刚体的角动量第次课

1、刚体的角动量第次课1第1页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一注意：2. 在刚体对转轴的角动量的表达式中， 所涉及的三个物理量都是相对于转轴的，所以不用写成矢量式。3. 对于密度均匀、形状对称、且绕几何对称轴旋转的刚体。整个刚体对转轴上任意一点的角动量L必定沿转轴并与角速度的方向相同，故可写成矢量式1. 与质点动量表达式对比2第2页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一二、刚体对转轴的角动量定理将转动定理 Mz=Ja 写成下面的形式: 实验表明, 此式更具普遍性。由上式得到 刚体对转轴的角动量定理 作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于

2、同一转轴所受外力的合力矩。3第3页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一角动量定理也可以写为 Mz d t 称为冲量矩, 等于力矩与力矩作用于刚体的时间的乘积。 对上式积分得到角动量定理的积分形式 该式表示：角动量的增量等于力矩对定轴转动刚体的时间累积效应4第4页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 刚体对转轴的角动量守恒定律 当定轴转动的刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。 刚体组绕同一转轴作定轴转动时 , 系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改变 , 角速

3、度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变。恒量 如果 Mz = 0, 则 三、刚体对转轴的角动量守恒定律 5第5页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一注意：该定律的应用条件是: 刚体或刚体组必须满 足所受外力的合力矩为零；2. 角动量、转动惯量和角速度必须相对同一轴；3. 若将该定律应用于刚体组，刚体组中各个刚 体之间可以发生相对运动，但是它们必须是 相对于同一转轴在转动.6第6页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ，如人手持哑铃的转动 ,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作, 都是利用了对转轴的角动量守恒

4、定律。 7第7页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一花样滑冰中常见的例子花 样 滑 冰收臂大小Iw张臂Jw大小先使自己转动起来收臂大小Jw8第8页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一LwJ万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒LwJ恒矢量回转仪定向原理wJ其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度 高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响基 座回转体（转动惯量 ）Jw9第9页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 例1: 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，一端有一固定的光

5、滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求由此下摆 角时的角加速度和角速度。 解: 棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。重力作用在棒的重心 , 当棒处在下摆 角时，重力矩为：l/2xO）P10第10页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一棒处于角时的角加速度为：由角加速度的定义 重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。因为棒绕轴O的转动惯量为：l/2xO）P11第11页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一作如下变换将上式两边积分角速度为12第12页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一例题2 一个

6、质量为100kg的圆盘状平台，以1.05rad s-1的角速度绕通过中心的竖直轴自由旋转，在平台的边缘站着一个质量为60kg的人。问当人从平台边缘走到盘的中心时，平台的转速是多少？当人站在平台的边缘时，刚体组的转动惯量为：解：因为带人的平台是自由转动的，即不受外力矩的作用。若把人和平台看成一个系统，应满足角动量守恒定律，则13第13页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 当人站在平台中心时，刚体组的转动惯量等于平台本身的转动惯量，即将J1和J2代入角动量守恒定律14第14页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一公式对比质点直线运动或刚体平动 刚体的定轴转动

7、速度角速度加速度角加速度位移角位移vrr1t2r()tr()r1t2()t()qqqwddtwddtqaaddtvddt匀速直线运动srvt匀角速定轴转动qwt匀变速直线运动匀变角速定轴转动s021+vt2atqw0+t21a2t2vv022asw2w022aqvv0+atww0+at15第15页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一刚体的平动刚体的转动转动定理转动动能动能牛顿定律功力矩的功动能定理转动动能定理16第16页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一刚体的平动刚体的转动冲量冲量矩Mz d t动量定理角动量定理动量守恒定理角动量守恒定律恒量 机械能守

8、恒定律机械能守恒定律17第17页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 一、固体在外力作用下的一般情形 形变 固体受外力作用所发生的形状变化，分为弹性形变和塑性形变。 应力 固体横截面单位面积上内力的改变量。应力是固体在单位横截面上产生的弹性力。 应变 固体在外力作用下所发生的相对形变量。 固体受力作用而被拉伸的整个过程如图所示。 BCEPPEBoo5-4 固体的形变和弹性 18第18页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 曲线OP为直线，应力 与应变成正比，点P的应力是满足比例关系的最大应力，称比例极限（ P）。点E的应力E是发生弹性形变的最大应力，称弹

