《微分方程数值解》教学大纲

1、微分方程数值解Numerical solution of differential equation一、课程基本情况课程类别：专业方向课课程学分：3学分课程总学时：48学时，其中讲课：40学时，实验（含上机）：8 学时, 课外 0 学时课程性质：选修开课学期：第5学期先修课程：高等代数，数学分析，偏微分方程，数值分析，MATLAB软件适用专业：信息与计算科学 教 材：李荣华，刘播；微分方程数值解（第四版），高等教育出版社，2009年。开课单位：数学与统计学院 信息与计算科学系二、课程性质、教学目标和任务该课程是信息与计算科学专业的重要的专业基础课之一。本课程主要是介绍常微分方程初值问题、边值问

2、题以及偏微分方程初、边值问题的数值解法。通过本课程的学习，不仅使学生掌握本课程的基础理论和分析解决问题的基本思路和技巧，还能使学生的数学与计算机结合解决问题的能力得到扩展，并进一步巩固学生已有的用数值计算解决问题的能力。为今后在各自的专业工作中应用科学计算这一重要研究手段、解决实际问题或进入深层次的专门研究奠定良好的基础。三、教学内容和要求1 绪论（2学时）（1）理解微分方程数值求解的重要性；（2）了解微分方程与工程、科学技术之间的关系；（3）初步了解数值求解微分方程的各类方法。2 常微分方程的初值问题数值解法（6学时）（1）了解常微分方程初值问题解的存在唯一性定理；（2）掌握Euler法，改

3、进的Euler方法，Runge-Kutta方法，线性多步法（Adams-Bashforth公式，Adams-Moulton公式）；（3）理解并掌握逼近格式的相容性（局部截断误差），稳定性（舍人误差）和收敛性（整体截断误差），以及局部截断误差和整体截断误差的关系；重点：Euler法；Runge-Kutta法；难点：相容性（局部截断误差）；稳定性（舍人误差）和收敛性（整体截断误差）3.椭圆方程的有限差分法（6学时）（1）掌握并熟悉几种差分逼近格式：一阶向前（后）差分，一阶中心差分，二阶中心差分; 掌握Poisson方程第一边值问题离散化进行数值求解的五点差分格式；（2）理解掌握这种差分格式建立的过

4、程；（3）熟悉五点差分格式的收敛和稳定性分析；重点：几种差分；五点差分格式难点：五点差分格式的收敛和稳定性分析4.发展方程的差分方法（12学时）（1）掌握热传导方程初边值问题数值计算的向前差分格式（显式）、向后差分格式（隐式）、Crank-Nicolson六点差分格式绝对稳定（1947年），Richardson格式；掌握几种差分格式的收敛性、稳定性；掌握波动方程的特征、决定区域、依赖区域和影响区域；掌握差分解收敛和差分格式稳定的必要条件Courant条件；（2）理解并熟练掌握稳定性的Fourier判别方法；（3）了解二维热传导方程的ADI方法；（4）熟悉初值问题数值求解的离散差分格式和误差分析

5、；熟悉对流方程的迎风格式、Lax格式、Box格式、Lax-Wendroff粘性差分格式（1960年）；重点：热传导方程和波动方程几种差分格式难点：各种差分格式的收敛性、稳定性；稳定性的Fourier判别方法；Courant条件5.边值问题的变分形式（8学时）（1）掌握多变量二次函数极值问题与线性代数方程组求解建立等价性的过程及条件；了解极小位能原理，虚功原理；掌握RitzGalerkin方法近似求解的思想和过程。（2）理解弦平衡问题的两种数学模型（两点边值问题和泛函变分问题）及相互转换关系；理解Sobolev空间中弦平衡问题的变分原理；理解本质边界条件和自然边界条件，古典解和广义解；（3）了解

6、二阶椭圆边值问题的变分原理；重点：多变量二次函数极值问题与线性代数方程组求解建立等价性的过程；RitzGalerkin方法难点：极小位能原理，虚功原理；二阶椭圆边值问题的变分原理6.椭圆型方程的有限元解法（6学时）（1）掌握解一维问题的线性有限元方法；掌握求解二维问题的三角形元方法。（2）熟悉建立线性有限元方程的整个过程；熟悉单元节点基函数，面积坐标，单元刚度矩阵，总体刚度矩阵等概念；（3）了解线性有限元方法的收敛分析及误差估计；了解建立三角形元方程的整个过程；重点：线性有限元方法；刚度矩阵；二维问题的三角形元方法难点：建立线性有限元方程的整个过程；线性有限元方法的收敛分析及误差估计；四、课程

7、考核（1）作业等：作业：6次；报告：4次；课程论文：0篇；（2）考核方式：闭卷考试（3）总评成绩计算方式：平时成绩20%+实验报告成绩20%+期末考试成绩60%五、参考书目（1）偏微分方程数值解法，清华大学出版社，陆金甫，关治编著，2004。（2）Numerical Solution of Partial Differential Equations An Introduction，Cambridge University Press，K. W. Morton，D. F. Mayers，2005。（3）Finite Difference Methods in Financial Engineering A Partial