北京市西城区高二数学下学期期末试卷理教案

1、2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1复数A1+i等于（）B1iC1+iD1i2已知函数f（x）=ex，则f（1）=（）ABCeDe3甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）ABCD4已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）Aaf（1）f（2）Bf（1）af（2）Cf（2）f（1）aDf（1）f（2）a5直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（）ABCD6用1，2，3，4

2、四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A16个B12个C9个D8个7函数A，0B在区间0，上的最大、最小值分别为（）CD85个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多-1-B总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9曲线y=在x=2处的切线的斜率为10展开式中的常数项是11离散型随机变量的分布列为：p1p12p23且E=2，则p1=；p2=12某班举行的联欢会

3、由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有种f013若函数（x）=ax3ax2+x在区间（1，）上恰有一个极值点，则a的取值范围是14已知，对于任意xR，exax+b均成立若a=e，则b的最大值为；在所有符合题意的a，b中，ab的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15在数列an中，a1=1，其中n=1，2，3，（）计算a2，a3，a4，a5的值；（）根据计算结果，猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明16甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率

4、分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率17已知函数f（x）=x3+3ax2（）若a=1，求f（x）的极值点和极值；-2-（）求f（x）在0，2上的最大值18一个袋中装有黑球，白球和红球共n（nN*）个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是现从袋中任意摸出2个球（）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值（直接写出n的值）（）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望19已知函数f

5、（x）=ax2+bx和g（x）=lnx（）若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围20已知函数f（x）=（x1）ex（）求f（x）的单调区间；（）证明：当a0时，方程f（x）=a在区间（1，+）上只有一个解；（）设h（x）=f（x）aln（x1）ax，其中a0若h（x）0恒成立，求a的取值范围-3-2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1复数A1+i等于（）B1

6、iC1+iD1i【考点】A7：复数代数形式的混合运算【分析】化简复数为a+bi（a、bR）的形式即可【解答】解：复数=故选A2已知函数f（x）=ex，则f（1）=（）ABCeDe【考点】63：导数的运算【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式可得其导数f（x），将x=1代入计算即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）=ex，则f（x）=ex，则f（1）=e（1）=e；故选：D3甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）ABCD【考点】C5：互斥事件的概率加法公式【分析】目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，由此利用对立事件概率计算公式

7、-4-能求出目标被击中的概率【解答】解：设事件A表示“甲射击命中目标”，事件B表示“乙射击命中目标”，则P（A）=，P（B）=，目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，目标被击中的概率：p=11P（A）1P（B）=1=目标被击中的概率是故选：C4已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）Aaf（1）f（2）Bf（1）af（2）Cf（2）f（1）aDf（1）f（2）a【考点】6A：函数的单调性与导数的关系【分析】根据图象和导数的几何意义即可判断【解答】解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，f（1）af（2），故选：B5直线y=x与抛

8、物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（）-5-ABCD【考点】6G：定积分在求面积中的应用【分析】先求曲线的交点的坐标，确定积分区间，再用定积分表示面积即可得到结论【解答】解：由，可得交点的坐标为（0，0），A（1，1），所求的封闭图形的面积为S=|（xx2）dx=（x2x3）=，故选：C6用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A16个B12个C9个D8个【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分析可得要求四位数的首位数字必须是2、3、4中一个，据此按首位数字的不同分3种情况讨论，求出每一种情况的四位数数目，由加法原理计算可得答案【解答】解：

9、根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是2、3、4中一个，则分3种情况讨论：、首位数字为2时，其个位数字必须为4，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，、首位数字为3时，其个位数字必须为2或4，有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有22=4个比2000大的偶数，、首位数字为4时，其个位数字必须为2，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，则一共有2+4+2=8个比2000大的偶数，故选：D7函数A，0B在区间0，上的最大、最小值分别为（）

