高中数学必修二 19-20 第6章 6.2.4向量的数量积

1、 6.2.4向量的数量积学 习 目 标核 心 素 养1.平面向量的数量积(重点)2.投影向量的概念(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点)1.通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养.2.通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养.1两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq o(OA,sup14()a，eq o(OB,sup14()b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角(2)特例：当0时，向量a，b同向当时，向量a，b反向当eq f(,2)时，向量a，b垂直，记作ab.2平面向量

2、数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？提示数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量3投影向量设a，b是两个非零向量，eq o(AB,sup14()a，eq o(CD,sup14()b，过eq o(AB,sup14()的起点A和终点B，分别作eq o(CD,sup14()所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq o(A1B1,sup14()，这种变换为向量a向向量b投影，eq o(A

3、1B1,sup14()叫做向量a在向量b上的投影向量4向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)aeea|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|eq r(aa).(4)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.思考：a(bc)(ab)c成立吗？提示(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线因此，(ab)ca(bc)在一般情

4、况下不成立1已知单位向量a，b，夹角为60，则ab()A.eq f(1,2)B.eq f(r(,3),2)C1Deq f(1,2)Aab11cos 60eq f(1,2).2已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A.eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(,3) D.eq f(,2)C由条件可知，cos eq f(ab,|a|b|)eq f(2,14)eq f(1,2)，又0，eq f(,3).3已知向量a，b满足|a|2，|b|eq r(3)，且a与b的夹角为60，那么ab等于_eq r(3)ab|a|b|cos 602eq r(3)eq f(1,

5、2)eq r(3).4已知|b|3，a在b方向上的投影是eq f(2,3)，则ab为_2设a与b的夹角为，则a在b方向上的投影|a|cos eq f(2,3)，所以ab|b|a|cos 3eq f(2,3)2.向量数量积的计算及投影【例1】(1)已知单位向量e1，e2的夹角为eq f(,3)，a2e1e2，则a在e1上的投影是_(2)已知向量a与b满足|a|10，|b|3，且向量a与b的夹角为120.求：(ab)(ab)；(2ab)(ab)思路探究根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答(1)eq f(3,2)设a与e1的夹角为，则a在e1上的投影为|a|cos eq f(ae1,|e1

6、|)ae1(2e1e2)e12eeq oal(2,1)e1e2211coseq f(,3)eq f(3,2).(2)解(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2100991.因为|a|10，|b|3，且向量a与b的夹角为120，所以ab103cos 12015，所以(2ab)(ab)2a2abb2200159206.求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角，0，；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去求投影的两种方法：(1)b在a方向上的投影为|b|cos (为a，b的夹角)，a在b方向上

7、的投影为|a|cos .(2)b在a方向上的投影为eq f(ab,|a|)，a在b方向上的投影为eq f(ab,|b|).1(1)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60，求：ab；(2ab)(a3b)(2)设正三角形ABC的边长为eq r(,2)，eq o(AB,sup14()c，eq o(BC,sup14()a，eq o(CA,sup14()b，求abbcca.解(1)ab|a|b|cos 23cos 603.(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25ab3|b|2222533324.(2)|a|b|c|eq r(,2)，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120，abbccaeq

8、 r(,2)eq r(,2)cos 12033.与向量模有关的问题【例2】(1)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.(2)已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|eq r(10)，求|b|.思路探究灵活应用a2|a|2求向量的模(1)2eq r(3)|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)222222eq f(1,2)2244412，所以|a2b|eq r(12)2eq r(3).(2)解因为|2ab|eq r(10)，所以(2ab)210，所以4a24abb210.又因为向量a与b的夹角为45且|a|1，所以41241|b|e

9、q f(r(2),2)|b|210，整理得|b|22eq r(2)|b|60，解得|b|eq r(2)或|b|3eq r(2)(舍去)求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|eq r(a2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等2若向量a，b的夹角为120，|a|1，|a2b|eq r(7)，则|b|()A.eq f(1,2)B.eq f(r(7),2)C1D2C设向量a，b的夹角为，因为

10、|a2b|2|a|24|b|24|a|b|cos ，又120，|a|1，|a2b|7，所以714|b|22|b|，解得|b|eq f(3,2)(舍去)或|b|1.故选C.与向量垂直、夹角有关的问题探究问题1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？提示abab0.2|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？提示|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos .两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|.当且仅当|cos |1，即cos 1，0或时，取“”，所以|ab|a|b|，cos eq f(ab,|a|b|).【例3】

11、(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_(2)已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角思路探究(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角(1)(0,1)(1，)e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)keeq oal(2,1)keeq oal(2,2)(k21)e1e22k0，k0.当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上

12、，k的取值范围为k0且k1.(2)解由已知条件得eq blcrc (avs4alco1(a3b7a5b0，,a4b7a2b0，)即eq blcrc (avs4alco1(7a216ab15b20，,7a230ab8b20， )得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos eq f(ab,|a|b|)eq f(f(1,2)b2,|b|2)eq f(1,2).0，eq f(,3).1将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围解e1ke2与ke1e2的夹角为钝角，(e1ke2)(ke1e2)keeq oal(2,1)keeq oal(2,2)(k2

13、1)e1e22k0，k0.当k1时，e1ke2与ke1e2方向相反，它们的夹角为，不符合题意，舍去综上，k的取值范围是k0且k1.2将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq f(,3)”，求k的值解由已知得|e1ke2|eq r(eoal(2,1)2ke1e2k2eoal(2,2)eq r(1k2)，|ke1e2|eq r(k2eoal(2,1)2ke1e2eoal(2,2)eq r(k21)，(e1ke2)(ke1e2)keeq oal(2,1)keeq oal(2,2)(k21)e1e22k，则coseq f(,3)eq f(e1ke2ke1e2,|e1ke2|ke1e2|)eq f(2k,

14、1k2)，即eq f(2k,1k2)eq f(1,2)，整理得k24k10，解得keq f(4r(12),2)2eq r(3).1求向量夹角的方法(1)求出ab，|a|，|b|，代入公式cos eq f(ab,|a|b|)求解(2)用同一个量表示ab，|a|，|b|，代入公式求解(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角2要注意夹角的范围0，当cos 0时，eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)；当cos 0时，eq blc(rc(avs4alco1(f(,2)，)，当cos 0时，eq f(,2).1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,

15、0eq f(,2)时)，也可以为负(当a0，b0，eq f(,2)时)，还可以为0(当a0或b0或eq f(,2)时)2两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|eq r(,a2).3要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0.实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab. (2)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos |，而|cos

16、|1.(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.1判断正误(1)若ab0，则a0或b0.()(2)若a0，则0或a0.()(3)若a2b2，则ab或ab.()(4)若abac，则bc.()答案(1)(2)(3)(4)2(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4B3C2D0B因为a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213，所以选B.3已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b的方向上的投影为_eq f(12,5)设a与