23个经典不等式专题

1、23个经典的不等式专题23个经典的不等式专题13/1323个经典的不等式专题个经典的不等式专题个经典的不等式专题1、证明：1+11.12；22n2232、若：a3b32，求证：ab2；3、若：nN111.11；，求证：2n1n22n、若：a,b0，且abab3，求：ab的取值范围；4、若：a,b,c是ABC的三边，求证：abc；51a1b1c6、当n2时，求证：1111.111；2n12232n2n7、若xR，求yx2x1x2x1的值域；8、求函数y3sin的最大值和最小值；2cos9、若a,b,c0，求证：2229；bbccaabca10、若a,b,cR，且a2b2c225，试求：a2b2c

2、的取值范围；11、若a,b,cR，且2ab2c6，求a2b2c2的最小值；12、若a,b,cR，且(a1)2(b2)2(c43)21，求abc的最大值和最小值；165、若a,b,c0，x,y,z0，且满足a2b2c225，x2y2z236，13axbycz30abc，求：xyz的值；14、求证：n15；（这回比较紧）k1k2315、当n2时，求证：2(11)n3；n16、求证：113135.135.(2n1)2n1；224246246.(2n)第1页23个经典的不等式专题17、求证：2(n11)111.12(2n11)；23n18、已知：x0,求证：xln(1x)x;1x19、已知：nN，求证

3、：11.11ln(1x)11.1；23n2n20、已知：n2，求证：2nn(n1)；21、已知：nN，求证：111.1n；23222122、设：S1223.n(n1)，n求证：n(n1)2Sn(n1)2；23、已知：nN，求证：111.12.n2n13n1【解答】1.证明：1+11.12；2232n2n11n11n1n1、证明：k2k2k2k(k1)1k1k2k2111112.k1kn从第二项开始放缩后，进行裂项求和.若：a3b32，求证：ab2；2、证明：a3b3(ab)(a2b2ab)ab(ab)，即：ab(ab)2则：3ab(ab)6，a3b33ab(ab)8，即：(ab)38即：ab2

4、.立方和公式以及均值不等式配合.第2页个经典的不等式专题3.若：nN11111；，求证：n1n2.22n3、由：nnnkn(k1,2,.,n)得：11k2nn则：n1n1n1，即：n11.k12nk1nkk1n2nn1n2故：111n1.11.2n22n从一开始就放缩，尔后求和.，nnnnn若：a,b0，且abab3，求：ab的取值范围；4、解：(ab)2a2b22ab4ab4(ab3)4(ab)12，令：tab，则上式为：t24t120.解之得：t6.均值不等式和二次不等式.5.若：a,b,c是abcABC的三边，求证：1b；1a1c5、证明：构造函数f(x)x，则在x0时，f(x)为增函数

5、.1x所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：abc，那么，f(ab)abc.f(c)，即：b11acabababc1a1b1ab1ab1ab1c.构造函数法，利用单调性，再放缩，获取结果.6.当n2时，求证：1111.111；2n12232n2n6.证明：当n2时，n1nn1，都扩大n倍得：n(n1)n2n(n1)，111取倒数得：n(n1)n2n(n1)，第3页个经典的不等式专题裂项：n111111，1nn2nnn(11n1n11求和：)k2k2()，k2k1kk2kk1即：1111.111n2232n22n1先放缩，裂项求和，再放缩.7、若xR，求yx2x1x2x1的值域；227、

6、解：yx2x1x2x1x13x132424设：m(x1,3)，n(x1,3)，22222323则：m1，nx1，mn(1,0)x4242代入向量不等式：mnmn得：ymnmn1，故：1y1.这回用绝对值不等式.8、求函数y3sin的最大值和最小值；2cos8、解：将函数稍作变形为：y30(sin)3yMyN，2cosxMxN设点M(xM,yM)，点N(xN,yN)，则M(2,0)，N(cos,sin)，而点N在单位圆上，y就是一条直线的斜率，是过点和圆上点N直线M斜率的3倍，要点是直线过圆上的N点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围就是：1y1.故y的最大值是，最小值是-1.1第4页个经典的不等式

7、专题原来要计算一番，这用解析法，免计算了.9、若a,b,c02229，求证：bccaabcab9、证明：由柯西不等式：2111abbccaabbccaabbccaabbcca11c1a2abc329即：abbc2229即：abbccaabc柯西不等式.10、若a,b,cR，且a2b2c225，试求：a2b2c的取值范围；、解：柯西不等式：122222a2b2c2a2b2c2；10即：925a2b2c22b2c15；，故：a所以：15a2b2c15.柯西不等式.、若a,b,cR，且2ab2c6，求222abc的最小值；1111、解：设：m(2,1,2)，n(x,y,z)，222(1)2(2)29

8、；则：m2a2b2c2n；mn2ab2c；代入mnmn得：9a2b2c22a2b2c36；即：a2b2c24，故：最小值为4.第5页个经典的不等式专题向量不等式.12、若a,b,cR，且(a1)2(b2)2(c3)21，求abc的最大值和最小值；165412、解：柯西不等式：22242222a1b2c325a1b2c345c即：251abc22；故：5abc25；于是：3abc7.柯西不等式.13、若a,b,c0，x,y,z0，且满足a2b2c225，x2y2z236，axbycz30abc，求：xyz的值；13、解：本题满足：a2b2c2x2y2z2axby2cz即柯西不等式中等号成立的条件

