2022-2023学年湖南省长沙市高二年级上册学期8月入学考试数学试题

1、长沙市2022-2023学年高二上学期8月入学数 学第 卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数x的值为（ ）A2BCD42若，则下列不等式成立的是（ ）ABCD3在平面四边形中，满足，则四边形ABCD是（ ）A矩形正方形C菱形D梯形4九章算术是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ）ABCD5已知a，b是两条不重合直线，

2、是两个不重合平面，则下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则ABC的形状为（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形7设，若是的最小值，则a的取值范围是（ ）ABCD8蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录已知某鞠（球的表面上有四个点A，B，C，P，且球心O在PC上，AC=BC=4，

3、ACBC，则该鞠（球）的表面积为（ ）ABCD二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9下列选项中，与sin30的值相等的有（ ）ABCD10某同学在研究函数，（）时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是（ ）A等式在时恒成立B函数的值域为C若，则一定有D方程在R上有三个根11已知，且的图象的对称中心与对称轴的最小距离为，则下列说法正确的是（ ）AB的图象关于直线对称C把图象向左平移单位，所得图象关于y轴对称D保持图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平移个单位，得到函

4、数的图象12已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图，点F，G，M分别为CC1，BB1，B1C1的中点，则下列说法正确的是（ ）A平面AD1F平面A1MGB直线AD1与直线A1G所成角的余弦值为C平面AFD1截正方体ABCDA1B1C1D1所得截面的面积为D点C1与点G到平面AFD1的距离相等第 卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数的共轭复数为_14已知，则_15已知函数在内是减函数，则的取值范围是_16已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积

5、是不确定的现有一平面凸四边形ABCD，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，则其面积最大值为_四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=1，N是AB中点（1）用a，b，c表示向量；（2）在线段C1B1上是否存在点M，使AMA1N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由18（本小题满分12分）已知函数（1）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）是否存在实数m，使得函数（）在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由19（本小题满分12分）如图所示

6、，已知DOE是半径为，中心角为的扇形，P为弧上一动点，四边形PQMN是矩形，POD=x（）（1）求矩形PQMN的面积的最大值及取得最大值时的x值；（2）在ABC中，其面积，求ABC的周长20（本小题满分12分）如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，PA=AB=2，AD=，点E是PB的中点（1）证明：AEPC；（2）求二面角CAED的大小21（本小题满分12分）向量（2，2），向量b与向量a的夹角为，且（1）求向量b；（2）若（1，0），且，其中A，B，C是ABC的内角，且，试求的取值范围22（本小题满分12分）如图所示，长方形ABCD中，AD=1，AB=2，点M是

7、边CD的中点，将ADM沿AM翻折到PAM，连结PB，PC，得到图的四棱锥PABCM（1）若棱PB的中点为N，求CN的长；（2）设PAMD的大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值答案1-5：A9.BC10.ABC6-8:CDC 9.BC 10.ABC 11.ABD 12.ABC13. 14. 15. 16. 17. 解：（1）；（2）假设存在点，使，设，显然，因为，所以，即，即，解得，所以当时，18. 解：（1）问题转化为关于的方程在，上有且仅有一个实根，作出函数在，上的图像（如右图），由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，所以实数的取值范围是；（2）记，其中，因为函数在，上单

8、调递增，若存在实数，使得的值域为，则（a），（b），所以，即，是的两个不等正根，所以，解得，所以实数的取值范围是19. 解：（1）由题意，矩形的面积为：，当时，即时，的最大值为（2）由（1）得，由余弦定理得，即，的周长为20. （1）证明：因为平面，平面，所以，因为底面为矩形，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，点是的中点，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以（2）解：由（1）知，平面，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以二面角与二面角是互余的，问题可转化为求二面角的大小，由（2）知，因为，所以，即，又，所以即为二面角的大小，因为，所以，即二面角的大小为，故二面角的大小为21. 解：（1）设，则，；又，即；由解得或，或；（2）（1，0）且，；，；，22. 解：（1）取中点，连接，则因为为中点，所以为的中位线，所以且，因为为的中点，四边形为矩形，所以且，所以且，故四边形为平行四边形，所以；（2）连接，因为，所以，所以为的平面角，即，过点作平面，以为坐标原点，分别以，所在直