角平分线执教教师

1、执教教师刘春红角平分线 (1) 一 学习新知 你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗? 结合我们前面学习的定理的证明方法，你能 写出这个性质的证明过程吗？ 已知:如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在OPDOPE而OPDOPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.CB1A2PDEO 证明： OC是AOB的平分线 1= 2 P

2、DOA,PEOB PDO= PEO OP=OP OPDOPE (AAS). PD=PE几何语言表示：定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).CB1A2PDEO思考分析 你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗? 逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗?如果是.请你证明它.已知:如图 所示, PD=PE, PDOA, PEOB

3、, 垂足分别 是D,E.求证:点P在AOB的平分线上.分析:要证明点P在AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明POD=POE.BACDEOP证明：PDOA PEOB POD和BPOE都是Rt PD=PE,OP=OP RtPODRtPOE(HL) POD= POE OC是AOB的平分线 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上.如图,PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知),点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据

4、之一.CB1A2PDEO 已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC. 用尺规作角的平分线. 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于 长为半径 作弧,两弧在AOB内交于点C. 则射线OC就是AOB的平分线.ABOCDE作法: 对照图形请你说明OC为什么是AOB的平分线,并与同伴进行交流. 老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.ABOCDE 二 挑战自我 1.如图,AD,AE分别是ABC中A的内角平 分线和外角平分线,它们有什么关系?老师期望:你能说出结论并能证明它.EDABCF 2.如图,一目标在A区,到公路,铁

5、路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).A区 3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等. CDABO 4.已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC. BAEDCF证明: AD是ABC的角平分线 且DEAB,DFAC DE=DF BD=CD RtBDERtCDF(HL) EB=EC 5.如图,在ABC中,已知 AC=BC,C=900,AD是ABC的角平线,DEAB,垂足为E.老师期望:你能正确地解答并规范地写出过程.(1)如果CD=4cm, 求

6、AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.EDABC解（1） AD是ABC的角平线, DEAB, DCAC, DE=CD=4cm AC=BC B=BAC(等边对等角) C=90 B= 45 BDE= 90- 45= 45BE=DE 在等腰直角三角形BDE中 （2）证明：由（1）的求解过程可知， RtACDRtAED(HL) AC=AE. BE=DE=CD, AB=AE+BE=AC+CD 四 深入探索已知，如图ABC中，ACB的平分线交AB于E，ACB的补角ACD的平分线为CG，EGBC交AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？ABCDEFG证明：EG为ACB的平分线 BCE= ACE CG为ACD

7、的平分线 DCG= FCG EGBC FEC=BCE, FGC=GCD 从而ACE=FEC， FGC=FCG EF=FC,FC=FG 从而EF=FG 五 回顾与小结定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).CB1A2PDEO逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知),点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个 角的平分线上).CB1A2PDEO邻补角的角平分线之间的关系.用