复变函数第四版1-3解读

1、复变 函、乘积与商定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘 数乘积的辐角等于它们的辐角的和 .证 设复数 Z 和 6 的三角形式分别为积；两个复Z =i cosq + i sin 即, z2 =r 2cos02 +/sin 2, 贝 lb】9Z2 =r lcos0l +/sin I-r 2cos2 +/sin 2 =T| .厂 2【 cos0| cos&2 sin. sinE 9.+ i sin 0 cos 02 + cos % sin G2复变Z|-Z2 =/*. . 斑 88 01 +&2 + sin& +02 Argz tz2 = Arg + Argz,. 证毕 从几何上看,两复数对应的向

2、量分别为乙, J 先把乙按逆时针方向 旋转一个角 &2, 再把它的模扩大到 / *2 倍,所得向量 Z 就表示积 Z -z2.复变两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加 .说明 由于辐角的多值14, ArgZjZ 2 = Argz, + Argz 2 两端都是无穷多个数构成的两个数集. ,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应例如,设Zx =-1, Z2 =h 就 zt -z2 =-b ArgZ =兀 + 2兀, = 91929.Arg. = - + 2/nn, m =0, 土 1, 士 2, ,Argz Iz2 = -. + 2A：7r, k =0, l, 2,., x z 故 - F 2 m

3、+ nn = + 2km 只须 R =加 + +1.2 2 如& = -1：贝 Ij 加=0, ” = 一 2 或 m复变函设复数 Zl 和 S的指数形式分别为Z= ￥.9 就 ZrZ 2 -r 2ei0：由此可将结论推广到个复数相乘的情形：设 z& = rkcos0k isin0k = r kei$k9 k = 1,2,./Z . . . Zn = 你 5. HCOS（G +02 + . . + 0）+ i sin（ 0l + 0 丄 + + 0） = r.r 2. 严论 7 ）.例 1 已知 Z|=3（l 一 引）, Z2 =sin -icos, 求 Z. Z2和勺 .解由于 zx = c

4、os 一才丨 + isin 一 z2 = cos（- 彳 + i sin- 所以 Z -z 2 =cos_：_： 二 _ =F 6 丿.ZxI 3 6） | + isin（- 3 n n （兀兀、 .丫5 I 3 6 丿 I n it-+ Z2 例 2 已知正三角形的两个顶点为勺另一个顶点 解如下列图,将表示 Z2-Z 的向量 绕 旋转=1 和 Z2=2 + I, 求它的孑或 -; ）就得J 3 1. J 到另一个向量,它的终点即为所求顶点 S （或 w）.由于复数的模为1,转角为名二、扇与根 1. 次幕：个相同复数Z 的乘积称为 Z 的次幕 , 记作 z, z=z . z . z. - V

5、- 个对于任何正整数 ,有 z =rn cosw +1 sin n 0. 假如我们定义 z“ =.,那么当为负整数时,Z 上式仍成立复变函2.棣莫佛公式 棣莫佛介绍当 z 的模厂 =1,艮卩 z =cos0 + isin 仇 cos0 + isin0 =cos0 + isin0 .棣莫佛公式3 .方程以 =z 的根陷其中 z 为已知复数0 + 2 比兀 . 0-v2kn cos - F i sin “n 住= M,2,.m_l 推导过程如下 : 设 z =rcos + /sin, w = pcos + /sinX 依据棣莫佛公式,wn = pu cos n pisinn p =fcos&+is

6、in0, 于是 Q=4 COS0 = COS0, sin0 = sin09 明显 0 = & + 2. 兀 9 k =0, 1, 土 2. 斗- 0 + 2kn故 p=r X p = - 9 nW =pz Glkn . .cos 0 + 2& 兀 +1 sm n当 k = 0.12 山 - 1 时,得到个相异的根 : r1 cos-4-1 sin - I n n）+ isin 忙小 os& + 2j 异+ 2 幵, I n n J当 k 以其他整数值代入时,这些根又重复显现 . 0 + 2（ 一 0 + 2（一1）7T 1）兀n例如 & =时 , 从几何上看 , 严为半径的0 + Inn n+

7、 /sin 0 + Innn血的个值就是以【点为中心的内接正边形的” 个顶点. 例 3 化简 （l+i ）+ （l i）“ . 解 Em护剳= 2 cos 1 sin - 2 cos +V 3 = e 5a.iacosa+rsina-1 cosa+ sina + l Q .a 2sm由于 Z-sin +1 cos _2 -a 2 V =itan62cos. cos 号+ isin： 故原方程的根为z0 =0, Z|=itan ；9复变函 2例 7 如” 为自然数,且x“ +iyn =1 + /V3M, 求证：儿 - 心儿“ “ 3.证 x, + 叽=l + ij3 = 2 +1 sin it . n cos 3 3 =2,tcosy+/sin- 利用复数相等可知：2一 cos 上虫 . 3w xn=2Mcos, 3 2W sin 旷- 2“ cos, K . 2一 sin 凹圧3 3 3 .nn / -ln sin 一=4心3. 等式得证 .三、小结与摸索 应