固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型

1、固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型1、问题矩形薄板的参数如下a二150mm,b二100mm,h二5mm,E二210GPa,v二0.3,p二7.93x103kg/m3求矩形薄板在（1）四边简支（2）四边固支条件下的固有频率和振型2、薄板振动微分方程薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：（1）板的材料由各向同性弹性材料组成；（2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小；（3）自由面上的应力为零；（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终

2、保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz，且坐标原点及xOy坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图1所示。设板上任意一点a的位置，将由变形前中面上各点的横向位移w（x,y,t）所决定。根据假定（4）,剪切应变分量为零。由薄板经典理论，可以求得板上任意一点a（x,y,z）沿x,y,z三个方向的位移分量u,v,w的表达式aaa分别为dwTOC o 1-5 h zu=zadxdwv=-z(1.1) HYPERLINK l bookmark62 adyw=w+(高阶小量)a根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分

3、量为dud2w=a=Zxdxdx2dv=1ydyd2wdy2(1.2)Yxydudv=2zd2wdxdy胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为TOC o 1-5 h zEEzd2wd2wC=(+卩)=(+H)X1卩2xy1卩2dx2dy2(1.3)EEzd2wd2wc=(+卩)=(+h)y1p2yx1p2dy2dx2Ezd2wT=G=xyxy1+pdxdy现画薄板微元的受力图如图2所示。图2所示中M、M和Q、M、M和Q分别为OB面、OC面上所受到的单位长度xxyxyyxy的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。M、M是由正应力。xyxx沿z轴负方向有一虚加惯性力Ph竽d

4、xdy,根据工F=0，工M=0，工M=0则dt2zyy(1.4)整理后，可得(1.5)dydx-Qdy+Qdx+xy+P(x,y)f(t)dydx-phS2WSt2YM=0 xSQxSydydx=0dydx-Qdxy学+学+P(x，t)f(t)=ph竽SxSySt2SQdydx)+Qdx-dy(Qdx+ydydx)ySySMdx+aySySMMdy-(Mdy+宁dydx)=0 xyxySxYM=0ySMx(Mdy+dxdy)-Mdy+(MxSxxyxSQxdxdy)1dx-Qdydx=0Sx2Qxy2Mdx-(My-(Qdy+x整理得到由弯矩的计算公式(1.6)SMdx+严dxdy)-MdxS

5、yyxSMSM亠+x=QSxSyySMSMA+严=QSxSyx(1.7)M=J2zdzx-hx-2M=J2zdzy-hy2hM=M=J2tzdzxyyxhxy-2(1.8)将式(1.2)代入式(1.8)，积分后得4d2w02w、M=-D(+u)x0 x20y202w02wM=-D(+u)y0y20 x202wM=-D(lu)-xy0 x0y(1.9)再将式(1.9)代入式(1.5)，即可得到薄板微元的运动微分方程为04w04w04w+2+0 x40 x20y20y402w+ph0t2=P(X，y)f(t)(1.10)这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。其中D=苛百为薄板的抗弯刚度。3、矩形板

6、横向振动微分方程的解矩形板的横向自由振动的微分方程为04W04W+20X40X20y24W+0y402W0t2(1.11)或写成其中m=phDV4w+m02W0t2(1.12)设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式：w(x,y,t)=W(x,y)coswt(1.13)将式(1.13)代入式(1.12)可得V4W-k4W=0(1.14)(1.15)再根据板的边界条件来求解固有频率，式(1.14)可用分离变量法来求解。假定解具有如下形式：W(x,y)=X(x)Y(y)将上式代入式(1.14)中，可得Y(y)导+2竽凹菩)+X(x)尹-k4X(x)Y(y)=0 x40 x20y20y(1.16

7、)上式可改写为(1. )(沖-k4X)Y+2+X竺=0dx4dx2dy2dy4(竺凹-k4Y)X+2竺竺+Y竺=0dy4dx2dy28x4现讨论式(1.17)中，首先要满足边界条件，设d4X(x)dx4沁=_P2Xdx2根据上两式，有则a4=卩4，故有d4X(x)dx4=-P2X=P4X皿*4xdx4皿=_b2xdx2(1.18)(1.19)(1.20)(1.21)将上两式(1.21)代入式(1.19)第一式中，可写为(1.22)TOC o 1-5 h zd2Yd4Y HYPERLINK l bookmark50 (卩4-k4)XY-2卩2X+X=0dx2dy4即有d4Yd2Y(1.23) H

