高中数学必修二 第八章 8.3 8.3.1 课后课时精练

1、A级：“四基”巩固训练一、选择题1设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为eq r(5)，那么它的体积为()A6eq r(3) B.eq r(3) C2eq r(3) D2答案B解析由正六棱锥的底面边长为1和侧棱长为eq r(5)，可知高h2，又因为底面积Seq f(3r(3),2)，所以体积Veq f(1,3)Sheq f(1,3)eq f(3r(3),2)2eq r(3).2将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A6a2 B12a2 C18a2 D24a2答案B解析棱长为a的正方体的表面积为S16a2，由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S227e

2、q blcrc(avs4alco1(6blc(rc)(avs4alco1(f(a,3)2)18a2，因此表面积增加了12a2，故选B.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A11 B1eq r(2)C1eq r(3) D12答案C解析如图，三棱锥D1AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线设正方体的棱长为a，则面对角线长为eq r(2)a，S锥 4eq f(1,2)(eq r(2)a)2eq f(r(3),2)2eq r(3)a2，S正方体6a2，故S锥S正方体1eq r(3).4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A

3、.eq f(560,3) B.eq f(580,3)C200 D240答案C解析由三视图可作出如图所示几何体，该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为1，下底长为9，高为4，故底面积Seq f(194,2)20.又棱柱的高为10，所以体积VSh2010200.5.如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO3，则此正三棱锥的表面积为()A9eq r(3) B18eq r(3)C27eq r(3) D36答案C解析如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点O作OEAB，与AB交于点E，连接SE，则SEAB，SEh.S侧2S底，eq f(1,2)3aheq f(r(

4、3),4)a22.aeq r(3)h.SOOE，SO2OE2SE2.32eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),6)r(3)h)2h2.h2eq r(3)，aeq r(3)h6.S底eq f(r(3),4)a2eq f(r(3),4)629eq r(3)，S侧2S底18eq r(3).S表S侧S底18eq r(3)9eq r(3)27eq r(3).二、填空题6用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是_答案8解析如图(1)为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图

5、(2)所示，由图知正方形的边长为2eq r(2)，其面积为8.7如图所示，在三棱柱ABCABC中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面ECBF将三棱柱分成体积为V1(棱台AEFACB的体积)，V2(几何体BFECCB的体积)的两部分，那么V1V2_.答案75解析设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则VV1V2Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以SAEFeq f(1,4)S，所以V1eq f(1,3)heq blc(rc)(avs4alco1(Sf(1,4)Sr(Sf(S,4)eq f(7,12)Sh，V2VV1eq f(5,12)Sh.所以V1V275.8已知正三棱锥的侧面积是2

6、7 cm2，底面边长是6 cm，则它的高是_答案eq r(6) cm解析如图所示，正三棱锥PABC的底面边长为6 cm，过点P作PO平面ABC，O为垂足，取AB的中点D，连接PD，OD.由题意得3eq f(1,2)ABPD27，所以PD3 cm.又ODeq f(r(3),6)6eq r(3) cm，所以它的高POeq r(PD2OD2)eq r(93)eq r(6) cm.三、解答题9甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面积)(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；(2)试

7、比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论解(1)将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥(2)因为正四棱柱的底面边长为2a，高为a，所以其体积V柱(2a)2a4a3.又因为正四棱锥的底面边长为2a，高为heq r(9a2a2)2eq r(2)a，所以其体积V锥eq f(1,3)(2a)22eq r(2)aeq f(8r(2),3)a3.因为42

8、eq blc(rc)(avs4alco1(f(8r(2),3)216eq f(128,9)eq f(16,9)0，即4eq f(8r(2),3)，所以4a3eq f(8r(2),3)a3，所以V柱V锥，故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大B级：“四能”提升训练1已知长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则长方体的体对角线的长是_答案2eq r(3)解析设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则有eq blcrc (avs4alco1(2xyxzyz24，,4xyz24)eq blcrc (avs4alco1(xyxzyz12，,xyz6，)则长方体的体对角线的长为eq r(x2y2z2

9、)eq r(xyz22xyxzyz)eq r(3624)2eq r(3).2已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积解如图所示，在三棱台ABCABC中，O，O分别为上、下底面的中心，D，D分别是BC，BC的中点，连接OO，AD，AD，DD，则DD是等腰梯形BCCB的高，记为h0，所以S侧3eq f(1,2)(2030)h075h0.上、下底面面积之和为S上S下eq f(r(3),4)(202302)325eq r(3)(cm2)由S侧S上S下，得75h0325eq r(3)，所以h0eq f(13r(3),3)(cm)又ODeq f(1,3)eq f(r(3),2)20eq f(10r(3),3)(cm)，ODeq f(1,3)eq f(r(3),2)305eq r(3)(cm)，记棱台的高为h，则hOOeq r(hoal(2,0)ODOD2) eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(13r(3),3)2blc(