10、CD【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用-6-【分析】对函数f（x）求导数，利用导数判断f（x）的单调性，并求f（x）在区间0，上的最大、最小值【解答】解：函数，f（x）=1cosx；令f（x）=0，解得cosx=，又x0，x=；x0，）时，f（x）0，f（x）单调递减；x（，时，f（x）0，f（x）单调递增；且f（）=sin=1，f（0）=0，f（）=；函数f（x）在区间0，上的最大、最小值分别为和1故选：C85个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少

11、一个D总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9曲线y=在x=2处的切线的斜率为【考点】62：导数的几何意义【分析】要求函数在x=2处切线的斜率，即求在x=2处的导数值-7-【解答】解：y=y=则y曲线y=故答案为：=在x=2处的切线的斜率为10展开式中的常数项是24【考点】DC：二项式定理的应用【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于

12、0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1=24r（1）rx42r，令42r=0，求得r=2，可得常数项是24，故答案为：2411离散型随机变量的分布列为：p且E=2，则p1=1p12p2；p2=3【考点】CG：离散型随机变量及其分布列【分析】由E=2，利用离散型随机变量的分布列，列出方程组，由此能求出解得p1，P2【解答】解：E=2，由离散型随机变量的分布列，得：，解得故答案为：，P2=-8-12某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有42种【考点】D8：排列、组合

13、的实际应用【分析】根据题意，分析可得甲必须排在第二、三、四、五的位置，对甲的位置分种情况讨论：、若甲排在第二、三、四的位置，、若甲排在第五的位置，分别求出每一种情况下的编排方案数目，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，节目甲不能排在第一个，则甲必须排在第二、三、四、五的位置，分2种情况讨论：、若甲排在第二、三、四的位置，甲的排法有3种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙可以排在甲之前或之后，有2种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在剩余的3个空位中，有A33=6种情况，则此时有326=36种编排方案；、若甲排在第五的位置，甲的排法只有1种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙只能排在甲之

14、前，即第四个位置，有1种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在前面3个空位中，有A33=6种情况，则此时有116=6种编排方案；则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有36+6=42种；故答案为：4213若函数f（x）=ax3ax2+x在区间（1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是（，）或1【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】由于函数f（x）=ax3ax2+x在区间（1，0）上恰有一个极值点，所以f（1）f（0）0，进而验证a=1与a=0时是否符合题意，即可求答案【解答】解：由题意，f（x）=3ax22ax+1，a0时，当f（1）f（0）0即5a+10时，-9-函数f（x）在区

15、间（1，0）上恰有一个极值点，解得：a，当a=1时，f（x）=3x2+2x+1=0，在（1，0）上恰有一根x=当a=0时，f（x）0，函数无极值点，综上，a（，故答案为：（，）或a=1，）或114已知，对于任意xR，exax+b均成立若a=e，则b的最大值为0；在所有符合题意的a，b中，ab的最小值为【考点】3H：函数的最值及其几何意义【分析】若a=e，可得bexex恒成立，由y=exex求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到b的最大值；对于任意xR，exax+b均成立，即有bexax恒成立，由y=exax求出导数和单调区间，可得baalna，即abalna，由f（a）=alna求出导数和单

16、调区间，可得最小值，即可得到ab的最小值【解答】解：若a=e，则对于任意xR，exex+b均成立，即为bexex恒成立，由y=exex的导数为y=exe，当x1时，y0，函数y递增；当x1时，y0，函数y递减可得x=1处，函数y取得最小值，且为0，则b0，即b的最大值为0；对于任意xR，exax+b均成立，即有bexax恒成立，由y=exax的导数为y=exa，当a0时，y0恒成立，函数y递增，无最小值；当a0时，当xlna时，y0，函数y递增；当xlna时，y0，函数y递减可得x=lna处，函数y取得最小值，且为aalna，-10-则baalna，即abalna，由f（a）=alna的导数为

