剪力图与弯矩图的画法

1、剪力图与弯矩图的画法第1页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一Q(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)假想地用坐标为 x 和 x+dx的两横截面 m-m 和 n-n 从梁中取出 dx 一段。xyq(x)Pmxmmnndxmmnnq(x)Cx+dx 截面处 则分别为 Q(x)+dQ(x), M(x)+dM(x) 。由于dx很小，略去q(x) 沿dx的变化m-m截面上内力为Q(x)， M(x)第2页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一 Y= 0Q(x) - Q(x)+dQ(x) + q(x)dx = 0得到 Mc = 0 M (x) + dM

2、(x) - M(x) - Q(x) dx - q(x)dxdx2= 0写出平衡方程Q(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C略去二阶无穷小量即得= q(x)dQ(x)dx第3页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一dM(x)dx= Q(x) d M(x) 22d x= q(x)= q(x)dxdQ(x)公式的几何意义剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。第4页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一 d M(x) 22d x= q(x)dx= Q(x)dxdQ(x) = q

3、(x)dM(x)Q(x)图为一向右下方倾斜的直线xQ(x)oM(x)xoq(x)、Q（x）图、 M（x）图三者间的关系梁上有向下的均布荷载，即 q(x) 0第5页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一梁段上无荷载作用，即 q(x) = 0剪力图为一条水平直线弯矩图为一斜直线xQ(x)oxoM(x)xM(x)o d M(x) 22d x= q(x)dx= Q(x)dxdQ(x) = q(x)dM(x)第6页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一梁上最大弯矩可能发生在Q(x) = 0 的截面上 或梁段边界的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。在集中力作用处剪

4、力图有突变，其突变值等于集中力的值。弯矩图的相应处形成尖角。在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。 d M(x) 22d x= q(x)dx= Q(x)dxdQ(x) = q(x)dM(x)第7页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一q0向下的均布荷载无荷载集中力PC集中力偶mC向下倾斜的直线或下凸的二次抛物线在Q=0的截面水平直线+一般斜直线或在C处有突变P在C处有尖角或在剪力突变的截面在C处无变化C在C处有突变m在紧靠C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截面的可能位置表 一、 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特

5、征第8页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一例题 一简支梁受两个力P作用如图 a 所示。 已知 P= 25.3KN，有关尺寸如图所示。 试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图。解：求梁的支反力。由平衡 方程 mB=0 和 mA=0 得将梁分为AC，CD，DB三段。 每一段均属无外力段。ABCD2001151265PP第9页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一剪力图每段梁的剪力图均为水平直线AC段：Q1 = RA =23.6KNCD段：Q2= RA-P = -1.7KNDB段：Q3 =- RB = - 27KNABCD2001151265PP123+1.7

6、2723.6最大剪力发生在DB段中的任一横截面上第10页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一ABCD2001151265PP123弯矩图每段梁的弯矩图均为斜直线。且梁上无集中力偶。故只需计算A、C、D、B各点处横截面上的弯矩。+4.723.11单位：KN.m最大弯矩发生在 C 截面第11页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一对图形进行校核在集中力作用的 C，D 两点剪力图发生突变，突变值 P=25.3KN 。 而弯矩图有尖角。在AC段剪力为正值。在CD和DB段，剪力为负值。最大弯矩发生在剪力改变处，负号的C点截面处。说明剪力图和弯矩图是正确的。+1.72

7、723.6ABCDPP123+4.723.11第12页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一例题 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100KN/m , 如图 a 所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。解：计算梁的支反力将梁分为 AC、CD、DB三段。AC和DB上无荷载，CD段有向下的均布荷载。EqABCD0.21.612剪力图第13页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一+80KN80KNEqABCD0.21.61221DB段：水平直线最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上。 CD段： 向右下方的斜直线AC段：水平直线 Q1 = RA = 80

8、 KN第14页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一EqABCD0.21.61221弯矩图AC段：CD段：+80KN80KN其极值点在Q=0的中点E处的横截面上。DB段： MB = 0第15页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一EqABCD0.21.61221+161648单位：KN.m MB = 0全梁的最大弯矩梁跨中E点的横截面上。第16页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一3m4m4m4mABcDE例 作梁的内力图解：支座反力为第17页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一将梁分为AC、CD、DB、BE 四段剪力

9、图AC：向下斜的直线（）CD：向下斜的直线 ( )DB：水平直线 (）Q =P2 -RB=- 3KNEB：水平直线 (）3m4m4m4mABcDE第18页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一Q = - 3KN7KN1KN+-3KN3KN2KNF点剪力为零,令其距A点为x=5mX=5mFX3m4m4m4mABcDE第19页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一弯矩图DB：( )BE：()7KN1KN+-3KN3KN2KN=5mFX3m4m4m4mABcDEAC：( )（CD：( )（第20页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一3m4m4m

10、4mABcDEF+-20.5201666第21页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系式中，QA，QB分别为在 x=a , x=b 处两各横截面A及B上的剪力。等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。若在 x=a 和 x=b 处两个横截面A，B间无集中力则第22页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得式中，MA，MB分别为在 x=a , x=b 处两个横截面 A 及 B上的弯矩。等号右边积分的几何意义是A，B两个横截面间剪力图的面积。第23页，共36页，2022年，5

11、月20日，14点11分，星期一例题 计算 下图中的梁 C、 E 两横截面上的 剪力和弯矩。 EqABCD0.21.612在AC段中 q=0 ，且 QA=RA解：第24页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一+80KN80KN(b)EqABCD0.21.612在AC段中 Qc = 80KN，剪力图为矩形，MA =0第25页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一+80KN80KN(b)EqABCD0.21.612在CE段中，剪力图为三角形QC=80KN，MC=16KN.m第26页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一例题 用简易法作 所示组合梁

12、的 剪力图和弯矩图。10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKB解：RARBmA已求得支座反力为RA=81KNRB=29KNmA将梁分为AE，EC，CD，DK，KB五段。第27页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA剪力图AE段：水平直线QA右= QE左 = RA = 81KNED段：水平直线QE右 = RA - P =31KNDK段：向右下方倾斜的直线QK= - RB = - 29KNKB段：水平直线QB左= - RB = - 29KN+81KN31KN29KN(b)第28页，共36页，2022年，5月

13、20日，14点11分，星期一10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KNx设距 K 截面为 x的截面上剪力 Q=0 。即第29页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA弯矩图AE，EC，CD梁段均为向下倾斜的直线+81KN31KN29KNx第30页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一DK段：向上凸的二次抛 物线在 Q=0 的截面上弯矩有极值KB段：向下倾斜的直线10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KN

14、x第31页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一弯矩图如图(c)所示。x+96KN.m15.5KN.m31KN.m55KN.m34KN.m5KN.m10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA第32页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一中间铰链传递剪力（铰链左，右两侧的剪力相等）；但不传递弯矩（铰链处弯矩必为零）。10.5113P=50KNM=50KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KNx+96KN.m15.5KN.m31KN.m55KN.m34KN.m5KN.m(c)x第33页，共36页，2022年，5月20日，14点11分，星期一+abcd18KN2KN14KN3m3m6mP=20KN解：画荷载图AB段：没有荷载，在B处有集中力，P=20KN。因为所以P( )CABD补充例题：已知简支梁的剪力图， 作梁的弯矩图和荷载图。 已知梁上没有集中力偶作用。第34页，共36页