8、YPERLINK l bookmark54 -2卩2+(卩4-k4)Y=0dy4dx2于是变量得到了分离，要满足式(1.14)的三角函数为X(x)=sin卩xcos卩x(1.24)类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为(1.25)sinaycosay现设x方向板的长度为a,y方向板的长度为b,且当x=0和x=a边为简支，则满足此边界的条件卩=m/a，故式(1.24)可写为mx门X(x)=sin,0 xva,m=l,2(1.26)a令(1.27)代入式(1.14)有W(x,y)=Y(y)sinmm(1. )m兀()4sina即为m兀xm兀、.m兀xm兀xm兀xTZ小Y-2()2sinY+

9、sinY-k4sinY=0maamamam(1.29)Y”-2(丝)2Y-k4-(上式的解为式中ch(九y)+Csh(九y)+Ccos(九y)+Csin(九y)2m4m2mm1m1m2m1m3m九21m7,m兀、=k2+()：a九2m兀k2()2,2mY(y)=C2a(1.30)再由y=0及y=b的边界条件，由式(1.30)可求得C1234)的齐次方程组，再令其系数im行列式为零，可得到固有频率方程式，从而求出固有频率。四边简支矩形薄板的自由振动边界条件为W=W=0,x=0 x=aW=W=0,x=0 x=aa2Wa2W()=G)=0ax2x=0ax2x=aa2Wa2W()=(匕工)=0ax2x

10、=0ax2x=a(1.31)设W(x,y)二艺另Asin血sAsinm兀x.n兀x门sin=0ab.n兀ysm”则满足边界条件。将上式代入方程(1.14),得mnabm=1n=1.i兀x.j兀ybdxdy并对整个面积进行积分得到:将上式两边乘以sinsinJa则得固有频率为fDlD(m兀、2(n兀=(k2=1+mnVph勺hka丿kb丿(1.32)因此可得，四边简支矩形薄板在自由振动时的挠度函数为.m兀x.n兀xw(x,y,t)=Asinsincostm=1n=1mnmn(1.33)将上述结果用MATLAB求出:表格1简支的固有频率计算结果频率D11D12D21D22计算结果111002134

11、73415544401仿真结果13951231353361045169.D133842439451In.n.05图3简支的模态Abaqus的计算结果：表格2简支薄板各阶振型abaqus实体单元有限元仿真结果实体有限元模态频率D11D12D211395123135.33610.DD3945145169.D1459868.4、固支边界条件振动微分方程的解四边固支矩形薄板的自由振动边界条件为W=W=0,x=0 x=aW=W=0,y=0y=a=型)=0dxx=a=(竺)=0dyy=a(1.34)正弦函数平方的逼近根据简支的启发，正弦函数的平方满足边界条件。所以设其W(x,y)是如下形式:行8人.m兀x

12、.n兀y(1.35)Wlx,y=乙乙Asm2sm2一mnabm=1n=1将上式带入方程(1.14)，整理可得血8Amnm=1n=1-k4sin2a4b412n兀y72m兀x-a4n4cos+-b4m4cos+basin2=02n兀y2m兀x、2+a2n2尸coscosb(1.36)根据伽辽金法两边乘以sin巴sindxdy并在整个区域内积分可得到ab16(3b4m4+2a2b2m2n2+3a4n4)714k4=09a4b4(3b4m4+2a2b2m2n2+3a4n4a4b4ph)一兀2(1.37)频率计算结果如表格3，振型计算结果如图4表格3频率计算结果阶数D11D12D21D22角频率值21

13、690.941032.573992.186763.5D1378703.10AQ2Q20DIE图4用sin2x作为试函数求解的模态用abaqus有限元模拟上述结果对比，采用四边固支，固支单条边，网格为5层。结果如下图5。D11D12实体单元模态频率20228.30990.JID21D13D22D1448507.48872.58116.72983.图5模态然而上述的结果的差别很大，在第一阶很接近，但高阶就不在相近。计算值的振型和仿真值的模态一阶的图像是相同的，而用平方的三角函数的振型只有正值，与模拟的相差大。所以型函数的选取可能是上述计算值差别的原因。为解决平方的三角函数得到的模态和频率与有限元模

14、拟的相差较大的缺陷，根据伽辽金法求解的特点，采取不同的试函数来求解方程。首先将试函数分成x的函数与y的函数乘积的形式。即W(x,y)F(x)G(y)(1.38)先单独分析F(x)的特点，并类推G(y)。试函数F(x)的特点是满足边界条件；一组函数序列之和，函数序列在函数空间中线性无关，且应收完备的函数族；函数族尽可以用通式表达，以便于运算与求解，而且函数族中的每个函数都满足边界条件；为了更方便的利用伽辽金法，函数应该是正交的，这样积分可以解决无穷项的难题。然而这样的函数族很难找到，下面分别从幂函数、三角函数等初等函数构造满足上述条件的函数来逼近振型。它们都有一定缺陷，其中幂函数的结果较好。4.

