高中数学：函数及其性质经典热搜题20题详解

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页高中数学：函数及其性质经典热搜题20题详解1设函数（1）画出的图像；（2）当，求的最小值【答案】（1）见解析（2）【详解】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值详解：（1） 的图像如图所示（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题2已知函数（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围【答案】（1）图像见解析；

2、（2）【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.【详解】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.3求函数解析式（1）已知是一次函数，且满足求（2）已知满足，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由是一次函数，可设，可将转化为a,b的关系，由此得到.(2)由可再得一方程，

3、建立二元一次方程组即可求得.【详解】（1）是一次函数,设,则即不论为何值都成立所以解得故的解析式为（2） -得,故【点睛】本题主要考查解析式的求法，通常已知函数名称采用“待定系数法”，已知和或的关系通常采用“赋值”建立二元一次方程组求解.4已知定义域为的函数是奇函数（1）求，的值；（2）用定义证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据奇函数定义，利用且，列出关于、的方程组并解之得；（2）根据函数单调性的定义，任取实数、，通过作差因式分解可证出：当时，即得函数在上为减函数；（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等

4、式转化为：对任意的都成立，结合二次函数的图象与性质，可得的取值范围【详解】解：（1）为上的奇函数，可得又（1），解之得经检验当且时，满足是奇函数 （2）由（1）得，任取实数、，且则，可得，且，即，函数在上为减函数； （3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数不等式恒成立，即也就是：对任意的都成立变量分离，得对任意的都成立，当时有最小值为，即的范围是【点睛】本题以含有指数式的分式函数为例，研究了函数的单调性和奇偶性，并且用之解关于的不等式，考查了基本初等函数的简单性质及其应用，属于中档题5已知函数（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明；（3）解不等式【答案】（1）；（2）

5、详见解析；（3）或.【解析】【分析】（1）由指数函数的定义域可得解；（2）由可知函数为偶函数；（3）利用对数函数的单调性可知，得，从而得解.【详解】（1）易知函数，.所以定义域为.（2）由，从而知为偶函数；（3）由条件得，得，解得或.所以不等式的解集为：或.【点睛】本题主要考查了指数型函数的定义域，奇偶性及解指数不等式，属于基础题.6已知定义域为,对任意,都有,当时, ,.（1）求;（2）试判断在上的单调性,并证明;（3）解不等式:.【答案】（1）（2）在上单调递减，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）令，得，令，得，即可求解的值；（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数为上单调递减函数

6、，得到结论. （3）令，得，进而化简得，再根据函数的单调性，得到不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，令，得，解得令，得，所以. （2）函数在上单调递减，证明如下：任取，且，可得，因为，所以，所以即，所以在上单调递减. （3）令，得，又在上的单调且，.，即不等式解集为.【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值问题，以及函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟练应用抽象函数的赋值法求值，以及熟记函数的单调性的定义证明及应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7已知是定义在上的奇函数，且当时,.（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（

7、2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据函数为奇函数可求得当时的解析式，写成分段函数的形式可得的解析式（2）根据函数为奇函数可将原不等式化为，再根据单调性可得对恒成立，利用换元法求解，即令，可得对恒成立，由函数的最大值小于等于0可得结果试题解析：（1）当时，则,，是奇函数，又当时， ， （2）由，可得是奇函数，.又是减函数，所以对恒成立. 令，对恒成立.令， ，解得实数的取值范围为8已知函数.(1)求f(2)，f(x)；(2)证明：函数f(x)在1，17上为增函数；(3)试求函数f(x)在1，17上的最大值和最小值【答案】（1）f(2)1；.（2）见解析.（3）当x1时，f(x)有最小值；当x

8、17时，f(x)有最大值.【解析】【分析】令，即可求得，运用换元法，令，则，代入即可求得函数的解析式利用函数的单调性定义证明即可利用的结论，即可求得最值【详解】(1)令x1，则f(2)f(11)1.令tx1，则xt1，所以f(t)，即f(x).(2)证明：任取1x1x217，因为f(x1)f(x2).又1x1x2，所以x1x20，(x11)(x21)0，所以0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在1，17上为增函数(3)由(2)可知函数f(x)在1，17上为增函数，所以当x1时，f(x)有最小值；当x17时，f(x)有最大值.【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求法和函数的性质及运算，考

9、查了运算能力，属于基础题，在运用定义法证明单调性时分五个步骤：一设，二作差，三化简，四定号，五结论9已知（1）求的值域（2）若对任意和都成立，求的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用换元法，将函数转化为关于t的二次函数，根据t的取值范围求得函数的值域（2）根据恒成立条件，得到关于m的二次函数表达式；利用变换主元法看成关于a的函数表达式，进而求得m的取值范围【详解】（1）令 原函数变为： 的值域为.（2）即恒成立令, 图象为线段，则 解得.【点睛】本题考查了换元法及变换主元法在函数最值和取值范围中的综合应用，注意换元后的取值范围，属于中档题10(1)已知函数f(x)的定义

