选修2-3-1.2排列与组合

1、排列与组合排列N=m1+m2+mn 做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 .种不同的方法分类加法计数原理N=m1m2mn 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 _种不同的方法.分步乘法计数原理 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名，按照参加上午的

2、活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？上午下午相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙 第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名，有3种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法根据分步计数原理：32=6 即共6种方法。 把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题就可以叙述为： 从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb 问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 分析：解决这个问题分三个步骤： 第

3、一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法； 第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法； 第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法。 根据分步乘法计数原理，共有 43224种不同的排法。如下图所示有此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。同样，问题可以归结为： 从个不同的元素a，b，c，d中任取个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc, abd, ac

4、b, acd, adb, adc; bac, bad, bca, bcd, bda, bdc;cab, cad, cba, cbd, cda, cdb; dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？(1)有顺序的(2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等? 一般的，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列的定义：排列的特征(1)排列问题实际包含两个过程：先从n个不同元素中取出m个不同的元素;再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列.(2)两个

5、排列相同的条件：元素完全相同;元素的排列顺序也相同. 例如123与213为什么是不同的排列。例1 下列问题中哪些是排列问题？（1）10名学生中抽2名学生开会的选法；（2）10名学生中选2名做正、副组长的选法；（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘积的个数；（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除商的个数；（5）20位同学互通一次电话的次数；（6）以圆上的10个点为端点作弦的条数；（7）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另 一个点的射线的条数；（8）有10个车站，共需要多少种车票；（9）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位.那些是全排列？排列中的注意点：1、元素不能重复。n

6、个中不能重复，m个中也不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是 否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相 同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、mn时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好 采用“树形图”。排列数： 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取m个元素的所有排列的个数，是一个

7、数；所以符号 只表示排列数，而不表示具体的排列. 问题1 中是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，记为: 问题2 中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为:从n个不同元素中取出2个元素的排列数 是多少？第1位第2位nn-1第1位第2位第3位n-2nn-1同理 可以这样计算 第1位第2位第3位第m位nn-1n-2n-(m-1)一般地 可以这样计算：排列数公式观察排列数公式有何特征： （1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1（2）最后一个因数是nm1（3）共有m个因数 n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中的n=m，即有: 就是说，n个不同

8、元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，所以n个不同元素的全排列数公式可以写成另外，我们规定0!1例1 计算：我们发现：这个结果有一般性吗？例2 (1)若,则n= ，m= 解：（1）n=17，m=14 (2)若则用排列数符号表示为 例3 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛. 解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列因此，比赛的总场次是=1413=182. 例4（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共

9、有多少种不同的送法？ （2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(种)(种)百位十位个位解法一：直接法0是“特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。有限制条件的排列问题1 特殊元素、特殊位置问题 例5 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？对排列方法分步思考。解法三：间接法. 所求的三位数的个数是:求以0为排头的排列数为:从总数中去掉不合条件的排列的种数求总数：从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为:解法二：直接法 第一类：每一位数字都不是0的三位数有第二类：个位数字是0的三位数有第三类：十位数字是0的三位数有 符合条件的三位数的

10、个数是: 小 结一：对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）。练习 用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的1) 五位数； 2)六位偶数；3)大于213045的自然数. 1)解1 位置分析法：首位是特殊位置，0不能排，有5种排法,其余4个位置有A45种排法， 由乘法原理知共有 5 A45=55432=600 1)解2.（间接法） 6个数中取5个数的排列中有不满足要求的数如02134等，O这样的数共有: A56-A45=600 第二类个位不是0,个位有两种排法，首位有4种排法，中间四位有A44种排法，第二

