几何造型讲义

1、几何造型讲义第1页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 线框模型几何模型描述物体的几何信息和拓扑信息。几何信息是指物体在欧氏空间中的形状、位置和大小；拓扑信息是指物体各分量的数目及其相互间的连接关系。 用顶点和棱边来描述物体（适用于易于用数学模型描述的物体）第2页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一例. 立方体的线框模型及其计算机表示线框模型顶点表棱线表 提供了定义形体的点、线的几何信息，以及点与 边之间连接关系的拓扑信息。第3页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 构造模型时操作简便，处理速度快且占 用内存少。 特别适用于设计构思、建立

2、设计图的总体空间位置关系及图形的动态 交互显示。 利用投影变换，从三维线框模型可方便 地生成各种正投影图、轴测图和任意观 察方向的透视投影图。2. 线框模型的优缺点优点:第4页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一缺点: 易出现二义性理解； 缺少曲面边缘侧影轮廓线；缺少边与面、面与体之间关系的 信息，不能描述产品。中间打孔的长方体第5页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一面模型用面的集合来表示物体（适用于难于用数学模型描述的物体）比线框模型立体感强；特点：能够计算面积，表达物体的表面形状；进行剖切操作时，内部为空洞；不能计算和分析物体的整体性质；在面模型上打孔

3、，内部为“空洞” 表面模型第6页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一例. 立方体的表面模型表面模型的数据结构是在线框模型数据结构的基础上增加面的有关信息。e3F2第7页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一常用的曲面类型：表面模型中的几何形体表面可以由若干块面片组成，这些面片可以是平面、解析曲面（如球面、柱面、锥面等）、参数曲面（Bezier、B样条曲面片等）。曲面可通过以下的生成方式产生：第8页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 1. 通过一条或多条曲线构造曲面 线性拉伸面或柱状面 直纹面 第9页，共72页，2022年，5月20日，9点1

4、2分，星期一旋转面 扫成面 Coons曲面第10页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 2. 由位于矩形网格上的一组输入点（称为控制顶点）构造曲面。 Bezier曲面 B样条曲面第11页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 3. 通过插值其他曲面构造曲面圆角曲面（Fillet Surface）：它为两个曲面间的过渡曲面，性质为B样条曲面说明：尽管定义曲面的方式多种多样，但它们都可以由NURBS曲面统一表示。第12页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一组合曲面组合曲面（Composite Surfaces）是由曲面片拼合成的复杂曲面。 现实中

5、，复杂的几何产品很难用一张简单的曲面进行表示。 将整张复杂曲面分解为若干曲面片，每张曲面片由满足给定边界约束的方程表示。理论上，采用这种分片技术，任何复杂曲面都可以由定义完善的曲面片拼合而成。 第13页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一可以理解为“实心”能够完整表示物体的所有形状信息，赋予颜色能够计算体积、面积、重量等基本物理量；可以赋予材料特性；模拟物理的运动，受力变形 实体模型常用的三维实体模型：体素构造表示法边界表示法空间单元表示法 第14页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 实体模型的概念 实体模型的核心问题是采用什么方法来表示实体。与线框模型和

6、表面模型的根本区别在于：实体模型不仅记录了全部几何信息，而且记录了全部点、线、面、体的信息。 为了确定表面的哪一侧存在实体，常用的方法是用有向棱边的右手法则确定所在面的外法线方向，例如规定正向指向体外。表面F123456棱线号2 3 4-5 -6 -7 -8-1 -10 -5 -92 11 6 103 12 7 11-4 -9 -8 -12表面表第15页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一并交球柱柱球 体素及体素间的交、并、差运算差体素：球和柱第16页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一CSG树只定义了它所表示物体的构造方式，既不反映物体的面、边、顶点等有关

7、边界信息，也不显式说明三维点集与所表示的物体在实际空间的一一对应关系。因此，这种表示又被称为物体的隐式模型或过程模型。 体素构造表示法 （ CSG树）一个复杂物体可由一些比较简单、规则的物体经过布尔运算而得到。因而，这个复杂的物体可描述为一棵树。这棵树的终端结点为基本体素(如立方体、圆柱、圆锥)，而中间结点为正则集合运算结点。这棵树叫做CSG树，如图所示。 UCSG树第17页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 以上说明了几何实体构造法构造实体的基本方法。但需要指出的是，体素经集合论中的交、并、差运算后可能产生客观上并不存在的实体。下面以二维情况为例加以说明。第18页，共72

