幂的运算知识要点归纳及答案解析

1、(ab)n = an bn要点诠释（1）（2）是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如:(1 )102 )x 210 =(1V。一x 22 )=1.幂的运算知识要点归纳及答案解析【要点概论】要点一、同底数幂的乘法特点am - an = am+n （其中m, n都是正整数）.即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、 多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点， 即 am an ap = am+n+p （ m, n, p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的

2、底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 am+n = am an （ m, n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则（am）n = amn （其中m, n都是正整数）.即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：（am）n）p = amnp （a丰0， m, n, p均为正整数）（2）逆用公式：amn = am ） = an），根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则（其中n是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.公式的推广：（abc）n = an bn cn （n为正整数）.逆用公式：anbn

3、=（ab ）逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其重点四、注意事项底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.同底数幂的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加.指数为1，算法时不要 遗漏.幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁.带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题解析】(1 ) 42 x 43 x 44 ； (2) 2a3 - a4 + a5 - a2 - 2a6 -a ；(3) (x + y)n -(x + y)n+1 - (x + y)m

4、-1 + (x + y)2n+1 - (x + y)m-1.【标准答案与解析】解：(1)原式=42+3+4 = 49.原式=2a3+4 + a5+2 2a6+1 = 2a7 + a7 2a7 = a7 .原式=(x + y)n+n+1+m-1 + (x + y)2n+1+m-1 = (x + y)2n+m + (x + y)2n+m = 2(x + y)2n+m .【总结升华(2) (3)小题都是混合运算，算法时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的 运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则.在第(2)小题中a的 指数是1.在第(3)小题中把x + y看成一个整体.举一反三：

5、【变式】算法：35 - (-3)3 - (-3)2 ；xp -(-x)2p -(-x)2p+1 ( p 为正整数)；32x (-2)2n (-2) (n 为正整数).【标准答案】解：(1)原式35 - (3)3 - 32 = 35 - 33 - 32 = 35+3+2 = 310 .(2)原式xp - X2P - (x2P+1) xp+2P+2p+1 x5p+1 .【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：2x+2 = 2x -22【标准答案与解析】解：由 2x+2 20 得 2x - 22 20 .2x 5 .【总结升华(1)本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力.(2)同底数幂的 乘法法则

6、的逆运用：am+n = a皿-an .(am)2 ； (2) (m)34 ； (3) (a3-m)2.【思路点拨】此题是幂的乘方运算，(1)题中的底数是a , (2)题中的底数是m , (3)题 中的底数a的指数是3-m，乘方以后的指数应是2(3一m) 6一2m .【标准答案与解析】解：(1) (am)2 a2m .(m)34 (m)12 m12.( a 3m )2 a 2(3 m) a 62 m .【总结升华】运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方 与同底数幂的乘法混淆幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式 或多项式.解：X 2 m = 5

7、,. 5 X 6 m 一 5 = 5( X 2 m)3 一 5 = 5 X 53 - 5 = 20 .【总结升华】(1)逆用幂的乘方法则：amn = (am ) n = 0n)m .(2)本题培养了学生的整体 思想和逆向思维能力.举一反三:【变式1】已知Xa = 2 , Xb = 3 .求x3a+2b的值.【标准答案】解：X3a+2b = X3a g X2b = (xa)3 g (Xb)2 = 23 X 32 = 8 X 9 = 72 .【变式2】已知8m = 4 , 8n = 5，求83m+2n的值.【标准答案】解：因为 83m = (8m)3 = 43 = 64 , 82n = (8n)2

8、 = 5 = 25 .所以 83m+2n = 83m X 82n = 64 X 25 = 1600 .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题算法是否正确，指出错误并说明原因：(1) (ab)2 = ab2 ；(2) (4ab)3 = 64a3b3 ；(3) (-3x3)2 = -9x6.【标准答案与解析】解：(1)错，这是积的乘方，应为：(ab)2 = a2b2.对.(3)错，系数应为9,应为：(-3X3)2 = 9X6.【总结升华(1)应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方.注意系数及系数符号，对系数一1不可忽略.【典型例题】 类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：(b

9、 + 2)3 - (b + 2)5 . (b + 2)；3-2y)2 .(2y-却.【标准答案与解析】解：(1) (b + 2)3 . (b + 2)5. (b + 2) = (b + 2)3+5+i = (b + 2)9.(x-2y)2 . (2y-x)3 = (x-2y)2 .-(x-2y)3 = -(x-2y)5.【总结升华】(1)同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式.（2）在幂的运算中，经常用到以下变形:-an（n为奇数）,(a 一 b) n =(b - a) n (n为偶数)类型二、幂的乘方法则2、算法:(1) -(a b)23 ；(y3)2 + (y2)3 2y g y

10、5 ；(3) (X2m2)4 . (Xm+1)2 ；(4) (X3)2 . (X3)4 .【标准答案与解析】解：(1) (a b)23 = -(a b)2、3 = -(a b)6.(y3)2 + (y2)3 2y . y5 = y6 + y6 - 2y6 = 2y6 - 2y6 = 0 .(X2m-2)4 . (Xm+1 )2 = X4(2 m-2) X2(m+1) = X8m-8 X2m+2 = X10m-6(X3)2 . (X3)4 = X6 . X12 = X18 .【总结升华（1）运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的 乘方与同底数幂的乘法混淆.（2）幂的乘方