9、性极限。当应力 E时，发生塑性形变。 点C 对应的应力为 C，若把外力撤除，固体的应力与应变的关系沿O C变化，留下一定的剩余形变OO。 当应力达到点 B 对应的应力 B时，固体就断裂， B称强度极限。BCEPPEBoo19第19页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 有些固体的弹性极限与强度极限十分接近，因而塑性形变很小，称为脆体；有些固体的弹性极限与强度极限相距较远，可以产生很大的塑性形变，称为可塑体。 实验发现，固体发生塑性形变后的硬度增大了，若再要使它发生塑性形变，需要的外力比先前要大。称为加工硬化。 二、固体的弹性形变 (Elastic deformation )

10、 弹性形变有多种，最简单的是长变和剪切。 长变 固体在外力作用下沿纵向拉伸或压缩。 20第20页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一设有一均匀棒，如图所示。 拉力规定为正力，形变L也是正的，固体被拉伸，如图 (a)。 压力规定为负力，形变L也是负的，固体被压缩，如图 (b) 。 在长变的情况下，固体的拉伸应变n为 固体受到力Fn发生长变，在任一横截面上出现的应力 n为LL+ LFnFn(a)L+ LFnFn(b)21第21页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 根据胡克定律，在比例极限内， n与 n间存在线性关系 n = Y n 比例系数Y 称为材料的长

11、变弹性模量，或杨氏模量，它决定于固体材料自身的性质。 剪切 当固体受到大小相等、方向相反、相距很近的两个平行力作用时，在两力间的固体各横截面将沿外力方向发生相对错动。物体错动的角度称为剪切角 ，如图所示。 FtFt）ABSABCD22第22页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一固体的剪应变 t为当 很小时，近似有 t = 根据胡克定律，应有 t = G t 比例系数G称为固体材料的剪切模量，简称剪模量。 若横截面的面积为S，则剪应力 由于外力 与作用面是平行的，故固体横截面上产生的应力都与该截面相切，因而称为剪应力，如图所示。 ）ttFtFtS23第23页，共75页，202

12、2年，5月20日，11点15分，星期一5-1 刚体的运动小 结 刚体:在任何情况下,其大小和形状都不变化的物体。或者说物体上任意两点的相对位置保持不变。 平动 在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一条直线始终保持平行, 这种运动就称为平动 转动 在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为转动。这条直线称为转轴 刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+24第24页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一1. 刚体的转动动能其中，2. 刚体的转动惯量 与转动惯量有关的因素：刚体的质量大小和分布、转轴的位置、刚体的形状。 3. 平行轴定理4. 垂

13、直轴定理 5-2 刚体动力学25第25页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一5. 转动定理6. 力矩作的功7. 动能定理26第26页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 刚体对转轴的角动量 刚体对转轴的角动量定理27第27页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 刚体对转轴的角动量守恒定律 或 恒量 在定轴转动中,如果 Mz = 0, 则 28第28页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一第六章 流体力学一. 物体六态： 固体、液体、气体、等离子体、 玻色-爱因斯坦凝聚态、费米子凝聚态 等离子体：由离子、电子、中性粒子

14、等组成的气体。例如 ：火焰电弧的高温部分，太阳和其他星体表面气层。 1995年，美国标准技术研究院和美国科罗拉多大学的科学家组成的联合研究小组，首次创造出物质的第五态，即“玻色爱因斯坦凝聚态”。为此，2001年度诺贝尔物理学奖授予了负责这项研究的三位科学家。 29第29页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 玻色爱因斯坦凝聚:是科学巨匠爱因斯坦在70年前预言的一种新物态。这里的“凝聚”与日常生活中的凝聚不同，它表示原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态。玻色爱因斯坦凝聚态物质由成千上万个具有单一量子态的超冷粒子的集合，其行为像一个超级大原子，由玻色子构成。 费米子凝聚态:

