格林函数1课件

1、数学物理方程拉普拉斯方程的格林函数法主要内容预备知识格林公式拉普拉斯方程边值问题的提法格林函数通量的定义（平面）第四章 格林函数法分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而行波法则主要适用于求解各种无界问题，这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有限积分的形式，十分便于理论分析和研究。格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微分方

2、程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯方程的边值问题。4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 在第一章中，我们已经从无源静电场的电位分布和稳恒场的温度分布等两个方面的问题，同时导出了三维拉普拉斯方程作为描述稳定的或平衡的物理现象之拉普拉斯方程，谈它的初始条件是没有意义的！至于边界条件，如前所述有三种类型，但应用较为广泛的是以下两种边值情况。（1） 第一边值问题 在空间 中某一区域 的边界 上，给定了连续函数 ，要求这样一个函数 ，它在闭区域 （或记作 ）上连

3、续，在 内有连续偏导数，且满足拉普拉斯方程。在 上与已知函数 相重合，即第一边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet)）问题，或简称为狄氏问题。 2.3中所讨论过的问题，就是圆域内的狄氏问题。调和函数谈到拉普拉斯的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并且满足拉氏方程的连续函数，称为调和函数。所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域 内寻找一个调和函数，使它在边界 上的值为已知！（2） 第二边值问题在某光滑的闭曲面的边界 上给出连续函数 ，要求寻找这样一个函数 ，它在 内部的区域 中是调和函数，在 上连续，在 上任意一点处的法向导数 存在，并且等于已知函数 在该点的值：第二边值问题，也称为牛曼（

4、Neumann）问题 在应用中，我们还会遇到迪氏问题和牛曼问题的另一种提法。例如，当确定物体的外部为稳恒温度场时，这种情况就被归结为：通过在区域 的外部，求调和函数 ，使之满足边界条件 ，这里的 是 的边界， 表示物体表面的温度分布。像这样的定解问题，被称为拉普拉斯的外问题。 由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的，所以定解问题的解是否应该加以一定的限制呢？正好，电磁学中通常总是假定：无穷远处的电位为零！因此，在外问题中常常需要附加以下条件（4） 牛曼外问题在光滑的闭曲面的边界 上给出连续函数 ，要求寻找这样一个函数 ，它在 外部的区域 内是调和函数，在 上连续，在 无穷远处满足条件（4

5、.3），而且它在上任意一点处的法向导数 存在，并满足 这里 是边界曲面 的内法向矢量。（1） 第一边值问题（2） 第二边值问题（3） 迪氏外问题（4） 牛曼外问题 下面，我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题。4.2 格林(Green)公式 为了建立拉普拉斯方程解的积分表达式，需要首先推导出格林公式，而格林公式正是曲面积分中高斯公式的直接推论。 设 是以光滑的曲面 为边界的有界区域 ， , , 在 连续，在 内具有一阶连续偏导数的任意函数，则有如下的高斯公式成立其中， 是 中的体积元； 是边界 上的外法向矢量； 是 上的面积元。 下面来推导（4.6）式的两个推论。设函数 和 在 上有一

6、阶连续偏导数，在 内有连续的所有偏导数，在（4.6）中，令则有因为上式左端所以有上式移项后，第一 Green 公式拉普拉斯方程的基本解基本解对拉普拉斯方程, 其球坐标形式为：求方程的球对称解(即与和无关的解) ,则有： 其通解为： 为任意常数)。 若取 ,则得到特解 ,称此解为三维Laplace 方程的基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.调和函数的一些基本性质（1）调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式，就是利用调和函数与其在区域边界 上的法向导数，沿 的积分，来取代调和函数在 内部任意一点的函数值。设 是 内某一国定点，现在我们就来求调和函数在这一点的值。为此，构造一个

7、函数（三维拉普拉斯方程的基本解）函数 ，除了 点之外，处处满足拉普拉斯方程。它在研究三维拉氏方程中扮演着重要的角色。考虑到 在 内有奇异点 ，我们作一个以 为中心，以充分小的正数 为半径的球面 ，在 内挖掉 所包围的球域 ，得到区域 。这样，在 直至边界 上， 就是解析（任意次连续可微）的了。因为在 内是解析区， （依据解析函数的性质）。而在球面 上内球面法方向与半径反向（复变函数对区域的定义）因此对第一项有（4.11）变成对第二项有将上面两项结果代入 (4.11) 式，可得继续观察等式这就是调和函数的基本积分表达式，它在区域 内任何一点 处的值，可以用其在边界 上的函数 和法向导数 的积分表

8、示出来，极具广泛的应用价值，是研究调和函数性质的基础。由此，Neumann 内问题有解的必要条件为函数 满足 事实上，这个条件也是Neumann 问题有解的充分条件。证明见A.H.吉洪诺夫；A.A.萨马尔斯基著数学物理方程中册（黄克欧等译，人民教育出版社出版，1957）。（3）调和函数的平均值定理定理：调和函数 在其定义域 内任意一点 的值，等于以 为球心，以 为半径，且完全落在 内部的这个球面 上积分的平均值。 证明 由调和函数基本积分表达式只需将上式应用球面 ，即 ，并注意以及牛曼内问题有解的必要条件所以（4）拉普拉斯方程解的唯一性问题现在，利用格林公式来讨论拉普拉斯方程的唯一性问题。将证

9、明如下结论：设 ， 是定解问题的两个解，则它们的差 也必定是原问题，且满足边界条件的解。对于迪氏问题,v满足对于牛曼问题， 满足以下需要证明：事实上，在（4.8）中，取 ，则得由条件（4.16）或（4.17）得故在 内必有即4.2 格林函数由于调和函数有积分表示: 又因为Dirichlet边值问题 的解唯一,故希望将此问题的解用积分表示出来。但由于在积分表达示中，u在边界上的值虽然已知,而 在边界上的值却不知道.那么,能否作为边界条件加上 的值呢？ 因为,此时的解已经是唯一的了.那么只有想办法去掉 为此，引入格林函数的概念。 显然这是行不通的，(4.12)格林函数的物理背景（静电场的电场、电位

10、）原点处点电荷电量 ，点电荷密度处点电位即 处点电荷电量点电荷密度处点电位格林函数的定义设在 内有在上有一阶连续偏导数，则由格林第二公式有 (4.18)将（4.12）和 (4.18)两式加起来： (4.19)选择调和函数v满足 ,于是有： (4.20)记 (4.21)则有 (4.22)称 为Laplace方程的格林函数。若上有一阶连续偏导数，则当Dirichlet问题且在 上具有一阶连续偏导数的解存在时，解可以表示为在(4.23)存在 对Poisson方程的Dirichlet问题 上存在具有一阶连续偏导数的解，则解可以如果在表示为由此可见,求解Dirichlet问题,关键是求Green函数(4

11、.21),其中v满足一个特殊的Dirichlet问题： (4.24)称由函数v确定的格林函数为第一边值问题的格林函数。对于一般的区域而言，求解（4.24）决非易事。但是，（4.23）确乎有重要意义！因为：（1）格林函数只与区域有关，而与原定解问题中所给出的非齐次项、边界条件都无关，只要求得了某个区域中的格林函数，则由（4.23）或（4.23-1），便可解决所有这个区域的迪氏边值问题；（2）对于某些特定的区域，如球、半空间等，格林函数可以用初等方法求得。格林函数在静电学中有广泛的应用格林函数的静电源像法或称为镜像法，其发源于静电学原理。设闭曲面 内一点 处，有一个单位正电荷。则它在 面的内侧感应有一定分布的密度的负电荷，而在