10、域是1，5，求函数f(x21)的定义域.(2)已知函数f(2x21)的定义域是1，5，求f(x)的定义域.【答案】（1）2，2；（2）1，49.【解析】【详解】试题分析：（1）由f(x)的定义域是1，5得函数f(x21)有1x215，解出即为定义域；（2）函数f(2x21)的定义域是1，5，有x在1，5求出2x21的范围即为f(x)的定义域.试题解析：(1)由f(x)定义域为1，5，知f(x21)中需1x215，解得2x2.f(x21)的定义域为2，2.(2)由f(2x21)定义域为1，5，得1x225，12x2149，故f(x)定义域为1，49.点睛：求解定义域问题即为求解函数中自变量的取值

11、集合，对于复合函数依然如此，对于函数和而言，求解定义域依旧是各自函数中的取值集合，特别注意两函数中和的范围一样，即可以根据一个函数的定义域求解括号中整体的范围，再去求解另一个函数的定义域即可.11设函数是定义R上的奇函数（1）求k的值；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值【答案】（1）1；（2）；（3）最小值为，此时.【解析】（1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意；（2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；（3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，利用二次函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）因为是定义域为R

12、上的奇函数，所以，所以，解得，所以，当时，所以为奇函数，故；（2）有解，所以有解，所以只需，因为（时，等号成立），所以；（3）因为，所以，可令，可得函数t在递增，即，则，可得函数，由为开口向上，对称轴为的抛物线，所以时，取得最小值，此时，解得，所以在上的最小值为，此时【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.12已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f (x)=-x2+ax.（1）若a=-2，求函数f (x)的解析式；（2）若函数f (x)为R上

13、的单调减函数，求a的取值范围;若对任意实数m,f (m-1)+f (m2+t) .【解析】【详解】（1）当时，又因为为奇函数，所以所以 （2）当时，对称轴，所以在上单调递减，由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减，又在上，在上，所以当a0时，为R上的单调递减函数当a0时，在上递增，在上递减，不合题意所以函数为单调函数时，a的范围为a因为，所以是奇函数， 又因为为上的单调递减函数，所以恒成立， 所以恒成立， 所以13已知幂函数为偶函数.（1）求的解析式；（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】【详解】试题分析：根据幂函数的定义求出的值，

14、再根据偶函数的定义求出的解析式；若函数在上不是单调函数，对称轴在区间内，即可求出实数的取值范围解析：（1）由 或又为偶函数，则：此时：.（2）在上不是单调函数，则的对称轴满足即：.14已知的定义域为集合A，集合B=.（1）求集合A；（2）若AB,求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）求定义域注意：根号下被开方数大于等于，分式的分母不为；（2）由，分别考虑与区间左端点的大小关系、与区间右端点的大小关系，不熟练的情况下，可画数轴去比较大小.【详解】（1）由已知得即 （2）解得的取值范围.【点睛】（1）子集关系中包含了相等关系，这一点考虑问题的时候需要注意；（2）两个集合满

15、足某种关系，当需要考虑到端点处取等号的情况，若不确定，可利用数轴直观进行分析（数形结合）.15函数是定义在上的奇函数，当时，（1）计算，；（2）当时，求的解析式【答案】(1)f(0)=0,f(-1)=-1；（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，得到f(-x)=-f(x),进而得到f(0)，同时利用对称性得到f(-1)的值（2）令则则，结合性质得到结论【详解】（1），（2）令则则，又函数f(x)是奇函数所以【点睛】本题主要是考查函数奇偶性和函数的解析式的运用解决该试题的关键是利用奇函数的对称性得到x1的解集.试题解析：（1）要使函数有意义则， 解得.故所求函数的定义域为（2）由（1）知的定义

16、域为，设，则 且， 故为奇函数 （3）因为在定义域内是增函数， 因为，所以，解得 所以不等式的解集是18（1）已知的定义域为，求函数的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义域；（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】利用抽象函数的定义域求解.【详解】（1）中的的范围与中的x的取值范围相同，即的定义域为（2）由题意知中的，.又中的取值范围与中的x的取值范围相同，的定义域为（3）函数的定义域为，由，得，的定义域为又，即，函数的定义域为.19设函数. （1）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的

17、最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）据题意知，对于，有恒成立， 即恒成立，因此 ，设，所以，函数在区间上是单调递减的， ， （2）由对于一切实数恒成立，可得，由存在，使得成立可得，当且仅当时等号成立，【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20已知定义在上的函数满足：