15、由于没有任何两个费米子能拥有相同的量子态，费米子的凝聚一直被认为不可能实现。2004年，物理学家找到了一个克服以上障碍的方法，他们将费米子成对转变成玻色子。费米子对起到了玻色子的作用，所以可让气体突然冷凝至玻色爱因斯坦凝聚态。 30第30页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 粒子按其在高密度或低温度时集体行为的不同可以分成两大类：一类是费米子，得名于意大利物理学家费米，另一类是玻色子，得名于印度物理学家玻色。区分这两类粒子的重要特征是自旋。自旋是粒子的一种与其角动量相联系的固有性质。量子力学所揭示的一个重要之处是，自旋是量子化的，这就是说，它只能取普朗克常数的整数倍（玻色

16、子，如光子、介子等）或半整数倍（费米子，如电子、质子等）。 31第31页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一超导体：在低温时不存在电阻。如In, Sn, Al, Pb,Nb, 等金属及其合金。1911年，昂内斯发现Hg在4.2K 时电阻完全消失。超流态：是某些物质的超低温特性，例如超流体和超导体超流体：不存在粘滞现象，能流过10-5cm的毛细血管，能在固体表面扩展成几十个原子厚的薄膜（液氦在2.19K时为超流体）32第32页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一二. 流体：可以流动的物质（气体和液体）三. 流体的特性流动性：流体物质的各部分之间发生相对运动

17、粘滞性：流体各部分之间发生相对运动时，存在摩擦现象3. 压缩性：流体体积随外部压力而变化的特性33第33页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一6-1 流体的压强 一 静止流体内一点的压强1. 压力： 流体内部相互作用力和流体对器壁的作用力称为压力压力的特点：1） 流体内任意截面所受的压力与该截面垂直，否则将有小部分沿截面流动；2） 流体内任意截面所受的压力为零，否则流体不能静止；34第34页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一单位面积上所承受的沿法线方向的压力的大小。 或 为压力，面元 方向与点A的法向 一致。2. 压强 （Pressure）A注意：1.

18、 压强是标量,其值与面元的选取无关； 2. 压强是位置的函数； 35第35页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 图中， 和 都通过点A， 的法线为 ， 的法线为 。两面所受压力大小和方向各不相同 , 但压强是相同的, 都是点A的压强。3. 压强单位在SI中为Pa (帕斯卡, 简称帕) 1 Pa = 1 N m-2 另外还有 atm (标准大气压，简称大气压)、bar (巴) 、Torr (托)和毫米汞柱（mmHg） 1 bar = 105 Pa; 1 atm = 101325 Pa 1mmHg=133.322Pa; 1Torr=133.322PaA36第36页，共75页，

19、2022年，5月20日，11点15分，星期一二 静止流体内的压强差1. 等高点的压强相等FAFBA B 由于柱状物体沿轴向没有流动，根据牛顿定律知，它所受合外力为零，即或说明：静止流体内同水平高度的各点的压强相等37第37页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一2. 两点高度差h，其压强差为ghyxdyyy+dyPAmg(P+dP)A体元所受重力： 由于体元是静止的，所以所受合外力为零，即化简为此式表明：流体内各点的压强是随高度变化的。38第38页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一流体内任意两点的压强差可通过对上式积分求得：若A、B两点的高度差为h，则两

20、点的压强差为：该式表明：两点高度差h，其压强差为gh说明：1）压强差与密度有关; 2) 对于气体，密度 ，因此可认为压强处处相等，但对于大气层，当高度相差很大时 和g都是高度的函数，故39第39页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一3. 两个原理（1）帕斯卡（Pascal）原理 施加压强于密闭容器内的流体，此压强无变化地传递到流体的各部分及器壁上。（2）阿基米德（Archimedes）原理 当一物体全部或部分地侵入流体中时，物体所受的浮力等于它所排开流体的重量。40第40页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一解： 水坝外侧受大气压强的作用，而内侧也受大气