17、f（a）=lna+1，可得a时，f（a）0，f（a）递增；0a时，f（a）0，f（a）递减可得a=时，f（a）取得最小值则ab的最小值为故答案为：0，三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15在数列an中，a1=1，其中n=1，2，3，（）计算a2，a3，a4，a5的值；（）根据计算结果，猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式【分析】（）根据题意，由数列的递推公式依次计算可得答案；（）有（）可以猜测：an=n2，利用数学归纳法证明可得答案【解答】解：（）根据题意，数列an中，a1=1，则a2=a1+1=4，a

18、3=a2+1=9，a4=a3+1=16，a5=a4+1=25，（）有（）可以猜测：an=n2，用数学归纳法证明：、当n=1时，a1=12=1，即n=1时，an=n2成立，、假设n=k（k1）时，结论成立，即ak=k2，-11-n=k+1时，ak+1=ak+1=（k+1）2，即n=1时，结论也成立，根据可得：an=n2成立16甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概率加法公式【分析】（）求出甲投球2

19、次都没有命中的概率，再用1减去此概率，即为所求（）求出甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率，再求出乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率，把这两个概率相加，即为所求【解答】解：（）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为故甲至少命中1次的概率为1=（）乙投球2次均未命中的概率为（1p）（1p）=，p=若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为=，（1）而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为=，故两人共命中3次的概率为+=17已知函数f（x）=x3+3ax2（）若a=1

20、，求f（x）的极值点和极值；（）求f（x）在0，2上的最大值【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值-12-【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可【解答】解：（）a=1时，f（x）=x33x2，f（x）=3x26x=3x（x2），令f（x）0，解得：x2或x0，令f（x）0，解得：0 x2，故f（x）在（，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+）递增；故x=0是极大值点，极大值是f（0）=0，x=2是极小值点，极小值是f（2）=4；（）f（

21、x）=3x2+6ax=3x（x+2a），a0时，f（x）0，f（x）在0，2递增，故f（x）max=f（2）=12a+8；1a0时，22a0，令f（x）0，解得：x2a，令f（x）0，解得：0 x2a，故f（x）在0，2a）递减，在（2a，2递增，故f（x）max=f（0）=0或f（2）=12a+8；a1时，2a2，f（x）在0，2递减，故f（x）max=f（0）=018一个袋中装有黑球，白球和红球共n（nN*）个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是现从袋中任意摸出2个球（）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值（直接写出n的值）（）若

22、n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列-13-【分析】（）依题意有知识求出P（A）=（）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，利用排列组合，从而求出P（A）最小时n=5=6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，由对立事件概率计算公式求出袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX【解答】解：（）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件

23、A，则P（A）=P（A）最小时n=5（）依题意有=6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，则P（B）=1=，整理，得：x229x+120=0，解得x=5或x=24（舍），袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列为：X012PEX=-14-19已知函数f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx（）若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导

24、数求闭区间上函数的最值【分析】（）令h（x）=f（x）g（x）=x2+xlnx，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，判断最小值大于0，即可得证；nfg（）设P的坐标为（m，），分别求出（x），（x）的导数，可得切线的斜率，即有2am+b=，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得a=（m0），令u（m）=（m0），求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求范围【解答】解：（）证明：若a=b=1，即有f（x）=x2+x，令h（x）=f（x）g（x）=x2+xlnx，h（x）=2x+1=当x，x0，时，h（x）0，h（x）递增；当0 x时，h（x）0，h（x）递减可得h（x）在x=处取得极小值，且为最小值，且h（）=+ln0，即有h（x）0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；（）设P的坐标为（m，n），f（x）=ax2+bx的导数为f（x）=2ax+b，g（x）=lnx的导数为g（x）=，可得2am+b=，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得am2+12am2=lnm，可得a=令u（m）=则u（m）=当me递减（m0），（m0），时，u（m）0，u（m）递增；当0me时，u（m）0，u（m）-15-uu=可得（m）在m=e处取得极小值，且为最小值，且（e）=，则a，故a的取值范围是，+）20已知函数f（x）=