专升本1财大微积分wy

1、2.1 导数的概念2.2 导数的基本公式与运算法则2.3 高阶导数2.4 函数的微分第二章 导数与微分2.1 导数的概念一、引出导数概念的实例二、导数的定义三、利用定义计算导数四、导数的几何意义五、可导与连续的关系2.1 导数的概念一、引出导数概念的实例 设一物体作直线运动,其运动的路程 和时间 的关系为 ,现要求该物体在某一时刻 的瞬时速度 为此,让时间 发生一个微小的改变 ,则时间由 变化到了 ,该区间经过的时间是 ,虽物体在作变速运动,但由于 很小.因此在区间 上可近似的看作匀速运动,即速度看作是不变的(实际上有一些微小的变化,但变化很小很小).其平均速度为:1.变速直线运动的瞬时速度

2、显然, 越小, 与 越接近.为此令 ,对上式取极限得2.曲线上一点切线的斜率 设有一曲线 , 是其上一点,求过该点的切线斜率 .设自变量由 点变化到了 ,则过 演示作 轴的垂线, 于 相交于点 . 连接 得曲线的割线 , 设 与 轴正方向的夹角为 , 则易见就会饶切点 旋转至切线 的位置 显然当 时,点 会沿着曲线可见趋向于切点 ,此刻割线 上面两个例子的实际意义完全不同，但从抽象的数学关系来看，其实质是一样的，都是函数的改变量与自变量改变量之比，当自变量趋于零时的极限，数学上把这种极限叫做函数的导数即 二、导数的定义 1.函数在一点处的导数定义 定义2.1 设函数 在点 的某个邻域内有定义，

3、当自变量在点 处取得改变量 时，函数 取得相应的改变量 ,如果 时,极限存在，则称函数 在点 处可导，其极限值称为函数 在点 处的导数，记作即如果令 则 在 点的导数又可以表示为有了导数的概念后，前面两个问题便可叙述为: 如果上述极限不存在,则称该函数在 点不可导. 由导数定义可得求函数在点处导数的步骤:（1）求函数的改变量 ；（2）计算比值（3）求极限 （1）作变速直线运动的物体在时刻 的瞬时速度 , 就是路程函数 在 处的导数 ，即 （2）曲线 在点 处的切线的斜率 就是函数 在点 处的导数 ，即 例1 求函数 在 点的导数解 既然极限包括有左极限和右极限，而由定义知导数显然也是一种极限,

4、因此同样的道理， 导数也可分为左、右导数所以 2.函数在区间上的导数 定义 如果极限 存在， 则称此极限为函数 在 点处的左导数，记作 ；如果极限 存在，则称此极限为函数 在点 处的右导数，记作 函数 在 点处可导当且仅当函数 在 点处的左右导数存在且相等,即 定义2.2 若函数 在区间 内每一点都可导，则称函数 在区间 内可导 显然，函数 在点 处的导数 ,就是其导函数 在 点的函数值,即 定义2.3 若函数 在区间 内可导，则对于区间 内的每一个 值，都有惟一个导数值 与之对应，所以 是 的函数，称 为函数 的导函数，简称导数记作即 三、利用定义计算导数 下面根据导数定义来求部分基本初等函

5、数的导数1常函数的导数即2.幂函数的导数即 注意: 对于一般的幂函数 ,类似有 (后面再证) 3正弦函数与余弦函数的导数即同理可得 4对数函数的导数即特别地，当 时，例1 求下列函数的导数解四、导数的几何意义 函数 在点 处的导数 就是曲线 在点 处的切线斜率 ，即 . 这就是导数的几何意义 因此，曲线 在点 处的切线方程为法线方程为切线法线 例 求曲线在点(1，1)处的切线方程和法线方程解因此切线方程为 ，即 法线方程为 即五、可导与连续的关系 定理2.1 如果函数 在 点处可导，则它在 处必连续 证明 因为函数 在 点处可导，则存在所以有即函数 在 点处连续 注意: 利用导数的几何意义就可

6、以从几何图形上判断函数在某一点处的可导性问题. 注意:这个定理的逆命题不一定成立即连续是可导的必要条件，不是充分条件 如函数 连续，但不可导因为右导数左导数显然两者不相等, 所以 不存在(见图)在 点 习题2-11根据导数的定义，求下列函数的导数：2函数 在点 处是否连续？是否可导？导数的四则运算法则复合函数的导数隐函数的导数对数求导法基本求导公式2.1 导数的基本公式与运算法则 一、导数的四则运算法则 1代数和的导数 如果函数 、 在 都可导，则函数 在 点也必可导，且 注1: 该法则可以推广到有限多个函数代数和的情形 本节我们将介绍导数的基本公式及运算法则，借助于这些公式和法则，就能比较方

