函数的零点-嵌套型

1、函数的零点嵌套型g(x)已知函数y=f(x),求函数y=f(g(x)-a的零点的个数、画内函数y=g(x)的图像。标出极值和区间端点的函数值v,v,v,。123、画外函数y=f(x)的图像。标出极值点和区间端点，以及(v，g(v)(v，g(v)，(v，g(v)223311因为y=g(x)的函数值相当于y=f(x)自变量的取值。三、分类讨论满足f(u)=a且g(x)=u的x的个数；一般是根据a与y=f(x)极值、区间端点的函数值以及g(vi)、gW)、g(V3)、的大小分类。已知函数f(x)=0,则函数y=fV2+2x丿-a的零点的个数可能x3+3,xW0,为。解：t=g(x)=x2+2x和y=

2、f(x)的图像如下图。(1)当a2时，f(t)=a有1个实根，且-1。g(x)=t1无实根；此时y=f(x2+2x)-a无零点。(2)当a=2时，f(t)=a有2个实根t,t，不妨设tt，则t=1,t=1。232323g(x)=t=-1有1个实根；g(x)=t=1有2个实根；此时,y=f(x2+2x)-a有3个23零点。当2T,tT。456456g(x)=t(i二4,5,6)均有两个实根，此时，y二f(x2+2x)-a有6个零点。i当a3时，f(t)=a有2个实根t,t，且t1,t-1。g(x)=t(i=7,7878i8)均有两个实根，此时，y=f(x2+2x)a有4个零点。综上，函数y=f(

3、X2+2x)a(a2)的零点的个数可能为0，3，4，6。已知函数f(x)=a，4x,x26x8xW，0g(x)=X33x2+1则方程f()L=a(aeR+)解的个数不可能为(A)A.3B.4C.5D.6解：y=g(x)和y=f(x)的图像如下图。g(f(x)-a=a,f(g(x)=a11O25(1,7)y=f(x)(1)当a8时,f(x)=g(x)111f(g(x)a=0有1个实根，当-8Wa1时，f(x)=a有2个实根x2，x3，不妨设x2x3，则x23,g(x)=x有1个实根，g(x)=x有3个实根,23f(g(x)a=0有4个实根，(3)当a=1时，f(x)=a有2个实根x=3,x=,4

4、521g(x)=3有2个实根，g(x)f(g(x)a=0有5个实根。x均在(3，1)内。7(4)当1a时，f(x)=a有2个实根x,x，且x4676g(x)=x(i=6，7)均有3个实根，if(g(x)a=0有6个实根，当a=4时，f(x)=a有2个实根x8，x9，不妨设x8x9,则04时，f(x)=a有2个实根x10 x，不妨设xx1110111则0 x101。11g(x)=x有3个实根，g(x)=x有1个实根1011f(g(x)a=0有4个实根，/fx+1，xW0,已知函数f(x)=1nlogx，x0,，则函数y=f(f(x)1解：函数y=f(x)的图像如图所示。设h(x)=f(f(x)1

5、的零点为x，f(x)=t，则f(t)=1。00f(t)=1有两个实根得t=0，t1.12f(x)=0有两个实根；f(x)=t有一个实根。002函数y=f(f(x)1有3个零点。法：已知函数kx+1,f(x)=性x，xw0,x0,下列关于函数y=f(f(x)+1的零点个数的说当k0时，有3个零点；当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点.其中正确的是(D)A.B.C.D.已知函数f(x)=X3一3x当ce-2,2时，求函数h(x)=f(f(x)-c的零点的个数。.解：函数f(x)=x33x的图像如图所示。设h(x)=f(f(x)-c的零点为x0，f(x0)=-f(t)=c。(1)当c=一2时，

6、由f(t)=2。得t=2，t=112f(x)=2，有2个根；f(x)=1，有3个根；此时共有5个根00.h(x)有5个零点。.(2)类似可得，当c=2时，h(x)有5个零点。.(3)当ce(2,2)时，f(t)=c有3个根，t，t，t，且均在(2,2)上。345f(x)=t(i=3，4，5)，有3个根，此时共有9个根。0i.h(x)有9个零点。已知函数f(x)=x2+2ax+a2-a+1若方程f(f(x)=0无实根，则a的取值范围是解：f(x)=(x+a)2-a+1三1-a，设t=f(x),则t三1-a。f(f(x)=0无实根，等价于f(t)=0(t三1-a)无实根。aW1a,.A=4(a1)

7、0解得a1,或a2。a的取值范围是(8,2)。注：复合函数无零点，等价于外函数在内函数值域内无零点。已知函数f(x)=x2+2ax+a2一a+1若函数y=f(f(x)恰有一个零点，则a的值为A.2B.2C.1D.1-则t=f(x)=a+1omin解：设y=f(f(x)的零点为x，f(x)=t00f(f(x)=f(a+1)=2-a=0，0已知函数f(x)=x2+2ax+a2a+1，若函数y=f(f(x)有两个零点，则a的取值范围是.解：f(x)=(x+a匕a+1。设y=f(f(x)的两个零点为x，x，f(x)=t，f(x)=t。则121122f(t)=0，f(t)=0，即x=t，x=t是f(x)=0的两个根。不妨设t0，即a2。a的取值范围是(2,+8)。另解：f(x)=(x+a)2a+1y=f(f(x)=(f(x)+a)2一a+1Qx+a)2一a+1+a)a+1/x+a1+J一a+1,y=2Qx+