11、类共有24A44=192, 2)可分为两类，第一类是个位为0的有A55个;由加法原理共有 A55+192=312 练习 用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的大于213045的自然数.A13A55A13A44A12A33A12A22第五类：形如213054有一个因此满足要求的数共有449个 第一类：形如3,4,5,这样的数都是满足条件的数共有： 第二类：形如 23，24，25这样的数都是满足条件的数共有： 第三类：形如214,215这样的数都是满足条件的数共有：第四类：形如2134, 2135的数有A66=720.共有A61 A66 =4320.,共有A61 A66 =4320.所以

12、共有 A77- A66=7 A66- A66=4320.例6 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？A775040. 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列解：问题可以看作：7个元素的全排列 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余6人全排列有A66 种，解二：从其他6人中先选出一人站首位，有A61剩下6人(含甲)全排列,有A66解三：7人全排列有A77,甲在首位的有A66解：根据分步计数原理：第一步 甲,乙站在两端有则共有A22 A55 =240种排列方法甲乙乙甲 a

13、bcde ebdcaA55A55A22A22 例6 (4)7位同学站成一排甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？A22种.第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种所以一共有A52 A55 2400种排列方法 例6 (5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A55种方法例6 (6)若甲不在排头,乙不在排尾,有多少种不同的排法?解法一（直接法）：以甲作为分类标准,分为两类：第一类：先安排甲在中间,再安排乙,有第二类：先安排甲在排尾,再安排其

14、他人,有共有：3720种方法例6 (6)若甲不在排头,乙不在排尾,有多少种不同的排法?解法二（间接法）：所有排法中除去不符合的.所有排法：甲在排头：乙在排尾：甲在排头、乙在排尾：共有：3720种方法(7)7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法？解:根据分步计数原理:76543217！=5040.有限制条件的排列问题2 相邻问题(9)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？例6 (8)甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？解:甲、乙合在一起有A22种排法,与另五个同学全排列有A66种排法，共有N= A22 A66=720捆绑法3 不相邻问题(9)解法一：间接法(11)甲、乙、丙按指定顺序排

15、列。(10)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解法二：先将其余五个同学排好有:再将甲、乙同学分别插入这六个“空位”有:所以一共有种方法种方法，此时他们留下六个“空位”，种方法,插空法A44A53=1440其余四人在7个位置中选4个，有:A74方法，甲、乙和丙三个同学在其余3个位置中，只有一种方法共有N= A741=840种站法.练习1 若有四个男孩和三个女孩站成一排照相： 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？所以在全排列中， A在B左边与A在B右边的排法数相等解:A在B左边的一种排法必对应着A在B右边的一种排法种排法。因此有：插空法 若三个女孩要站在一起，四个男

16、孩也 要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）捆绑法若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，五个空档(包括两端)再把三个女孩插入空档中有A53种方法共有：种排法。插空法若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？ 练习2 某人射击8枪，命中4枪，4枪命种恰好3枪连在一起的不同种数有多少？ 解：连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中的4枪所隔开 ，如图表示没有命中，_ 命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有A52=54=20种排法 练习3 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种 ？ 练习4 一排长椅上共

17、有10个座位，现有4人就座，恰有五个连续空位的坐法种数为 。（用数字作答）480A63 练习5 同室4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？ 第一个同学从中拿一张贺卡，满足要求的拿法有3种解：第一步 考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有3种拿法，第二步第三步、第四步各有一种拿法，由乘法原理共有3311=9 如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ 如果女生全分开，有多少种不同排法？ 如果两端都不能排女生，有多少种不同排法？ 如果两端不能都排女生，有多少种不同排法？A66 A33 =4320 A55A63=14400 A52A66=14400

18、 A52A66+2A31A51A66=36000或A88- A32 A66=36000练习6 三名女生和五名男生排成一排，某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）； 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”。 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法“优限法”；2基本的解题方法：1对有约束条件的排列问题，应注意如下

