初中数学北师大八年级上册（2023年修订） 平行线的证明《为什么要证明》 学案

1、为什么要证明学案班级：_ 姓名：_一、我的探究活动1、猜想并验证、展示活动活动内容：如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？ (老师的提示：可设地球的赤道圆周长为C，铁丝圆周长如何表示？两个圆圈之间的间隙用什么量来不表达？请计算说明，取。)R2、观察并验证、展示活动活动内容（1）、“眼见未必实”的故事：颜回是孔子最得意的门生，有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃，颜回好不容易找到一点粮食，便赶紧埋锅造饭，米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中；等到颜回请

2、孔子吃饭，孔子假装说：“我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他。”颜回赶快接着说：“不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了。”孔子这才知道颜回并非偷吃，心中相当感慨，便对弟子说：“所信者目也，而目犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃。弟子记之，知人固不易矣！”（2）、看图观察：你知道为什么吗？ 观察：中间的两个圆一样大吗？ 观察：将图旋转180度后，圆点的凹凸发生了什么变化！（3）、我的观察、验证：.如图中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下。第1小题图 第2小题图 .如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，

3、再用三角尺验证一下。3、计算验证、展示活动：活动内容：(1)、某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n2-n+11的值都是质数你认为呢？与同伴交流（老师提的示：你可以列表归纳为：）n01234567891011n2-n+1111是否质数是（3）、费马的失误(教材P216)，阅读后你能讲解吗？从这个故事里，你体会到什么？4、猜想并测量、推理验证活动活动内容：如图，四边形ABCD四边的中点E、F、G、H，度量四边形EFGH的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状，还能得到类似的结论吗？（学生根据经验和测量，可能猜测是

4、平行四边形）BAECFHGDBACFHGDE二、我的感悟、归纳与总结：活动内容：两个问题：A、在数学学习上，你用到过推理的思维方式吗？举例说明。B、在生活中，你使用过推理吗？举例说明。本课所得：a.我的警句：b.c.（七） 巩固、拓展、提高活动（课后）1、家庭作业：（1）收集、了解关于“哥德巴赫猜想”的资料，了解中国科学家在这个猜想的证明过程中，取得的成果；（2）收集、了解有关古希腊数学家欧几里德的有关资料（3）教材P217 习题 2、3 题2、课外延伸阅读资料：（附后）（1）阿基米德的故事（2）关于著名的“哥德巴赫猜想”阿基米德的故事数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧

5、拉和高斯。阿基米德死于一个著名的历史事件，因而卒年十分明确，是公元前212年。因有文献记载说他享年75岁，因而人们推算他该生于公元前287年。他的故乡在意大利西西里岛的叙拉古，最后为保护自己的祖国而牺牲。 阿基米德是希腊化时代的科学巨匠。作为希腊科学家，阿基米德有许多高超的不太为一般人所知晓的几何成就；作为一个希腊化科学家，他在算术方面有独到的建树，比如他求出了=。更为人津津乐道的是他发现浮力定律和杠杆原理的故事。他因为懂得杠杆原理，说出了“给我支点，我就能撬起地球”这样看似疯狂的名言。阿基米德与希腊古典时代的学者一个最大的不同在于，他不光“说”而且“练”。他因为懂得杠杆原理，所以做了一个滑轮

6、组，一个人轻而易举地将一艘大船从海上拉进了港口，让叙拉古国王希龙二世目瞪口呆。 希龙二世请人打造了一顶纯金的王冠，造好后二世觉得好象没有这么重，怀疑金匠掺了假，但又没有办法不破坏王冠而证实其真假。国王把这个任务交给了聪明绝顶的阿基米德。据说阿基米德苦思冥想了很久，不得要领，最后在公共澡堂里洗澡时想出了办法。当时浴缸里的水太满，他身体一进浴缸就有许多水溢出来。他刚准备叹息水的浪费，却猛然想起了鉴定王冠的办法。他大喊了一声：“尤里卡（我发现了）”，便光着身子飞跑回家。如今一个世界性的发明博览会就以这句“尤里卡”命名。 阿基米德70多岁的时候，祖国面临着战争的威胁。公元前215年，罗马军队在统帅马塞

