导数及其经济应用

1、2.1（1） 导数的概念目标重点能从极限理论及实例出发理解导数的概念 理解左右导数、导函数概念 难点导数定义 掌握导数的几何意义与经济意义，掌握可导与连续的关系 变化率的思想，导数的经济意义 2.1（1）导数的概念 一、导数定义 二、可导与连续的关系 1. 导数定义 2. 左导数与右导数 3. 导数与导函数引入 我们知道，总成本是产量的函数.如果由产量的微小变化引起成本的很大变化，那么就说明成本随产量变化的较快；反之则说明成本随产量变化的较慢由总成本和总收益对产量变化的快慢程度，就可知总利润的增减情况这些问题归结到数学上就是研究函数的变化率问题也就是导数2.1（1） 导数的概念一、导数定义一、

2、导数定义一、导数定义一、导数定义 一、导数定义一、导数定义一、导数定义一、导数定义一、导数定义一、导数定义一、导数定义一、导数定义一、导数定义一、导数定义一、导数定义二、可导与连续的关系二、可导与连续的关系小结、作业小结1.导数的定义2.导数的物理、几何、经济意义3.可导性的判断4.可导与连续的关系作业P40：6 ；P47：22.1(2) 导数的运算目标重点难点求复合函数的导数 熟记导数公式和法则 求导公式和法则 能熟练求导数 2.1(2) 导数的运算 一、导数的四则运算法则二、复合函数的导数一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则一、导数的四则

3、运算法则一、导数的四则运算法则二.复合函数的导数二.复合函数的导数二.复合函数的导数二.复合函数的导数小结、作业小结作业P48 10双号 2.1（3） 二阶导数与偏导数目标重点 掌握二阶导数的求法 会求二阶导数与偏导数难点二阶偏导数 掌握偏导数的求法 一、二阶导数一、二阶导数二、偏导数 1. 偏导数的概念与计算 二、偏导数 二、偏导数 二、偏导数 二、偏导数 二、偏导数 2. 二阶偏导数二、偏导数 二、偏导数 小结、作业小结作业P61：4 1.二阶导数2. 偏导数的概念与计算 3. 二阶偏导数2.2 微分 目标重点难点 理解微分的概念 弄清微分与导数概念与函数改变量的区别及联系 掌握可导与可微

4、的关系 掌握微分的求法 会用微分进行近似计算 微分与导数的关系、微分近似计算微分近似计算2.2 微分 一、微分的概念 1、定义 2、可导与可微的关系二、微分的应用一.微分的概念 一.微分的概念 一.微分的概念一.微分的概念 一.微分的概念 一.微分的概念 一.微分的概念 一.微分的概念 一.微分的概念 二.微分的应用 二.微分的应用 二.微分的应用 二.微分的应用 二.微分的应用 2.3（1）一元函数的极值与最值目标重点明确极值点可能是哪些点；掌握极值存在的必要、充分条件；会求函数的极值。难点弄清极值和最值的区别与联系，掌握最值的两种特殊情况，会求函数的最值。 极值的求法正确求极值2.3（1）

5、一元函数的极值与最值一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最值 四、极值的应用 一、函数的单调性一、函数的单调性一、函数的单调性一、函数的单调性一、函数的单调性一、函数的单调性二、函数的极值 二、函数的极值 二、函数的极值 二、函数的极值 二、函数的极值 二、函数的极值 二、函数的极值 三、函数的最值 三、函数的最值 三、函数的最值 三、函数的最值 四、极值的应用四、极值的应用四、极值的应用四、极值的应用四、极值的应用四、极值的应用四、极值的应用1. 连续函数的极值(1) 极值点可能是:驻点或导数不存在的点(2) 第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3) 第二充分条件为极大

6、值为极小值2. 连续函数的最值最值点应在极值点和边界点上找，实际问题看意义。小结与作业同步训练 2.3 单号题目标重点凹向与拐点的实际意义，二元函数极值的求法难点求二元函数的极值会判断曲线的凹向，会求拐点。 明确最值和拐点的实际意义，能应用其解决经济问题 掌握二元函数极值存在的必要、充分条件, 会求二元函数极值 2.3（2）曲线的凹向与拐点 2.4（1）二元函数的极值 2.3（2）曲线的凹向与拐点2.4（1）二元函数的极值 一、曲线凹凸性及拐点的概念 二、曲线凹凸性的判断 三、曲线凹凸性的实际意义 四、二元函数的极值 一、曲线凹凸性及拐点的概念 二、曲线凹凸性的判断 二、曲线凹凸性的判断 二、

7、曲线凹凸性的判断 二、曲线凹凸性的判断 三、曲线凹凸性的实际意义 三、曲线凹凸性的实际意义 三、曲线凹凸性的实际意义 三、曲线凹凸性的实际意义 三、曲线凹凸性的实际意义 四、二元函数的极值 四、二元函数的极值 四、二元函数的极值 四、二元函数的极值 四、二元函数的极值 四、二元函数的极值 四、二元函数的极值 四、二元函数的极值 四、二元函数的极值 四、二元函数的极值 四、二元函数的极值 1.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点总结、作业 2.二元函数极值与一元函数极值充分条件区别作业：同点训练2.4，双号题2.4（2）二元函数极值的应用 目标重点难点会用二元函数极值解决相关