7、便地求出常见的初等函数的导数2.2 导数的基本公式与运算法则 注2: 该法则可以推广到有限多个函数乘积的情形 特别地，当 时，则有 如果函数 、 在 都可导，则函数 在 点也必可导，且2乘积的导数例1 设 ， 求 解例2 设 ，求 解3商的导数 如果函数 、 在 都可导，且 则函数 在 点也必可导，且例3 设 ,求 例4 设 ，求 解解即同样方法可以求出例4 设 ，求 解 例5 试求经过原点且与曲线 相切的直线方程 解 设所求直线方程为 ，直线与曲线的切点为 ，由导数的几何意义知， 所以 又切点是曲线和切线的公共点，从而解方程得 或 所求直线方程为或二、复合函数的导数 定理2.2 如果函数 在

8、 点处可导，而函数 在对应的点 处可导，那么复合函数 也在点 处可导，且有或 注1:这个公式可以推广到两个以上函数复合的情形 例 求函数 的导数解 设 ，则例7 求下列函数的导数解 显然是由 两个函数复合的,因此 显然是由 两个函数复合的,因此 显然是由 三个函数复合而成的,因此 注2:对于复合函数的求导，在运用公式熟练之后，计算时就不必写出中间变量了 例8 求 的导数解把该函数先看作以下两个函数复合而成的再把 看作以下两个函数复合的例9 求 的导数解例10 求 的导数 解三、隐函数的导数 有些隐函数可化成显函数，如由方程 解出 , 则隐函数化成了显函数，但有些隐函数不易化成显函数,例如隐函数

9、 .因此,寻找一种不用化为显函数就可以直接由方程求出其导数的方法就成了我们所关心的主要问题.均确定了 是 的隐函数 前面我们所讨论的函数 ，其因变量 直接可用含自变量 的表达式表示，称这样的函数为显函数但经常也会遇到由方程 所确定的两个变量 之间的函数关系，称这样的函数为隐函数如由方程 以及 下面介绍由方程 所确定的隐函数 的直接求导方法： 将方程 两边逐项对自变量 求导数,在求导过程中， 把 看成 的函数，可得到包含 及 和 的一个方程 ，从中解出 ，即得到隐函数的导数 例11 求由方程 所确定的隐函数 的导数 解 方程 的两边同时对 求导数解之得 例13 求由方程 确定的隐函数的导数 解

10、方程两边对求导，得解出 例12 求由方程 确定的隐函数的导数 解 方程两边对 求导，得解之得 方程两边先同时取自然对数，然后将取了对数的结果利用对数的性质进行充分化简,最后将化简后的结果看作隐函数,应用隐函数求导法求出其导数 此方法一般适用于几个因子通过乘、除、开方所构成的比较复杂的函数及幂指函数的情形的求导 四、取对数求导法例12 求函数 的导数 解 显然直接是不好求的, 我们将其两边取对数得化简得即有 注意:该题也可以用下列方法求得, 即将幂指函数分别看作幂函数和指数函数求出其导后相加机可.如该题 例13 求幂函数 是任意实数) 的导数 解 两边取自然对数并化简，得 将其看作隐函数两边同时

11、对 求导得于是 即例14 求函数 的导数解 两边取自然对数并化简，得两边对 求导，得上式两边对 求导，得于是 五、基本导数公式归纳以上所的结论得如下基本公式(7) (8)(3) (4)(1) (2)1.基本初等函数的导数( 为常数) (5) (6)(9) (10)(11) (12)(13) (14)(15) (16) 2导数的四则运算法则 习题2-22求下列函数的导数：(1)(2)(3)3求下列函数的导数：1. 用导数的定义求下列函数在给定点的导数在 点处在 点处(1) (2)(3) (4)4求下列复合函数的导数：(7) (8)(3) (4)(5) (6)(1) (2)(1) (2)(1) (

12、2)5求下列方程确定的隐函数的导数：求6求下列函数的导数：7求曲线 在点 处的切线方程和法线方程2.3高阶导数 如果导函数 仍是 的可导函数，就称其的导数 为函数 的二阶导数 ,记作或 相应地，把 的导数 叫做函数 的一阶导数 类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数， 三阶导数的导数叫做四阶导数，一般地函数 的 阶导数的导数叫做函数 的 阶导数，分别记作二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 解例2 求 的 阶导数 例1 求函数 的二阶及三阶导数解 因为所以例3 求函数 的 阶导数解 因为所以(1) (2)(3) (4)习题2-3 1求下列函数的高阶导数：求求设2.4函数的微分 函数的导数表示函数关于