7、拉斯的指挥下围攻叙拉古城，但屡屡受挫，原因是阿基米德用“新式武器”装备了叙拉古军队，使罗马海军望而生畏。这些新式武器有投石机、大吊塔、反射镜。投石机比一般的弩射程远得多，用石头做炮弹杀伤力也大得多；大吊塔能够把整个一艘罗马军舰从港口的水面上提起来，“干晾”在那里；由一群老人妇女各持反射镜把太阳光集中照在同一艘船上，能够把木船烧着。由于这些奇奇怪怪的新式武器，使得罗马人的攻城行动久久不能得逞。马塞拉斯苦笑说，这是一场整个罗马军团与阿基米德一个人之间的战争。 攻城三年后，由于内部出现叛徒，叙拉古城终于在里应外合下被攻破。马塞拉斯知道阿基米德的价值，据说下令不得伤害这位神奇的老人。可是命令尚未下达到

8、基层，城池已经攻破。一位罗马士兵闯进阿基米德的住宅时，阿基米德正在沙地上推演一道几何难题。他由于过于专注于演绎推理的逻辑，没有意识到危险正在迫近。杀红了眼的士兵高声喝问，没有得到答复便拔刀相向，沉思中的阿基米德只叫了一声“不要踩坏了我的圆”便被罗马士兵一刀刺死。一位璀璨的科学巨星就此陨落！阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献。 歌德巴赫猜想当年著名作家徐迟的一篇报告文学，中国人知道了陈景润和哥德巴赫猜想。 那么，什么是哥德巴赫猜想呢？ 哥德巴赫猜想大致可以分为两个猜想：1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和； 2.每个不小于9的奇数

9、都可以表示为三个奇素数之和。两百多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过“将一个数表示成几个素数的和”的问题，他取了很多数做试验，想把它们分解成几个素数的和，结果得到一个断语：“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和”但是哥德巴赫不能证明这个问题，甚至连如何证明的方法也没有，于是他写信给另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉，他在1742年6月7日的信中写道：“我想冒险发表下列假定大于5的任何数都是三个素数的和”这就是后来举世闻名的哥德巴赫猜想同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说：“我认为每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的”这两个数学家的通信内

10、容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想或者哥德巴赫-欧拉猜想这是著名的世界难题！完整地说，哥德巴赫猜想是：大于1的任何数都是三个素数的和。后来，人们把它归纳为：命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和例如：50=19+31； 51=7+13+31；52=23+29； 53=3+19+31或50=3+47=7+43=13+37=19+31等1900年，著名数学家希尔伯特在巴黎国际数学家会议上提出了国际数学要研究的23个题目(后被称为希尔伯特问题)，其中哥德巴赫猜想命题A与另外两个有关问题一起，被概括成希

11、尔伯特第8问题这是著名的世界难题1912年，第五届国际数学家会议上，著名数论大师兰道发言说，有四个数论上的问题是当时的科学水平不能解决的，其中一个是哥德巴赫猜想，即使把它改为较弱的命题：不论是不超过3个，还是不超过30个，只要证明存在着这样的正数C，而能使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过C个素数之和”(称为命题C)，也是当代数学家力所不能及的1921年，著名数论大师哈代，在哥本哈根召开的国际数学会议上说，哥德巴赫猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比，是极其困难的，但是他没有说是不可能的事情出乎意料，哥德巴赫猜想问题的解决出现了一些转机，坚不可摧的哥德巴赫堡垒正在逐个被攻