21、压强的作用（帕斯卡原理），故可以不考虑大气压强的作用。例题1 图（a）和（b）分别是水坝的侧视图和前视图。设水深为h，求水作用于大坝的水平合力和该力对过O点轴的力矩。ahOlxydybhyo41第41页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 水中的压强随深度而变化，因此水坝受水的作用力是不均匀的，是深度的函数。1. 求力F: 取水坝l长的一部分，受水作用的面积为S=lh， 在其坐标为y处取dy深的一面积元ds=ldy,则作用在该面元上的力为：所以水作用于lh面积的水坝上的水平作用力为：lxydybhyo42第42页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一作用在

22、单位长度面积上的水平力为2. 求力矩：dF相对于过O点轴的力矩：43第43页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一对上式积分：44第44页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 一、关于理想流体的几个概念 (perfect fluid ) 1. 理想流体 实际液体和气体除具有共同的流动性外, 还在不同程度上具有两种性质：可压缩性和黏性。 理想流体 绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。 2. 定常流动 流体质点流经空间任一给定点的速度是确定的，且不随时间变化，称为定常流动。例如, 沿着管道或渠道缓慢流动的水流, 在一段不长的时间内可以认为是定常流动。6-2 理想

23、流体及其连续性方程 45第45页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 3. 流线 为了形象地描述流体的运动 , 在流体中画一系列曲线 , 每一点的切线方向与流经该点流体质点的速度方向相同,称为流线。 定常流动中的流线 不随时间变化； 质点的运动轨迹； 任何两条流线不相交。 4. 流管 流线围成的管状区域。流管内外的流体不能交换流体在流管中的流动状况就是整个流体流动状况的缩影46第46页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一二、理想流体的连续性方程 (the equation of continuity ) 在细流管中,流体流经截面S1和S2的速率为v1和v

24、2 , 在t时间内流过这两个截面的流体体积分别为V1 = S1 v1 t V2 = S2 v2 t v1v2S1S2对于不可压缩流体 S1 v1= S2 v2 或 S v = 恒量 上式称为理想流体的连续性方程。1. 连续性方程47第47页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 理想流体作定常流动时, 速率与流管截面积的乘积为恒量, 或者说速率与流管的截面积成反比。注意：选择流管时，不能过粗，否则横截面S上各点的流速就不一定相等；该方程适应于任何不可压缩流体；3. 由连续性方程可以断定，在流速大的地方，流管狭窄，流线必定密集；在流速小的地方，流管粗大，流线必定疏散。S v =

25、 恒量48第48页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一2. 质量守恒定律在连续性方程两边同乘以流体密度, 即 S v = 恒量 对于可压缩的流体，连续性方程不一定正确，但质量守恒仍然成立，因此上式是一般流体的连续性方程。 该式说明在同一时间内流入某段流管的流体的质量与流出的相同。 由于密度是一个随流动而变化的量，上面根据流线的疏密反映流速的大小也就不再正确。例如，超音速气流49第49页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 如果在某一管道的横截面上各点的流速都相等, 流量可以表示为 QV = S v 3. 流量（体积流量）单位时间内流过某一截面的流体体积。

26、流过截面S1和S2的流量为v1v2S1S250第50页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一如果截面上各点流速不相等,通过面元dS的流量为dQV = v dS 通过整个截面的流量引入平均流速的概念： 上式在处理具体问题时经常采用。 51第51页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一6-3 伯努利(Bernoulli)方程 伯努利: 1700年2月8日生于荷兰格罗宁根；1782年3月17日卒于瑞士巴塞尔数学、物理学、医学家1715年获得学士学位，1716年获得艺术硕士学位 1721年通过论文答辩，获得医学博士学位 丹尼尔的学术著作非常丰富，他的全部数学和力学著

