知与未知之间的联系，建立未知量之间的对应关系) 2、如果正方形的纸片的边长为20cm,剪去的小正方形的边长为x厘米，x按整数值依次变化，即分别取1，2，3，4，5，6，7，8，9，10

4、cm时，计算折成的无盖长方体纸盒的容积，并制作一个统计表.小正方形边长123456789体积值点评:在v=20-2x2x 中，x 取何值，V 最大? 1.提出问题，x 取值范围?2.为什么要选 择从整数值开始研究?尝试解决问题的方法，通常从特殊开始，从简单入手，去研究数学规律的趋 势。这其实是做研究的一般方法，从特殊中、简单中获得启示，并为深入研究打下基础。 通过列表、描点。观察获得两个发现:一是总体趋势由小变大，再由大变小(虽然只描出几个 离散的点，代表联系变化的趋势)，二是 x=3 时，V 最大为 588。及时追问:最大值就在 x=3 处?还 是在它的左边?还是在它的右边?逼学生发现只能确

5、定在它“附近”，而不确定在左还是右，怎么办? 继续在左取 x=,右取 x=,计算体积 V，发现 x=,V= 较大，由此推断在 x=3 的右方取最 大值。 A.研究得到第一个误差小于 1 的成果: 3x4，类比前面的研究方法。 研究得到第一个误差小于1的成果： B.研究得到第二个误差小于 的成果: 3.3x3.4, 继续类比研究 C.研究得到第三个误差小于 的成果: 3.33x3.34. 此时水到渠成，引导猜想:接下来还可以将范围缩小到3.333x3.334 , 3.3333x3.3334，无限下去，x 趋近于什么值?D.大胆猜想,.如何将3.3化为分数103 ？103 是20的几分之几? 追问

6、:如果正方形边长为 30cm,60cm.一般的，正方形边长为 a? 2、如果x分别取 时，计算折成的无盖长方体纸盒的容积，小正方形边长体积值研究得到第二个误差小于的成果： 研究得到第三个误差小于的成果： 归纳得出: x=a6时，体积 V 最大。这是一个美妙的结论，美妙在于对于任意边长的正方形，都 能找到最大无盖长方体盒子的体积，方法具有简单美、统一美。虽然是用归纳法得到的，但它是正确的， 在高中学习了均值不等式知识后可以证明。 三：应用拓展，创造数学美一张长为20，宽为10的长方形卡纸，如何做一个尽可能大的无盖长方体形的盒子？20000点评:应用拓展，创造数学美。由特殊的正方 形拓展到一般的长方形，思维进阶了。 其研究方 法与正方形相同:1