19、类型：小结：数学、体育均不排在第一节和第六节，有 种, 例7 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ 第一类数学排在第一节、体育排在第六节有 种,第三类第四类其他有 种，共有 种； 其他有 种，一第二类共有 种； 数学排在第一节、体育不在第六节有 种，其他有 种，共有 种； 数学不排在第一节、体育排在第六节有 种，其他有 种，共有 种； 所以符合条件的排法共有 种对特殊元素:数学和体育进行分类解决. 第一节和第六节均不排数学、体育，有 种 例7 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育

20、共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ 第一类第一节排数学、第六节排体育有 种，第三类第四类其他有 种，共有 种； 其他有 种，一第二类共有 种； 第一节排数学、第六节不排体育有 种，其他有 种，共有 种； 第一节不排数学、第六节排体育有 种，其他有 种，共有 种； 所以符合条件的排法共有 种解法二：对特殊位置:第一节和第六节进行分类解决. 例7 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ 本题也可采用间接排除法解决解法3：不考虑任何限制条件共有 种排法，不符合题目要

21、求的排法有：（1）数学排在第六节有 种； （2）体育排在第一节有 种； 考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在第一节的情况 种 所以符合条件的排法共有 种。 例8 某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为多少？ 第一步:将一班的3位同学“捆绑”成一个大元素; 第二步:这个大元素与其它班5位同学共6个元素的全排列 第三步:这个大元素与其它班的5位同学共6个元素的全排 列排好后产生的7个空挡中排列二班的2位同学; 第四

22、步:“释放”一班的3位同学“捆绑”成的大元素， 解：符合要求的基本事件（排法）共有：所以共有 个；而基本事件总数为 个;所以符合条件的概率为 例9 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个. 解：本题在解答时只须考虑个位和千位这两个特殊位置的限制; 个位为1、2、3、4中的某一个有4种方法;十位和百位方法数为 种千位在余下的4个非0数中选择也有4 种方法，故方法总数为 种 例10 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）解：第一步: 将1和

23、2“捆绑”成一个大元素，3和4“捆绑”成一 个大元素，5和6“捆绑”成一个大元素;第二步: 排列这三个大元素;第三步: 在这三个大元素排好后产生的4个空挡中的任 何2个排列7和8，第四步: “释放”每个大元素（即大元素内的每个小元素 在“捆绑”成的大元素内部排列）;所以共有 个数 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。 排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”;“一定顺序”就是与位置有关;这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。 根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同

24、.组合 问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙.3两个问题有什么联系和区别？ 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题二 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题一排列组合有顺序无顺序组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.排列与组合有什么共同点与不同点？组合的特征：（1）每个组合中元素互不相

25、同；（2）“只取不排”无序性；（3）组合相同即元素相同； （4）排列与组合问题共同点是“从n个不同元素中任意取出m （mn）个元素”，不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者是“不管顺序并成一组”；若元素的位置对结果产生影响,则是排列,否则,是组合.例如ab与ba是不同的排列，但是相同的组合 组合数 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数如何计算？组合a b ca b da c db c d排列a b c b a c c a ba c b b c a c b aa b d b a d d a ba d b b d a d b

26、aa c d c a d d a ca d c c d a d c ab c d c b d d b cb d c c d b d c b第一步第二步=从a, b, c, d这四个字母中选三个的组合与排列的关系： 求从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有 种不同的取法;Cnm可看作以下2个步骤得到: 第2步,将取出的m个元素做全排列,共有种不同的 排法. Anmn,mN*,并且mn.组合数公式规定：Cn0=1例1计算：（1）（2）原式=例2求证：组合数的两个性质：性质1：性质2：例3 计算：（1）和（2）和（3）（4）（5）解:原式=(4)原式或,

27、 原式 (5)原式例4 解方程(1)(2)解 (1)原方程化为：且不合题意，舍去，(2)原方程化为： 例1 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:简单的组合问题 (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?(1)没有角色差异共有(2)分两步完成这件事第1步,从17名学员中选出11人上场第2步,从上场的11人中选1名守门员 例2 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?10个不同元素中

