2020-2021学年度甘肃省兰州市高考实战考试二模数学(理)试题及答案

1、 高三实战考试理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A x | x 4 0，则C A （）2R 2 x 2x | x 2 x 2 Cx | 2 x 2 Dx | 2 x 2或Ax | x或B2)z （2. 已知在复平面内，复数 对应的点是 Z(1,，则复数 的共轭复数）zzi2iC1 2iD1 2iA 2B 3. 等比数列S2S 8a 3a ,a 16S （，则中各项均为正数， 是其前 项和，满足）annn21244A9B15C18D304. 在如图所示的正方形中随机投掷

2、10000 个点，若曲线C 的方程为 x y 1 0(x 0, y 0)，则落入阴2影部分的点的个数的估计为（）A5000 B6667C7500D7854r r r ra b a br r r ar ra,b5. 已知非零单位向量满足 ，则a 与b的夹角为（）3ABCD6344xy226. 已知点 A(1,0), B(1,0)为双曲线 1(a 0,b 0) 的左右焦点，点M 在双曲线上， ABM 为a b22等腰三角形，且顶角为1200，则该双曲线的方程为（）yyy222A 1x y 1x 1x 1xBCD222224327.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 6x 的焦点为 F ，准线

3、为l, P 为抛物线上一点，PA l, A为垂足，2 3若直线 AF 的斜率kA B5 C68. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的九章算术中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示，则线段 PF 的长为 （）D74 的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入 的的值为2, 2,5 ，则输出的 ax（）AB12C17D3479. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）2 334 33A 2 3B 4 3CD10. 设 n N11L 1 22L 2 （），则1 2 32n2nABCD33L 333 3L33L 333L 31 2 31 2 31 2 31 2 3n

4、1n2n12n2 sin x 0k11.已知函数 f x ，如果x时，函数 f x 的图象恒过在直线 y kx 的下方，则 的取值范2 cos x围是 （）11 3 , 3 333 3, AB ,)C , )D 333 3 f x12. 已知 f x 是定义在 R 上的可导函数，若在 R 上3 f x的底数），则下列结论正确的是（有恒成立，且f 1 e (e 为自然对数3） A f 0 f 0 1 f 2 e D f 2 e1BC66第卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知变量 x, y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，y

5、1.3x 1 若 关于 的回归方程为，则myxx 2y 214.若变量 x, y 满足约束条件 y 2x的最大值是 ，则目标函数 z3x y 4x y 3115.(x )的展开式中，常数项的值为（用数字作答）26x 13 16.已知数列a 1,a a 满足，若3a a (n 2, n N ) ，则数列 a 的通项a an2a ann12n1n1n1 n1na n三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必做题ra (sin x, 3 cos x),b (cos x, cos x)r r r317. 已知向量 ，函数. f x a b2 f

6、x（1）求函数 y的图象对称轴的方程； （2）求函数 f x 在0, 上的最大值和最小值.218. 如图所示，四边形 ABCD 是边长为 的菱形，BAD 60 , EB ABCD, FD 平面 ABCD ，a0平面EB 2FD 3a . AC（1）求证： EF（2）求直线CE与平面 ABF 所成角的正弦值.19.某智能共享单车备有 A,B 两种车型，采用分段计费的方式营用 A型单车每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算）， B 型单车每30分钟收费 元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲乙丙1三人，分别相互独立第到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙不超过30分钟

7、还车的概率分别为 3 2 1, , ，并且三个人每人租车都不会超过60 分钟，甲乙均租用 A型单车，丙租用 B 型单车.4 3 2（1）求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；（2）设甲乙丙三人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.xy3P(1, )2220. 已知E : 1(a b 0)F , F 为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且 PF PF 4 .a b2212212（1）求椭圆 E 的方程；11（2）过F 的直线l ,ll l1分别交椭圆 于 A,C 和 B,D，且，问是否存在常数 ，使得, ,等EACBD1122差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. mx

8、 21.已知函数 f x (e , f (e )2处的切线与直线2x y 0 垂直（其中 为自然e，曲线 y f x 在点2ln x对数的底数） （1）求 f x 的解析式及单调递减区间； a e 1（2）若存在 xe,)，使函数 g x aeln x x ln x f x a成立，求实数 的取值范围.2a2222.已知直线l的极坐标方程是 sin( ) 0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，x3x 2cos为参数）.(建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程是 2 2siny（1）求直线l被曲线 截得的弦长；C（2）从极点作曲线C 的弦，求各位中点轨迹的极坐标方程. 2x 1

9、x a23.设函数 f x. 1 时，求 y f x 的图象与直线 y 3围成的区域的面积；（1）当a （2）若 f x 的最小值为 ，求 的值.a1 试卷答案一、选择题1-5: ADBDD6-10: BCCAA11、B 12：C二、填空题113. 3.114.15. 1516.142n 1三、解答题 3 1 sin 2x 3317.解：（1）由已知f x sin x cos x 3 cos2 x (1 cos 2x) 222213 sin 2x cos 2x sin(2 x ) ，223 k 5对称轴的方程为2x k x ,k Z .，即322 12（2）因为 x0, 2 232x , )