11、的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可【思路点拨】由于已知8m, 8n的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把83m+2n变成83m x 82n = (8m )3 x (8n)2，再代入算法.【标准答案与解析】解：因为 83m = (8m )3 = 43 = 64 , 82n = (8n )2 = 52 = 25 .所以 83m+2n = 83m X 82n = 64 X 25 = 1600 .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8m ,8n当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁.举一反三:【变式】已知 a 3m

12、= 2, b 2 m = 3，则(a 2 m ) +(bm ) -(a 2b )m bm【标准答案】一5;提示：原式=Q +(b 2 m ) -(a 3m ) (b 2 m )户=2,般= 3.原式=22 + 33 -22 x32 =5.(1) -(2xy2)4(2) -a2 (-a4b3)33【思路点拨】利用积的乘方的运算特点进行算法.【标准答案与解析】解：(1) -(2xy2)4 = (-1) - 24 - x4 - (y2)4 =一16x4糜.(2)一a2 - (一a4仞)33 = -(a2)3-(一4129)3 = a6(a36) -b27= a42b27.【总结升华】（1）应用积的乘

13、方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘 方.（2）注意系数及系数符号，对系数一1不可忽略.举一反三：【变式】下列等式正确的个数是（）.(2 x 2 y 3) = 6 x 6 y 9(a 2 m ) = a 6 m(3a 6) = 3a9(5 X105 )x(7 X107 )= 35 X1035(0.5)。X 2101 = (0.5 x 2 )。x 2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【标准答案】A；提示：只有正确；(2x2y3) = 8x6y9 ； ( a2m ) = a6m ； Ga6) = 27a18 ；X105 )x(7 x107 )= 35 X1012 = 3.5

14、X1013同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am + an = am-n （a手0，m、n都是正整数， 并且m n ）要点诠释（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一特点.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于0的数的。次幂都等于1.即a0 = 1 （a手0）要点诠释：底数a不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积. 因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂

15、1 任何不等于零的数的一n (n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即a- = an(a手0, n是正整数).引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的 幂的运算特点仍然成立.aman = am+n (m、n 为整数，a 0)；(ab)m = ambm (m 为整数，a 0, b 0 )(am ) = amn (m、n 为整数，a。0).要点诠释：a-n (a。0)是an的倒数，a可以是不等于。的数，也可以是不等于。的代数式.例如（2xy）-1 =- （xy。0 ）2 xy，（a + b X =（a + b。0 ）.（a + b）5要点四、科学记数法的一般

16、形式把一个绝对值大于10的数表示成aX10n的形式，其中n是正整数，1 1 a 1 10利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即ax 10-n的形式，其中n是 正整数，1 1 a 1（c 的值是（A. -c 8an an+2 的值是（）.A. an+3下列算法正确的是（A. X2 + x2 = x4C. a4 a4 = a16).B. (-c)5B. an(n+2).C. c15D. csC. a2n+2D. a8B. x3 x x4 = x7D. a a2 = a3).4.下列各题中，算法结果写成10的幂的形式，其中正确的是（A. 100X 102 = 103C. 100X 103 =

17、 105下列算法正确的是().A. (xy) = xy3B. 1000 X 1010 = 1030D. 100X1000=104B. .5xy2) = -5x2y4C.-9 X 4D.-8 X3 y 6).B. m =3, n =12D. m =6, n =56.若 2ambnf = 8ab 成立，则(A. m =6, n =12C. m =3, n =5二.填空题若 2m = 6,2n = 5，则 2 m+n.若(a3) - a = a19，则 x =.已知a3n = 5，那么 a6n =. 若 a3 - am = a8，则 m =；若 33x+i = 81,则 x =(-2 3 =;(-n

18、) 3 =;32 )=12.若 n 是正整数，且a2n = 10，则(a3n)2 一8(-a2)2n =三.解答题判断下列算法的正误.(1) x3 + X3 = x6()(3) (-2ab2)2 = -2a2b4()(1) x- (一x3)8 - (一x4)3 ；-10 x (-0.3x 103)x (0.4x 105)；(5)(-5a6) +(-3a3) - a3 ；(1)若 xn - x3n+3 = x35，求 n 的值.(2)若(an -bm -b) = a9b15，求m、(2) (-y3)2 =-y5()(4)(xy2)2 = xy4()(2) (-3a2b3)3 + (-a3b2)2

19、 ；(4) (b - 2a) (2a - b)；n的值.【标准答案与解析】选择练习题【标准答案】D；【解析】 (-c ) (-c ) =(-C )+5 = (-c = C8 .【标准答案】C；【解析】 an an+2 = an+n+2 = a2n+2 .【标准答案】D；【解析】X2+ x2=2x2；X3 x x4=X8； a4 a4 = as.【标准答案】C；【解析】100X 102 = 104 ； 1000X 1010 = 1013 ； 100X1000=105.【标准答案】D；【解析】(xy) = X3y3 ；(-5xy2) = 25x2 y4 ； (-3x2)=【标准答案】C；【解析】Gambn) = 8a3mb3n = 8a9b15,3m = 9,3n = 15，解得 m =3, n =5.填空题【标准答案】30；【解析】2m+n = 2m g2n = 6 X 5 = 30 .【标准答案】6；【解析】 a 3 x+1 =a19,3x +1 = 19, x = 6.【标准答案】25