28、取2个元素的组合数. 10个不同元素中取2个元素的排列数. (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?例3 四面体的顶点和各棱的中点共10个点(1)从中任取三点确定一个平面,共能确定多少个平面？ 解决问题(1)可考虑间接法, 由间接解法，共能确定不同平面4+6+12+7=29个； 四面体的每一个面上的6个点只能确定同一个平面，六个中点中又有3对互相平行的连线，每一条棱上的三个点和棱外的点只能确定一个平面,即从3个点的组合扣除3点共线,四点共面和六点共面的情形.(2)以这10个点为顶点,共能确定多个少凸棱锥？问题(2)首先要对凸棱锥的类型做出判断,然后分类统计.所以有 个

29、三棱锥. 即不考虑限制后，减去4个面上4点共面虚构的、6条棱上三点共线虚构的和3对平行中位线4点共面虚构的.依四面体的性质，若从 10 个点中取顶点作棱锥,只能是:三棱锥和四棱锥每一组不共面的 4 点确定一个三棱锥，无三点共线的共面 4 点与该平面外一点确定一个四棱锥，又每一面上6点，仅确定6个不同凸四边形， 和不在该面上的另外4点之一为第5个顶点,可做成四棱锥 又每对平行的中位线段为四边形二边可确定一个底面四边形，另取其余6点之一为第5个顶点，可做四棱锥 C64-3C33C21-3C32C22+3=6 例4 (1)有4本不同的书，一个人去借，有多少种不同的借法？ (2) 有13本不同的书，其

30、中小说6本，散文4本，诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本诗歌，问有几种借法？(1)此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本（本）(2)解：分三个步骤完成，共有（种） 练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(1)有多少种不同的抽法?100个不同元素中取3个元素的组合数(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?从2件次品中抽出1件次品的抽法有从98件合格品中抽出2件的抽法有 练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?法1含1件次品或含2件次品法

31、2100件中抽3件减98件合格品中抽3件主要学习了组合、组合数的概念。利用组合和排列的关系得到了组合数公式。n个不同元素m个元素m个元素的全排列第一步组合第二步排列课堂小结：1 某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：含有附加条件的组合问题：例1一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，从口袋内取出3个球，共有多少种取法？从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？或按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只

32、有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；例2（1）（2）（3）（4），或（5）（6） 例3 在产品检验中,常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件进行检查,根据下列各种要求,各有多少种不同的抽法？(2)全是正品；(1)无任何限制条件；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多. 例1平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？2 某些特殊元素有特殊归类问题：解法一：（直接法）设五个点所在直

33、线为l，分为两类：(1)过l上的三个红点：可与l外的三个蓝点各连一条直线,有条，又与l上的两个蓝点只连一条直线，可连条(2)过l外的四个红点：可与五个蓝点各连一条直线，有条共可连（条） 例1平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？解法二：（间接法）不考虑五点共线，有其中共线的五个点可连条，条而这条只能是一条共可连（条） 说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题，即题中共线的五个点，只能作一条直线： 例2有划船运动员10人，其中人会划右舷，人会划左舷，其余人都会划，现要从中选出人，平均分配在船的两舷，有多

34、少种选法？解：按左舷分三类：（1）只会划左舷人都被选（2）只会划有左舷人被选：（3）只会划左舷人都不选：共有（种）例3 由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？3 组合中的有重复问题：解：选两个数相加有选三个数相加有选四个数相加有但 1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4（个）例4 以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？解法一：上三下一下三上一上二下二其中共面的有个侧面和6个对角面，共有解法二：从正方体的8个顶点中任选4个有种，其中共面的有6个面和6个对角面，共有（种）4 “不相邻”的组合问题： 例1现有十只灯，为节约用电，可以将其中的三只灯关掉，但不能关掉相邻的两只或