15、2、用幂函数的逼近(a、0a1a2a3=k1(7、12-2l10+k2厂2l3、-3l201+kn-1(n-1)ln、-nln-100aJ:0丿:0丿(1丿边界条件：W=W=0,x=0 x=aW=W=0,x=0 x=ad2Wd2WL0=L=0ox2x=0ox2x=ad2W02W(J)=)=0Ox2x=0Ox2x=a满足上面边界条件的幕函数的常数项和一次项都为零，一般的可设F(x)=x2(a+ax+ax2+axn)n012n HYPERLINK l bookmark98 F(x)=2x(a+ax+ax2+axn)+x2(a+ax+axn-1)n012n12n将第二个边界条件代入，为了一般性和便于

16、区别，边长用l表示：12(a+al+a12+aln)=0 HYPERLINK l bookmark100 012n2x(a+al+a12+aln)+12(a+al+aln-1)=0012c(1.40)整理写成矩阵形式l22ln12(a0a1lnnln-1丿=0求解得到(1.39)(1.41)根据线性方程解的线性无关性(l=a)，可以得到f(x)=X2C2一2ax+X2)f(x)=x2(2a3一3a2x+x3)2f(x)=x2I(n-1)an一nan-1x+Xnn-1L上述的幕函数都是满足边界条件，而且组成了n-1维函数空间的基底，即它们是线性无关的，且可以线性表示满足边界条件的所有幂函数。(1

17、.42)由于上面的函数族满足边界条件，但并不正交，积分的时候很难分离。定义两个函数的内积为=Jlf(x)f(x)dx，于是可以构造一个函数内积空间，并根据nm0nmGram-Schmit正交化的方法，构造一系列的正交多项式，下面计算了前四项，f(x)=f(x)=x2(a2-2ax+x2)11f(x)二f-f22111-ax2C2-2ax+x2)+x2(2a3-3a2x+x3)2f(x)ffff(x)=frfrf33121122=(a-x匕x2(5a2-22ax+22x2)22(1.43)f(x)二f-f-丿4厶f-Uf44123112233=-(a-2x)(a-x)2x2(5a2-26ax+2

18、6x2)52同理，满足边界条件的G(y)可以设成nG(x)=y2(a+ay+ay2+ayn)n012n可有求得满足边界条件的函数族2ay+y2(1.44)按照上面同样的g(y)二y2g(y)=y2(2a33a2y+y3)2g(y)二y21ym1丿am-nam-1y+ymn1并构造正交多项式g(x),g(x),g(x),g(x)1234于是设W(x,y)Afgnmmnm=1n=1将(1.45)代入方程(1.14)中，并用卡辽金法，式子两边同时乘以fg，并在整个薄板面mn上积分，ff审A(Wfnmmnmnmn00m=1n=1利用mathematica计算出k和圆频率计算频率如表格4各种频率比较表格

19、4各种频率比较(1.45)角频率值实体有限元模拟D11D12D21D13D2220228.30990.48507.48872.58116.三角平方逼近21690.941032.573992.178703.186763.5幕函数逼近正交三角函数三角-双曲函数21059.721690.924831.332623.853380.132418.85239910065651596.753490.211591351822.362596.311591362054.34.3、用正交三角函数和三角-双曲函数的逼近x按照上面的方法，选用sin2作为逼近函数，并将这些函数正交处理，计算方法同amKx代替sin2a上

20、。计算结果见表格4(2kx方法同上，列出结果：为了便于计算，采用1-cosf(x)=1一cos112(2kx)2(4kx)(6kx+cos+cos一cos55ja丿5ja丿ja丿12(2kx2(4kx2(6kx、+cos+-cos+cos77Ja丿7Ja丿7ja丿一cos一cosa丿f3(x)=乙(x)=a丿丿31振型见表格5。其振型的形状和频率和有限元仿真误差较大，第一阶频率和振型较好，但第二阶振型D12和有限元的第三阶振型D13相似，说明用这种方法求得频率可能缺阶，即其阶数是1、3、5的形式，着与采用的函数是正弦函数的平方有关，即振型函数是cos的偶数阶。同样可以找到满足条件的三角-双曲函数以解决上面的问题。(K(丄05)八一coshf(x)=cosn(K(m+0.5)xsin(K(m丄0.5)+sinh(K(m+0.5)x丿(K(m+0.5)xja丿一cosha(sin丿(K(m+0.5)si(K(m+0.5)一sinh(K(m+0.5)x丫丿丿cos该函数本身满足正交，固不需要正交化。它的图像见图6。计算结果见表格。表格5固支边界条件下的振型包括用正交的幂函数和正交的三角函数逼近