27、作、论文超过80种1738年他出版了一生中最重要的著作流体动力学.(17251757年的30多年间他曾因天文学(1734)、地球引力(1728)、潮汐(1740)、磁学(1743，1746)洋流(1748)、船体航行的稳定(1753，1757)和振动理论(1747)等成果，获得了巴黎科学院的10次以上的奖赏特别是1734年，他与父亲约翰以“行星轨道与太阳赤道不同交角的原因” 的佳作，获得了巴黎科学院的双倍奖金 52第52页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 丹尼尔获奖的次数可以和著名的数学家欧拉相比，因而受到了欧洲学者们的爱戴，1747年他成为柏林科学院成员，1748年成

28、为巴黎科学院成员，1750年被选为英国皇家学会会员. 在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不鲜见，然而，在一个家族跨世纪的几代人中，众多父子兄弟都是科学家的较为罕见，其中，瑞士的伯努利家族最为突出。伯努利家族3代人中产生了8位科学家，出类拔萃的至少有3位；而在他们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。53

29、第53页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一伯努利(Bernoulli)方程 在重力场中作定常流动的理想流体内任取一细流管, S1和 S2表示两个横截面的面积,h1 和 h2是它们相对同一个水平参考面的高度。 由于理想流体是不可压缩的, 从S1到S1之间的流体质量等于从 S2到 S2之间的质量m。 整个流体块从位置S1-S2流到位置 S1-S2的过程中，机械能的增量E为v1v2S1S2S1S2h2h154第54页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一机械能增量 如果作用于S1上的压力为 f1 , 在 t 内S1移过距离 v1t 到达S1，则 f1作的功为

30、A1 = p1 S1v1t v1v2S1S2S1S2h2h155第55页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一对于截面S2 ， f2对流体块所作的功A2 = p2 S2v2t 根据 S1 v1 = S2v2 , 并且 得 周围流体的压力对流体块作的总功为根据功能原理 E = A 56第56页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一即 整理可得 去掉角标, 对于同一条细流管中的任一截面, 下面的关系总是成立的恒量 上面两式都称为伯努利方程, 它们描述了理想流体作定常流动时的基本规律。57第57页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一讨论：恒量

31、1. 若水平流动， , 则有恒量 说明：水平流动的流管中，压强大的地方流速小；压强小的地方流速大。2. 由连续方程， 知，管细的地方流速大，管粗的地方流速小。58第58页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一空吸现象推论：细管处（流速大）压强小 粗管处（流速小）压强大3. 当两处流速相同时，即 说明：高度低的地方压强大，高度高的地方压强小，这与流体静力学中的结果一致。4. 当V0时，流体静止或者 59第59页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一注意： 理想流体在重力的作用下作定常流动时才成立； 该方程也只适用于对惯性系中的流动的描述，若在非惯性系中，同样要

32、附加惯性力。如果A、B两点的高度相等, 则由上式得 pA = pB 这表明, 静止流体中同高度两点的压强相等。 60第60页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一hABQo 它由两个同轴细管组成, 内管的开口在正前方。外管的开口在管壁上, 如图中B所示。两管分别与U型管的两臂相连, 在U型管中盛有液体(如水银), 构成了一个压强计, 由U型管两臂的液面高度差h确定气体的流速。 例1：皮托管是测定流体流速的仪器, 常用来测定气体的流速。61第61页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 解：在A 处气流速率为零, 在流线OA上运用伯努利方程, 得到对于流线QB

33、 点O和点Q非常接近, 可认为各量相等。又因皮托管一般都很细, 点A与点B的高度相差很小, hA = hB 。考虑到这些条件, 得vB 是待测气流的流速。hABQo62第62页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一如果压强计中液体的密度为 , 则 比较上面两式得 所以 这样，就可以由压强计两液面的高度差h, 计算出待测气流速率。 hABQo63第63页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一例2： 求水从容器 壁小孔中流出时的速率。AB 解： 在液面和小孔处取任意流线AB，在这条流线上运用伯努利方程，得：A点： B点：取小孔处的高度为零，则 hA = h64第64页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一 可见, 小孔处水的流速，与物体从h处自由下落到小孔处的速率是相同的。65第65页，共75页，2022年，5月20日，11点15分，星期一z例题3 一倒立圆锥形容器，高为h，底面半径为R，装满水（理想流体）。锥