9、.故有：abc0，即：ax，by，cz.xyz则：a2b2c22(x2y2z2)；2a2b2c2255即：x2y2z236，即：6abcabc5故：xyzxyz6.柯西不等式中等号成立.n1514、求证：k1k23；（这回比较紧）第6页个经典的不等式专题14、证明：n11n11n4n41n11k1k2k2k2k24k21212k24kk22k12k112111121532n33注意变形为不等式的方法，诚然仍是放缩法.15、当n2时，求证：2(11)n3；n15、证明：由二项式定理得：nn1Cn11.Cnn11Cn1111Cnk1Cn212nk0nknn2nnn由二项式定理得：nnCnk1n11

10、11nk1nkk1n!1n1n!k!(nk)!nk11k!(nk)!nkkn1k11n(n1)(n2).(nk1)1n111nk!nnnnk1k!k21k!n2k21n2k!k21n2k(k1)k2112113k1kn本题由二项式中，保留前两项进行放缩获取：(11)n2；n本题由二项式中，分子由从n开始的k个递减数连乘，分母由k个n连乘，获取的分数必定小于1.于是获取：(11)n3.n16、求证：113135.135.(2n1)2n1；224246246.(2n)2n；16、证明：2n22n1(2n1)(2n1)，故：2n122n2n1第7页个经典的不等式专题令：Sn135.(2n1)，Tn2

11、46.(2n)；246(2n)357(2n1)则：SnTn，即：Sn2SnTn135.(2n1)246.(2n)1；246(2n)357(2n1)2n1故：Sn12n1由22n12n12n1得：12，2n12n12n1即：1(2n12n1)，2n1故：代入式得：Snn1n122则：原式=S1nnS2.Snk1Skk1(2k12k1)2n112n1本题的要点在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差，尔后利用求和来消去中间部分，只剩两头.17、求证：2(n11)111.12(2n11)；23n17、证明：由2nn1n得：1n22n1n；n1n即：n1n2(k1k)2(n11)kk1k1由：8n21

12、28n21218n28n22得：8n218n28n2224n24n2122n(2n1)2n(2n1)即：8n222n(2n1)2n(2n1)1，即：2n(2n1)2n(2n1)22n(2n1)2n(2n1)1，2n(2n1)2n(2n1)21，即：2n2n12n11即：第8页23个经典的不等式专题故：12n12n1，2nn多项求和：k11n2k12k122n112kk1由，本题得证.本题仍是采用级数求和的放缩法.18、已知：x0,求证：xln(1x)x;x1、证明：(1)构造函数：f(x)xln(1x)，则：f(0)0.18当x0时，函数的导数为：f(x)110，1x即当x0时，函数f(x)为

13、增函数.即：f(x)f(0)0；故：f(x)xln(1x)0，即：ln(1x)x.(2)构造函数：g(x)ln(1x)x，则：g(0)0.1x当x0时，其导数为：g(x)11xx0.1x1x122x1x即当x0时，函数g(x)为增函数.即：g(x)g(0)0；故：g(x)ln(1x)x0，即：xln(1x).1x1x由(1)和(2)，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题.19、已知：nN，求证：23n12.n；11.1ln(1x)11119、证明：先构造函数：f(x)1，在函数图象上分别取三点A,B,C，x即：A(k,1),B(k1,1),C(k1,1),kk1k1第9页23个经

14、典的不等式专题我们来看一下这几个图形的面积关系：SAEFCSAEFHSAEDGSAEDB；k11dxf(k)1k1dx；即：xk1xkk1k即：lnxkf(k)lnxk1；即：ln(k1)lnk1ln(k1)；lnkkn(1)ln(k1)lnk1求和：(ln(k1)lnk)kk1即：ln(n1)11.1；2n1lnkln(k1)求和：；(2)kn11111ln(n1);即：2k2.1k3n由(1)和(2)证毕.ABAGHCODEFn111.1k1k2n；本题采用构造函数法，利用函数的面积积分来证题.202时，求证：2nn(n1)；、已知：当n、证明：当2rn1时，CrC1n，即：Crn20nn

15、n由二项式定理得：2n1)nnCnkn1Cnkn1(1nn(n1)k0k1k1证毕.本题利用二项式定理进行放缩得证.第10页23个经典的不等式专题21、已知：nN，求证：111.1n；23221221、证明：设：Sn111.1，则：232n1Sn11)11(1111.(11.11)1()567)2n11n122n1n2n2348221(111(1111.(11.111)(222)23232323)2n2n2n2n)2n221(111111n1n(11)n)()().()2n22n22n22222证毕.将1今后的项数，按2的次方个数划分成n组，每组都大于1，这样放缩2得证.22、设：S1223.

16、n(n1)，n求证：n(n1)2Sn(n1)2；22、证明：由kk(k1)k(k1)k1得：kk(k1)k122，2nnn1求和得：kk(k1)k2k1k1k1n(n1)n(n1)nn(n2)(n1)2即：2Sn2222即：n(n1)2Sn(n1)2.本题第一成立含有k(k1)的不等式，成立成功，本题得证.23、已知：nN，求证：111.12.n1n23n123、证明：设：Sn11.1；n1n23n1采用倒序相加得：第11页个经典的不等式专题2Sn111111.11；n13n1n23nn33n13n1n1各括号内通分得：2Sn4n24n24n2.4n2；n13n1n23n3n1n1n33n1即：Sn(2n1)111.1；n13n1n23nn33n13n1n1由：(n1)(3n1)2n1n2n1n2n12n22n12；(n2)(3n)2n1(n1)2n1(n1)2n12n122n12；(n3)(3n1)2n1(n2)2n1(n2)2n12n222n12；(3n1)(n1)2n1(n2n)2n1(n2n)2n12n2n222n1共有：(3n1)(n1)12n1项.将上述不等式代入式得：Sn