35、三只，也不能关掉两端的灯，关灯方法有多少种？解：10只关掉3只余7只，7只之间的6个空选3个，有为所求 例2某仪表显示屏上一排个小孔，每个小孔可显示红与黄两种颜色信号，若每次有三个小孔同时给出信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可显示多少种不同的信号？解：有孔不显示信号,其空有,选三空显示信号,有种，每孔都有红、黄两种颜色有种，可显示（种）5 “名额分配”问题： 例1有10个参加数学竞赛的名额,要分给7所学校,每校至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法？解：先将10个名额中的7个名额分给7个学校每校一个，则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法.第一类:选三个学校,每个学

36、校一个名额,分配方法数第二类:选两个学校,决定哪个学校分别给一个或两个名 额，分配方法种数为第三类:选一个学校,三个名额都给该校,分配方法种数为所以不同的名额分配方法种数为则“挡板”的一种插法恰好对应10个名额的一种分配方法,解法二：注意到10个名额之间是没有差别的，设想将10个名额排成一排，每两个“相邻”的名额间形成一个空隙，如下图示：”表示名额间形成的空隙，“”表示相同的名额，“ 设想在这几个空隙中插入六块“挡板”,则将这10个名额分割成七个部分， 将第一、二、三、七个部分所包含的名额数分给第一、二、三、七所学校，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配

37、方法种数是相等的，为 解：在五个1之间添加两个加号，添加的方法种数就等于方程解的个数故有 解法一：5个1之间用加号相连,可以添两个加号(表示y0) 每一个均加1，然后再均减1则可以将原来的问题理解为：求例2已知方程，求有多少组正整数解？有多少组非负整数解？也可以添一个加号(表示y=0)所以解法二：此问题则可以解释为：先将的正整数解个数，同（1），则实际上，解法一是更为基本的解决问题的办法 本题的解法二所用的方法一般称为“挡板法”，用于建立相同元素与确定的不同位置间的对应关系，而且每个位置至少应分配一个元素与解法一相比，挡板法比较简捷，但不如解法一易于理解 例3第17届世界杯足球赛于2002年夏

38、季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？小组循环赛：每组有6场，8个小组共有48场；八分之一淘汰赛：共有8场；四分之一淘汰赛：共有4场；半决赛：共有2场；决赛：确定冠亚军，第三、四名 共有2场.综上，共有场 例 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种1注意区别“恰好”与“至少” 例 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多

39、少种2特殊元素（或位置）优先安排 例 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”方法回顾 例 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？4混合问题，先“组”后“排” （1）今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法? （2）今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法? （3）今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2

40、件, 有多少种分法? 5分清排列、组合、等分的算法区别 例1 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?6、分类组合,隔板处理 例2. 要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？可按班选出的人数进行分类，或用插板法求解解法一：共分三类：第一类，一个班出4人，6个班各出1人，有 C71 种；第二类，有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人有 A72 种；第三类，有3个班各出2人，其余4个班各出1人，共有 种有 C73 种，C71 +A72 +C73=84 注意：本题易把10个名额看成10个不同的元素，从而得出错误的结果 解法二：将10

41、人看成10个元素，这样元素之间共有9个空（两端不计）； 例1 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?C96 从这9个空位里任选6个（即这6个位置放入隔板，将其分为七部分），有 种放法，如 | 表示什么意义？ 它表示表示第1个班1人，第2个班2人，第3个班1人，第4个班1人，第5个班3人，第6、7个班各1人排列与组合的综合问题 解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：解题思路：1 特殊(元素,位置)优先法:2 科学分类法：3 插空法：4 捆绑法：5 “分组”问题

42、：6 隔板处理(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代 表,但不担任数学科代表1 特殊(元素,位置)优先法: 对于特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法. 例1: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表(2)某女生一定要担任语文科代表(1)有女生但人数必须少于男生5400种=840种=360种前4次中应有1件正品、3件次品，有 种， 例2 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出， 从4件中确定最后一件次品有 种方法，前4次测试中的顺序有 种， 576。 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现