13、自变量变化的快慢程度(变化率)但在许多情况下，需要考察或者估算函数改变量的大小，特别是当自变量发生微小变化时函数改变量的大小这就需要引进微分的概念 一、微分的概念 引例 已知正方形的面积 是边长 的函数 ，若其边长由 变化到 ，问正方形的面积 改变了多少?当 很微小时,正方形的一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的基本公式与运算法则四、微分的形式不变性五、微分在近似计算上的应用面积改变的近似值是多少? 当边长由 变化到 ，面积相应的改变量为 如图中蓝色部分区域即表示 可以把 分成两部分 第一部分 是 的线性函数(图中天蓝部分)， 第二部分 (图中纯蓝部分)，当 时，是比 较高阶的无穷小量，

14、因此当 很小时，我们用 近似地表示 ,即 上述结论对于一般的函数是否成立呢?下面说明对于可导函数都有此结论设函数 在 点处可导，则有根据函数极限与无穷小量的关系得于是 当 时，函数的改变量 表示成两部分之和，一部分关于 的线性函数 ，通常把它叫做 的线性主部；另一部分当 时，是比 较高阶的无穷小量，所以当 很小时，有 一般地有 特别当 时 ,称 为函数 在 点的微分,记作 或即 注1: 规定自变量的微分就等于其改变量,即 .于是有 即函数 定义2.5 设函数 在 点处可导，称 为函数 在 点处的微分，记作 或 ，即此时,我们也说函数 在 点处可微.在点 处的微分等于该函数在该点的导数与自变量微

15、分的乘积. 注2: 对 两边同时除以 后得到 ,它反映了函数的微分与其导数之间的关系,可见函数的导数即是函数的微分与自变量微分的商,因此常常把导数也称为微商.注3: 从定义易见可微与可导的关系是可微必可导,可导也必可微.例1 求下列函数的微分解 (1) 因为例2已知 求 及 解二、 微分的几何意义所以 (2) 方程 两边同时对 求导,并把 看作 的函数,得解之得故 设函数 的图象如下图所示在曲线上取定一点 ，过该点作曲线的切线 它与 轴的交角为 ，则该切线的斜率为 改变量 ，且 当自变量在 处取得改变量 时，就得到曲线上另一点 ，即相应曲线纵坐标 得到相应的改变量 同时点 处的切线 的纵坐标

16、也得到相应的演 示 三、微分的基本公式与运算法则 根据定义，函数微分就是函数导数与自变量微分之积，所以由导数的基本公式和运算法则得到相应的微分基本公式和运算法则1微分基本公式 （9） 微分的几何意义：在曲线 上点 处，当自变量 取得改变量 时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量即是函数 在 点处微分的几何意义.显然, 与 相差 ，当 很小时有2微分的运算法则设 在 点均可微,则有 (3) (4)(1) (2)四、微分形式的不变性 设函数 可导，当 是自变量时，其微分为 而当 是 的函数,而 是 的函数,即 时, 为复合函数 , 微分为 而函数 的微分代入上式得 由此可见，无论 是自变量还是其它变量

17、 的函数，其微分的形式均保持不变这一性质称为微分形式的不变性例3 求解 例4 求由方程所确定的隐函数 的微分解 对方程两边求微分所以 例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立 解一般有dxyxdyyxyydyydxxdyxdxdyy)2()23(22322+=-+=一般有五、微分在近似计算上的应用 由微分的定义知，当 很小时，有近似公式可以用该式直接计算函数增量的近似值 又因为所以近似公式又可写作 即该式可以用来计算函数在 点附近的近似值取 时上式又变为例6 求 的近似值 若分别令 则会得到以下近似计算公式(当 比较小时成立):解取 后代入上述公式(5)中得例7 求 的近似值解例

18、8 求 的近似值解 由于角度较大,所以不能使用公式可令代入公式 解 令 100， 0.05， (十亿元)例9设某国的国民经济消费模型为其中： 为总消费（单位：十亿元）； 为可支配收入（单位：十亿元）当 100.05时，问总消费是多少？ 课后作业 习题2-4 总复习题二习题24 1已知函数 ,当 ，求 ， 2求下列函数的微分：3求下列函数的近似值：时间路程欲求 时刻的瞬时速度可见这一小段的路程为因此,这一小段时间内小球运动的平均速度为已知路程和时间之间的函数关系物体作变速直线运动示意图从而得到小球在 点的瞬时速度为结论演示先让时间 发生微小的改变,即从 变化到已走过路程为已走过路程为先让时间 发生微小的改变,即从 变化到运动方向解因此切线方程为 ，即 法线方程为 即五、可导与连续的关系定理2.1