(全国通用)2023年高考数学考点一遍过专题13定积分与微积分基本定理理

1、PAGE PAGE - 11 -考点13 定积分与微积分根本定理1了解定积分的实际背景，了解定积分的根本思想，了解定积分的概念.2了解微积分根本定理的含义.一、定积分1曲边梯形的面积1曲边梯形：由直线x=a、x=b(ab)、y=0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如图)2求曲边梯形面积的方法与步骤：分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图)；近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图)；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形

2、的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积2求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在atb内所作的位移s.3定积分的定义和相关概念1如果函数f (x)在区间a,b上连续，用分点a=x0 x1xi1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xi上任取一点i (i=1,2, ,n)，作和式；当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作，即=.2在中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)d

3、x叫做被积式4定积分的性质1(k为常数)；2；3(其中acb) 【注】定积分的性质3称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF的面积的和5定积分的几何意义1当函数f (x)在区间a,b上恒为正时，定积分f (x)dx的几何意义是由直线x=a，x=b(ab)，y=0和曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积(图中阴影局部)2一般情况下，定积分f (x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f (x)以及直线x=a，x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图中阴影局部所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的

4、相反数6定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来确定：设阴影局部面积为S,那么1； 2；3； 4.7定积分的物理意义1变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即.2变力做功一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了sm，那么力F所做的功为W=Fs.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，那么变力F(x)做的功.二、微积分根本定理一般地，如果f (x)是区

5、间a,b上的连续函数，且F(x)=f (x)，那么=F(b)F(a)这个结论叫做微积分根本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f (x)的一个原函数为了方便，我们常把F(b)F(a)记作，即=F(b)F(a)学.【注】常见的原函数与被积函数的关系1为常数)；2；3；4；5；6；7；8.考向一 定积分的计算1求定积分的三种方法1利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强；2利用微积分根本定理求定积分；3利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分例如，定积分的几何意义是求单位圆面积的，所以.2用牛顿莱布尼茨公式求定积分的步骤1把被积函数变形为幂函数、正

6、弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；2把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；3分别用求导公式找到一个相应的原函数；4利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值；5计算原始定积分的值.3分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加4奇偶函数的定积分1假设奇函数y=f(x)的图象在a，a上连续，那么；2假设偶函数y=g(x)的图象在a，a上连续，那么.典例1 定积分的值为ABCD【答案】C 【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为防止出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1假设S1=x2dx，S2=，S3=，那么

7、S1，S2，S3的大小关系为AS1S2S3BS2S1S3 CS2S3S1 DS3S20)所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，假设点P落在区域A内的概率为，那么k的值为A BC D10假设函数、满足，那么称、为区间上的一组正交函数，给出三组函数：；.其中为区间的正交函数的组数是A0B1C2D311在如下列图的正方形中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部曲线的方程为的点的个数的估计值为A5000 B6667 C7500 D785412自由落体的运动速度(为常数)，那么当时，物体下落的距离为_13，那么_12023年高考湖南卷22023年高考天津卷曲线与直线所围成的封闭图形的面积为3

8、2023年高考山东卷执行如下列图的程序框图,输出的T的值为42023年高考福建卷如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f (x)=x2.假设在矩形ABCD内随机取一点,那么此点取自阴影局部的概率等于52023年高考陕西卷如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型图中虚线表示，那么原始的最大流量与当前最大流量的比值为变式拓展1【答案】B【解析】根据微积分根本定理得，.又ln 21，所以S2S1S3.选B.2【答案】3【答案】36 考点冲关1【答案】C【解析】2【答案】B 【解析】令，那么，所以，解得，所以，应选B.3【答案】B【解析】由题意可知：，

9、结合题意有：，解得：.此题选择B.4【答案】D 【解析】由得，应选.5【答案】D【解析】=23=0选D.6【答案】B【解析】=2，所以的展开式中的常数项为：，令r=3，得常数项为7【答案】C【解析】,而,所以,所以,选C.8【答案】D【方法点睛】此题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.9【答案】A 【解析】M的面积为，A的面积为，应选A.10【答案】C 有2组，应选C.11【答案】B【解析】，那么，因此点落入阴影局部的概率为，从而所求点的个数估计为，应选B12【答案】【解析】由定积分的物理意义可得，13【答案】【解析】由题意可得，答案为.【名师点睛】求定积分的题型，一种是：利用几何意义求面积，一般是圆；第二种是：求被积函数的原函数，用积分公式；第三种是：利用奇函数关于原点对称的区间的积分为0.此题考查了第一种和第二种.直通高考1【答案】0【解析】.2【答案】【