10、，则，所以sin(2 x,1，33 332 3所以.f x1, f x 2maxmin18.（1）证明：连接 BD ，交 AC 于 M ，由菱形性质，有 AC BD ，又 EB 平面 ABCD, AC 平面 ABCD ，所以 AC EB；AC EF. 平面所以 AC 平面，而，所以BDFEEFBDFE（2）以 M 为原点， MA 为 轴， MB 为 y 轴，过 M 且垂直于平面 ABCD ，方向向上的直线为 轴，xz建立空间直角坐标系，3a a3aaa 3a则，)A(, ,0), B(0, a,0), C(,0,0), E(0, , 3a), F(0, ,2 22 222uuurAB (uuu

11、r, ,0), AF (2 2r3a a3a a 3a, ,，则 n (x, y, z)，)22 231r uuurax ay 0 AB 0nr221则，令 x的平面 ABF 的一个法向量 ，n (1, 3, 2)r uuur AF 0n 313ax ay az 0 222设直线CE与平面 ABF 所成的角为 ，r uuurn CE 3 6uuurCE (r uuur cos n,CE3a a, , 3a) ，所以sin2 2因为r uuur.n CE81 1 119.解：（1）由题意，甲乙丙在30分钟以上且不超过60 分钟还车的概率分别为 , , ，4 3 2设“甲乙两人所付费用之和等于丙所

12、付费用”为事件A,3 2 1 1 1 1 7则 P(A) 4 3 2 4 3 2 24；（2）随机变量 所有可能取值有2,2.5,3,3.5,4 ，3 2 1 13 1 1 1 2 1 5则 P( 2) , P( 2.5) ，4 3 2 44 3 2 4 3 2 243 2 1 1 1 1 73 1 1 1 2 1 5P( 3) , P( 3.5) ，4 3 2 4 3 2 244 3 2 4 3 2 241 1 1 1P( 4) 4 3 2 24所以甲乙丙三人所付费用之和的分别为 15751 67所以 E 2 2.5 3 3.5 4 424242424 24x2y220.解：（1）因为 1，

13、PF PF 4 ，所以 2a 4 a 2 ，椭圆的方程为4 b2123x2y2将 P(1, )b 32 1代入可得，所以椭圆的方程为；24 b2111 1 7（2）若 AC 的斜率为零或不存在，易知 AC BD 3 4 12,711存在满足条件的 ，使, ,成等差数列；24ACBDxy22 0)y k(x 1)若 AC 的斜率为k(k，设 AC 的方程为，代入方程 1，4 b2化简得(3 4k )x 8k x 4k 12 0，22228k4k 1222设 A(x , y ),B(x , y ) ，则有 x x, x x 1 2，3 4k3 4k1122122212(1 k )2于是 AC 1

14、k x x (1 k )(x x ) 4x x ，2BDBD223 4k12121 22112(1 k )2同理，由于直线同理，由于直线的斜率为的斜率为， BD4 3kk2112(1 k )2BD ，4 3kk2113 4k4 3k722所以，AC BD 12(1 k ) 12(1 k ) 1222711总之，存在满足条件 ，使得, ,成等差数列.12ACBD m(ln x 1) 0, x 021.解：（1）因为ln x，所以 x (0,1)U(1, ), f x，(ln x)2 2(ln x 1) m 1 2x所以 f e m 2f x ，所以，此时 f x，24 2ln x(ln x)2

15、x 1 1 x e，由 f x 0得0或 所以函数 f x 的单调递减区间为 0,1 和 1,e ； a e 11（2） g x aeln x x ln x f x aeln x x (a e)x，22222 12 g xmin若存在 xe,)，使函数 g a x aeln x x (a e)x成立，只需 xa ，e,) 时，2 x (a e)x ae (x a)(x e)ae2因为 g x x (a e) ，xxx ，则 g x 0在 x e, ) 时恒成立，所以 g x 在e, )上单调递增， e若 a 1ee22g x g e ae e e(a e) ，所以a ，2222min 又 a

16、e ，则 g x 在e,a) 上单调递减，在(a,)上单调递增， )g a ，所以 g x 在e,上的最小值为g xmin e2又g a g e ，而 a e ，所以一定满足条件，2e2综上，实数 的取值范围是 ,)a.222.解：（1）由题意可知，直线 的直角坐标方程是 ，ly3x曲线 的普通方程是 x (y 2) 4，C222其圆心到直线 的距离是d 1，所求的弦长是 2 2 1 2 3.l231x cos为参数）(（2）从极点作曲线C 的弦，弦的中点的轨迹C 的参数方程为y 1sin33且 0, ) U( ,2) ，其普通方程为 x (y 1) 1(y 0)，2222极坐标方程 2 sin 2sin ( 0)0，化简得.223.解：（1）当 a1时 3x, x 1 1f x 2