12、破1930年，25岁的苏联数学家列夫格里高维奇西涅日尔曼(19051938)，用他创造的“正密率法”证明了兰道认为当代数学家力所不能及的命题C，还估算出这个数C不会超过S，并算出S800000人们称S为西涅日尔曼常数这是哥德巴赫猜想的第一个重大突破，可惜这位天才数学家只活了33岁1930年以后，数学家兰道、罗曼诺夫、赫力邦、李奇等对西涅日尔曼方法作了最准确的分析，竞相缩小S的估值，到1937年，得到S67，又是一大进步重要的是，不论一个数是多么大，都可将它分解成素数的和的问题已被证明了，如对于数835042000000000000000000000，或者对于我们已知的999(这个数之大可以写出

13、来编成30大卷的书)，我们同样可以断定，它们可以表示成不超过67个素数的和甚至休克斯提出的“空前的数”这种比999大得多的数，也能根据西涅日尔曼的证明，表示成不超过67个素数的和的形状。1937年，苏联科学院院士伊凡马特维奇维诺格拉多夫，应用英国数学家哈代与李脱伍特创造的“圆法”和他创造的“三角和法”证明了：对于充分大的奇数，西涅日尔曼常数不超过3或者说成：对于充分大的奇数，都可表示为三个奇数之和。维诺格拉多夫基本上解决了命题B、通常称为“三素数定理”他的工作，相当于证明了西涅日尔曼常数S4。命题B基本上被解决了，然而到命题A的证明竟是如此困难，有人从63300000中的任何偶数，发现都能表示

14、成两个奇素数之和，但这仅是验证，人们追求的仍然是从数学上证明，每个大于或等于6的偶数都可表示为两个奇素数之和，再多的有限数，即使大到无法想象的数也无用，除非找到反例否定哥德巴赫猜想。人们在研究命题A的过程中，开始引进了“殆素数”的概念所谓“殆素数”就是素数因子(包括相同的和不同的)的个数不超过某一固定常数的自然数。我们知道，除1以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其中每一个素数，都叫做这个正整数的素因子相同的素因子要重复计算，它有多少素因子是一个确定的数。例如，从2530这六个数中，25=55 有2个素因子，26=213 有2个素因子，27=333 有3个素因子，23=227 有

15、3个素因子，29是素数 有1个素因子，30=235 有3个素因子于是可说25、26、29是素因子不超过2的殆素数，27、28、30是素因子不超过3的殆素数。用殆素数的新概念，可以提出命题D来接近命题A。命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和这个命题简化为“m+n”。这样，哥德巴赫猜想的最后证明的方向就更明朗化了：如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶教，都能表示成一个素数加上两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”当然如果能证明“1+1”就基本上证明了命题A，也就基本解决了哥德巴赫猜想了。1920年， 挪威数学家布朗证明了“9+9”

16、1924年， 德国数学家拉代马哈证明了“7+7”1932年， 英国数学家埃斯特曼证明了“6+6”1938年， 苏联数学家布赫雪托布证明了“5+5”1940年， 苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”1938年， 中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素 数之和，即几乎所有偶数“1+1”成立1956年， 中国数学家王元证明了“3+4”1956年， 苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”1957年， 中国数学家王元又证明了“2+3”1962年， 中国年轻数学家潘承桐证明了“1+5”，这是证明了相加的两个数中，有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过5。1962年， 苏联数学家

17、巴尔巴恩也证明了”1+5”1963年， 中国数学家王元、潘承桐及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+4”1965年， 维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“1+3”1965年， 意大利数学家朋比尼也证明了“1+3”1966年， 中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”这是在经历了240年的漫长的历程中所取得的全世界公认的最好的研究成果，可是由于没有发表详细的证明，因此在国际上反响不大。1973年， 陈景润在极其困难的条件下，继续奋战，发表了他的著名论文：大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和，公布了全部详细的论证这一成就立即轰动了全世界，在数学界引起了强烈的反响人们都称道中国年轻数学家陈景润的巨大贡献英国数学家