三角函数第4章 第2讲 三角恒等变换-教师版

1、 2 2 22 sin2 1tan 2 2 4 3 4 4 3 6 2 第 3 讲三角恒等变换考点三角函数的化简与求值1两角和与差的三角函数公式sin()sincoscossin；(S ) cos()cos cossinsin ；(C ) sin()sincoscossin.(S ) cos()coscossinsin .(C ) tan()tantan 1tantantantan；(T ) tan() .(T )1tantan2二倍角公式sin22sincos；(S )cos2 cos2sin2 2cos 2112sin2；(C )2tan22tan 1tan2.(T )23公式的变形与应用

2、(1)两角和与差的正切公式的变形tantan tan()(1tantan)； (2)升幂公式 1cos2cos 2 ； 1cos2sin2 . (3)降幂公式tantan tan()(1 tantan)sin21cos2 1cos2 ； cos2 .2 2(4)其他常用变形sin22sincos 2tan ；sin2cos 2 1tan2cos2sin2 1tan2 cos2 ；cos 2 1sin sin cos 2辅助角公式 4； sintan 2 1cos1cos .sinasinbcos a2b2sin()，其中 cosa b ，sin .a2b2 a2b25角的拆分与组合(1)已知角

3、表示未知角例如，2( )()，2()()， ( )()， .4 3(2)互余与互补关系 3 例如， ， .(3)非特殊角转化为特殊角例如，1545 30 ，75 45 30.注意点先看角，再求值在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到 “先看角的范围，再求值 ”.13 3 2 2 2 2 2 2 2 cos cos2 2 2 2 22 4 12 22 42 1212 4 3sin4 4 2 2 2 42 2 2 2 4 4 41(1) 化简 cos15cos45 cos75sin45的值为( )A.1 3 1B. C2 2 2D32解析1(1)cos15cos45cos75sin45cos1

4、5cos45sin15sin45cos(15 45)cos60 .故选 A.21tan275的值为( )(2)tan752 3A2 3 B.3C2 3D2 332解析 (2)由题意知 2 3.tan1502在ABC 中，tanA tanB 3 3tanAtanB，则 C 等于( )A. 2 B. C.3 3 6D.4答案A解析由已知可得 tanAtanB 3(tanAtanB1)， tan(AB)tanAtanB 2 3， 又 0AB0，2sin3cos，又 sin2( ) 2sin sin cos2 13 3 13 26cos21，cos ，sin ， .13 13 sin2 cos21 s

5、in cos2sin2cos2 83 ( ) 2 13解法二：同解法一得 2sin3cos，即 tan ，由三角函数定义令 y3，x2，则 r 13，又 0， ，故 cos .(或对式子 2sin2sincos 3cos320 两边同时除去 cos2 得 2tan 2tan30，即(2tan3)(tan1)0，得 tan 或 tan1(舍 ) )以下同解法一 59.已知 ， ，sin . 5(1)求 sin 的值； (2)求 cos 2 的值( ) 5 2 5 ( ) 2 ( 2 5) 2 5 10 解 (1)因为 ， ，sin ，所以 cos 1 sin2 .故 sin sin coscos

6、 sin .5 ( 2 5) 4 ( 5) 3(2)由 (1)知 sin22sincos2 ， cos212sin212 2 ，5 5(5 ) 5 5 3 3 1 ( 4) 43 3所以 cos cos cos2 sin sin2 .21 5 310. 已知 ， 为三角形的两个内角，cos ，sin() ，则 _.1 4 3 正解 因为 0，cos ，所以 sin 1 cos2 ，故 ，5 3 3 2又因为 0，sin( ) ，所以 0 ，或 ， 2 11由 知 ，所以 cos( ) 1 sin2 ，( 11) 1 5 3 4 3 1 所以 coscos( ) cos()cos sin()si

7、n ，又因为 0，所以 .时间：60 分钟基础组1若 sin 1 ，则 cos 2 ( ) 47 1 1A B C.8 4 4答案 A 解析 由 sin(3 )14，得 sin2 (6 (1) 72 21 .87D.8 )14，即 cos(6)14， cos(32)cos262cos2( )6 14 52 eq oac(,在)ABC 中，若 cosA ，cosB ，则 cosC( )5 13A.3 36 16B. C.65 65 65D.33653 12 3 12 4 5 16答 C 在ABC 中，0A，0B，从而 sinA ，sinB ，所以 cosCcos (AB)cos(AB) sinA

8、sin BcosAcosB . 3. 若 0 ， 0)，其最小正周期为 .(1)求 f(x)的表达式；(2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍( 纵坐标不变)，8得到函数 y g(x)的图象，若关于 x 的方程 g(x)k0 在区间 0， 上有且只有一个实数解，求实数 k 的取值范围( ) 2 ( )解 (1)f(x)sin 2x .由题意知 f(x)的最小正周期 T ，所以 2. 所以 f(x) sin 4x .( ) 2 (2)g (x)sin 2x .因为 0 x ，所以 2x .g(x)k0 在区间 0， 上有且只有一个实数解，即函数 y

9、g(x)与 yk 在区间 0，2 3 3 3上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知3 3 3 3 k 或k1，所以 k 或 k1. 2 2 2 28已知 cos(1)sin2； 1 cos ， ， ，求：(2)tan1tan.53 3 22 3 3 ( ) 33 2 sin2 sin .3 33 3 3 3 2 2 2 2 23 2 2 tan cos sin sincos sin21 3 6 126 26 2tan cos sin sincos 12解 (1)cos(6)cos(3)cos(6)sin(6)21sin( 23 )14，( ) 1 ( )即 sin 2 ，注意到 ， ， ( 4)故 2 ， ，从而 cos 2 ，2( ) ( ) ( ) 1 1 3 3 1 sin2sin 2 cos cos31