平面几何与立体几何中的相似比

1、平面几何与立体几何中的相似比高二何洁小组 组长：何洁组员：沈剑、金玉香、徐蔚蓝指导老师：杨岳明1、课题的决定当我们步入几何学的殿堂，相似比一直是一种重要的解题方略，在高中阶段，我们又学 习了立体几何。在学习中，我们发现相似比的应用在平面几合和立体几何中有一定的关系。 于是，我们对此进行了探讨。2、小组的计划由小组组成立以来，我们组的学员都非常的认真，细致。决心创造一篇成功的研究论文。以下是我们的分工：1）何洁担任打字工作2）沈剑担任课题的编排工作3）金玉香担任课题的寻找4）徐蔚蓝担任课题的解释，提要。第一周：完成选择课题。第二周：初步确定课题。第五周：编排。第七周：出稿。研究内容:DEABC例

2、 1、如图，已知：DE/BC, AD=15,AB=40,AC=28分析：看到这一个题目，我们就想到了三角形中平行线成比例的问题.此外我们还可以引申到相似三角求：AE解：DE/BCAD AEBD CE形的相似比。DB=AB AD,AB=40,AD=15,.DB=25；又.CE=AC AE, AC=28.CE=28 一 CE,15 _ AE25 - 28 AE.AE=10.5。解题要点：解决这一类题目的要领，最主要的还是掌握被平行线拦断的关系，不要把不同的线段混杂。例2、如图，已知DE/BC,AF是BC边上的高,求证：SDE： SaAbc=AE2： AC2分析：解决这一类问题，我们首先会想到S=1

3、ah这个公式,运用上题中的平行线关系,掌握线段的比例。证明：DE/BCDE _ AEBC - ACAF是BC边上的高,DE/BC,AH是DE边上高AHVAADEAABC .-AFS1 DEAH又苛皿=S aabc - BC AF2SAE 2aade =SAC 2aabc解题要点：证明三角形面积比等于边长比的平方把握AHAFDE _ AEBe - AC，再代入公式便易得结果。初识几何学我们就学了平面几何中的相似比如例1中的“线段成比例”和例2中的 面积成比例”等应用，到了高中我们从平面跳到了空间，虽然变了很多，但万变不离其中。例3、已知直线1/平面。，点B, C, Del,且 Awa,直线AB,

4、 AC, AD,分别交平面a于点 E,F,G。若 BD=a, AC=b, CF=c,求：EG 长分析：随着我们对接受信息能力的不断加强，为此，我们已不再仅限于平面，在空间上解决问题 也是一门技术.。解： 直线 1/平面。，点 B, C, Del, Awa.lu平面ABCD。平面ABCDna直线=直线EFG.直线 BCD/直线 EFG, AAEGAABD(I)当平面a在点A和直线l之间（如图所示）Dl即ACCF时EF AFBD AC EG = AF - BDAC(II)印）VBD=a, AC=b, AF=b 一 ca(b 一 c) EG=-b当直线l在点A和平面a之间AFBD ACBD AF a

5、 (b + c) EG=ACEG当点A在直线l和平面a之间EG AFBD ACBD AF a(c - b).EG=-AC b解题要点：例3的解法运用了分类讨论，把图形位置的不确定的问题化归为确定的问题，粗看，似乎无法着手解答，为此,A（如图）即ACAF时分成”a在点A和L之间”L在点A和a之间”点A在L和a之间”三类，再逐类求解.并运用上相似比的性质.问题既迎刃而解。例 4、已知：棱锥P 一 ABCDE中，平面。/平面AC,且截得多边形A1B1C1D1E1, PHL平面AC,PHn平面AC=H, PHn平面a=H,（如图所示）求证:Lg眼叫叫S = PH 2 = PA 2ABCDE分析：随着我

6、们对接受信息能力的不断加强，为此，我们已不再仅限于平面，在空间上解决问题也是一门技术证明：截面a/平面 AC .A1B1/AB, B1C1/BC, E1A1/EAAZA1B1C1=ZABC,ZB1C1D1=ZBCD,AAP1A1B1APAB.PH PA A B. PH = PJA = A BPH 1 BqPH = B CBC AB E A, 1_1- = 11-=BC AB EA.截面 A B C D F F s 底面 ABCDFF B. pEXj | |JL /1-4 | |J/JJL _LJ._!性性 AB 2 S= PH 2 = PA 2 = A BABCDEB2匕 EA1B1=NEAB