8、经济问题 会用最小二乘法建立经验公式 正确应用最小二乘法建立经验公式 解应用题 正确应用最小二乘法建立经验公式 解应用题 2.4（2） 二元函数极值的应用一、无条件极值二、最小二乘法一、无条件极值一、无条件极值一、无条件极值一、无条件极值一、无条件极值二、最小二乘法二、最小二乘法二、最小二乘法二、最小二乘法二、最小二乘法二、最小二乘法二、最小二乘法二、最小二乘法二、最小二乘法二、最小二乘法总结、作业 总结用最小二乘法建立经验公式的步骤合理选择求二元函数极值的方法作业 同步训练2.4，后三题2.5 导数在经济分析中的应用一、边际分析二、弹性分析熟练掌握边际函数、弹性函数的定义、经济意义、求法，能

9、解决经济领域中的实际问题。目标：重点：难点：解决有关边际及弹性的应用题弹性的应用题的计算，正确表述经济意义边际分析就是分析经济函数我们把经济变量x在一定的水平下，x有一个单位变动时，所引起的经济变量y的变动量称为边际量反映到数学上，就是将函数均有改变量x和y时，中，当变量x与变量y其变动量之间的关系在经济学中，在x=1时,y的值称为边际值. 引言一、边际分析定义设函数在可导，则导数称为的边际函数，记作或是的边际值，反映该点的变化速度.意义改变一个单位，改变个单位. 时，当常用的有：边际成本、边际收益、边际利润等。一、边际分析1边际成本求边际成本，并分析其经济意义. 即边际成本 一般地，线性成本

10、函数是增函数，即生产成本随产品产量的增加而增加，即例1 已知产量为Q时的成本函数C为解 常数表明：产品产量为任何水平时，产量每增加一个单位，生产成本均匀增加0.3. 一、边际分析指出固定成本、可变成本；（1）略（3）无影响，例如，每月固定税收200，只是固定成本增加了200，总成本求导后，边际成本没变。例2 某企业生产Q个产品的总成本解 当Q=100时，产量每增加一个单位，生产成本就增加136个单位. 么？举例说明.Q为100时的边际成本，并分析经济意义，问对其收固定税收对其边际成本是否有影响？为什（2）一、边际分析可变成本为当产量是50件时，平均成本边际成本，此时继续提高产量是合理的。例3

11、某厂生产某产品固定成本解问该厂生产50件商品时的总成本、平均成本、边际成本是多少？此时继续提高产量是否合适？一、边际分析小结：（1）当边际成本小于平均成本时，应继续增产；（2）当边际成本等于平均成本时，得到平均成本的最优值；（3）当边际成本大于平均成本时，则不应继续增产若继续增产必进行技术革新，以降低成本，使平均成本变小由以上的结论还可得到，当在直角坐标系中分别画出平均成本曲线与边际成本曲线的图形时，平均成本曲线与边际成本曲线若相交的话，必交在平均成本曲线的最低点处一、边际分析例4 设某产品的需求函数为解2.边际收益求：销量为10单位时的总收益、平均收益与边际收益；销量由10单位增加到20单位

12、时收益的平均变化率。一、边际分析解3.边际利润企业经营处于最优状态是利润最大，由存在极值的必要条件，得企业最优经营条件是：边际利润为零，总利润最大；或边际收益等于边际成本例5 某公司总利润L(元)与每天产量Q（吨）关系为试确定每天生产10t、20t、25t、30t时的边际利润，并予以经济解释.一、边际分析解 当日产量为10t时，再多生产1t，总利润约增加150元；当日产量为20t时，再多生产1t，总利润约增加50元；当日产量为25t时，再多生产的话，利润不增，反而开始减少，此时是最优产出；当日产量为30t时，再多生产1t，总利润约减少50元。一、边际分析从经济学中的需求关系可知：当商品价格上涨

13、时，会导致需求量下降；当价格下跌时，会导致需求量上升；但是它并没有指出价格与需求量变动的对应关系。对某些商品而言，需求量对价格变动具有敏感性，某些商品的需求量对价格变动不具有敏感性我们非常想知道需求量对价格变动的灵敏度，即价格每变动%时，需求量随之变动的百分数，决定这一因素的经济学量是需求弹性引言二、弹性分析 边际函数是函数的绝对变化率. 在实际问题中，仅研究函数的绝对变化率是不够的. 如，商品甲价格10元/个，涨价1元；商品乙价格100元，涨价1元。 两种商品的绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价的幅度（百分比）大不相同，甲涨了10%，乙涨了1%。 边际值是函数的绝对变化率，看不出

14、变化的幅度，有必要研究函数的相对变化率，即为函数的弹性。二、弹性分析定义设函数在点处可导，函数的相变化率，即两点间的弹性. 与自变量的相对改变量之比对改变量称为函数从到两点的相对变化率，简称弹性. 记为当时，的极限称为在的相对二、弹性分析反映在点x处，f(x) 随x变化幅度的大小，也就是f(x)对x反映的强烈程度或灵敏度。时，f(x) 改变若y表示市场对某商品的需求量，P为价格，称为该商品的需求弹性. 弹性的经济意义：表示在点处，当x改变1%二、弹性分析得由 则由价格微小变动而引起销售收益R=yP的改变量为又因 于是有 所以：当 时(称为高弹性)，降价可使总收益增加（薄利多销多收益)，提价将使总收益减少. 时(称为低弹性)，降价使总收益减少，提价将使总收益增加. 时(称为单位弹性)，无论降价或提价，对总收益没有明显影响.当当二、弹性分析例6 某种商品市场的需求量D（件）是价格P（元）若这种商品的价格是每件的函数20元，试求此时需求量对价格的弹性解 于是表明：当商品价格为20元/件时，价