7、解题要点：相似比不仅在平面几何中能运用自如，在空间上也能随机应变，那么在立体几何分 析中是否也能适用呢?那就让我们来探讨一下。例5、斜平行六面体ABCD 一 A1B1C1D1中E、F、G分别为相邻三棱Bq B、Bf、 中点，求三棱锥B1 一 EFG和斜平行六面体的体积比。分析：本题要求三棱锥与六面体的体积比，而求体积比一般就运用高的比，此题中高之比很容 易求.再运用体积公式，此题便迎刃而解。解：设F到上底面距离为hB到上底面距离为h2ABCD A1B1C1D1是平行六面体，F是BB1中点h 11 = TOC o 1-5 h z ”22c - x BG x BE x cos ZB .S21111

8、AEGB,= _1SB C x B A x cos ZB8A1B1C1D1111111VB1 EFG - 3 SAEGB1 h1V=S XhVbefgABCD A1B1C1D1 A1B1C1D1 2 VABCD- A/gD1 x 1 x 1 _ 13 x 8 x 2 = 48解题要点：本题主要在于体积比与线段比。例 6、如图，在三棱台 ABC 一 A1B1C1 中，A1A底面 ABC, A1A=A1B=B1C1=a, B1BXBC, 且B1B与底面ABC成45。角，求此棱台的体积。分析：提起体积比很容易会想到棱锥和棱台,其中暗含着无穷奥秘.特别是棱台中的内容，特容 易混浊。解：将三棱台还原成三

9、棱锥P 一 ABC过B作B1DAB交AB于D,则B1D/A1AVBD1 平面 ABCAZB1BD = 45。是B1B与底面所成的角Z.ZPBA = 45。AZPB1A1 = 45。.PA = AB = BC=a又.NPB1C1 = ZB1BC = 90。.A1BAB1C1 TOC o 1-5 h z 1111.Vp_A1B1C1 =3PA1SAA1B1C1=3aX 2 XaXa=6a3,/ P - ABC =f 1114 HYPERLINK l bookmark172 o Current Document .Vp_ABC = 8 XVp一A1B1C1 = 8X 6a3 = 3 a3 517V

10、台=Vp_ ABC 一 Vp_ A1B1C1 = 3a3 一 6a3 = 6a3解题要点：从例6中可以看出，棱台中的定理与棱锥相仿，要学会棱台必得从棱锥学起。从以上的例题中，我们不难发现“线段成比例”在立体几何中，我们也能运用自如。例4中所求的面积比是利用“面积比等于相似比的平方”把比较难解决的问题简化了。在例 5例6中，求体积、相似比无疑也是一个得力助手。参考资料：上海教育出版社华东师大出版社广西师范大学出版社高中数学能力训练与提高数学高中二年级第一学期中学数理化公式定理大全研究体会：经历了一个学期的讨论，研究。我们的研究性课程已经初步的完成。当我们的研究成 果已经要完成的时，我们决定对于我

11、们的研究成果进行进一步的小结。我们所选择的是题目的是在平面几何与立体几何中的相似比的关系，在进行研究论文 的过程中，我们小组的同学都发扬了不屈不挠的精神，尤其当我们遇到问题时，更是体现了 我们小组的同学团结的精神。何洁在分配任务的时候，同学们都表现出非常积极的样子。所以，总体来说，我们小组的 配合是非常成功的，各位同学都表现得非常良好。在数学解题方面中，运用相似比是非常重 要得。不管在立体几何或平面几何中，相似比总是解题基础。此外，作为数学的解题方法还有许多种，比如说建立数学模型运用参量等，都是我们 的解题重要思路。沈剑经过一学期的学习和研究，我们得到了很多，我们提起相似比很容易想起体积比，那 么立体几何中的棱锥和棱柱都可以用相似比解决。总而言之，这次数学研究型课程让我收益非浅，它使我认识数学也是一门高深的艺术， 通过这次活动，使我们掌握了一些新的解题思路。金玉香在这次研究探讨中，我们不仅学到了更多的知识，而且也拓宽了我们的思路，首先， 我们现分配了一下工作，我们先从最简单开始，从初中的平面几何拓展到了高中的立体几何。 对它的定义进行了分析。在这次活动中，我们发扬了不怕苦不怕累的精神，