8、页，2022年，5月20日，9点12分，星期一正则形体对于任一形体，如果它是3维欧氏空间中非空、有界的封闭子集，且其边界是二维流形（即该形体是连通的），我们称该形体为正则形体，否则称为非正则形体。第19页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一(a)有悬面(b)有悬边（c）一条边有两个以上 的邻面（不连通）非正则形体实例一些非正则形体的实例第20页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一集合运算（并、交、差）是构造形体的基本方法。正则形体经过集合运算后，可能会产生悬边、悬面等低于三维的形体。Requicha在引入正则形体概念的同时，还定义了正则集合运算的概念。正则集

9、合运算保证集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、悬面等。正则集合运算第21页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 第22页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一正则集合运算 正则算子r：先求内部，再求闭包。 删除无效实体所有的悬挂面、边和孤立的点，以得到有效的实体。 因此，更严格地讲，CSG法是由简单的正则集经过正则集合运算构造复杂实体的方法。显然，CSG法所构造的实体是有效实体。第23页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 Root:Final ObjectNonTerminal Nodes:Boolean Operatorsor M

10、otionsLeaf Nodes:PrimitivesorTransformation DataA WrenchCSG Binary TreeCSG树 CSG法所构造的实体可以用一棵二叉树来描述。第24页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 CSG法的优点与缺点优点：用CSG法表示复杂实体非常简明，可惟一地定义物体。 CSG法所表示的实体的有效性是由体素的有效性和集合运算的正则性自动得到保证。 CSG树描述物体非常紧凑，体素种类越多， CSG法所能定义的实体的覆盖域越宽。 在大多数实体造型系统中作为用户输入手段。缺点：CSG树只定义了物体的构成体素及构造方式，没有反映物体的面

11、、边、顶点等有关信息，因此这种数据结构称为“不可计算的”。当真正进行物体的拼合运算并最终显示物体时，还需将CSG树数据结构转换为边界表示的数据结构。第25页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 边界表示法 （Brep）边界表示法通过描述三维物体的边界来表示的方法。边界内部点与外部点的分界面第26页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一左图为：顶点、棱边、表面之间的拓扑关系 体素表示边界的拓扑信息边界的几何信息多面体边界的拓扑信息描述方式（9种）数据结构中保存的拓扑关系越多，对多面体的操作越方便，但是占用的存储空间也就越大。第27页，共72页，2022年，5月2

12、0日，9点12分，星期一边界表示中的层次结构第28页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一第29页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一与表面模型的区别 边界表示法的表面必须封闭、有向，各张表面间有严格的拓扑关系，形成一个整体；而表面模型的面可以不封闭，面的上下表面都可以有效，不能判定面的哪一侧是体内与体外；此外，表面模型没有提供各张表面之间相互连接的信息。第30页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一实用系统中的CSG法和B-rep法 (1)由于CSG法描述实体的能力强，故几乎在所有基于边界表示法的实用系统中，都采用CSG法作为实体输入手段。例

13、如，有建立体素的命令，进行各种体素拼合的命令，以及修改某个体素的命令等；当执行这些命令时，相应地生成或修改边界表示数据结构中的数据。第31页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一(2)在实用造型系统中，边界表示法已逐渐成为实体的主要表示形式。这是因为： 用CSG法构造复杂的实体存在局限性。 边界表示法采用了自由曲面造型技术，能够构造像飞机、汽车那样具有复杂外形的实体，用CSG法的体素拼合则难以做到。 第32页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一从CSG模型通过计算可直接转换成边界表示模型，但反之不然。尚没有从边界表示模型到CSG模型的一般转换算法，因此两种表示

14、法不可交换。 商业化造型系统的发展趋势是将线框表示、曲面表示和实体表示统一在一个统一框架中，用户根据实际问题的需要选取合适的技术。而由边界表示转换为线框模型非常简单。第33页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 例子 AUTOCAD AME： 基本表示模式：同时采用CSG和B-rep方法 输入模式： CSG、扫描输入 输入模式中所提到的B-rep或CSG是指界面操作的方式，它们分别采用了B-rep或CSG法的思想，不要与所采用的机内存储方法混淆起来。 第34页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一多面体Struct solidId solidno;/多面体的序

15、号Face * sfaces;/指向多面体的面Edge *sedges;/指向多面体的边Vertex * sverts;/指向多面体的顶点Solid * next/指向后一个多面体Solid * prevs;/只向前一个多面体第35页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 扫描法 基本思想: “运动的物体”加上“轨迹”常用的扫描方式：平移式、旋转式和广义式。平移扫描法：沿垂直于二维集合进行扫描；旋转扫描法：绕某一轴线旋转某一角度；广义扫描法：二维几何集合沿一条空间曲线的集合扫描； 平移扫描法旋转扫描法广义扫描法第36页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 立方

16、体网格模型立体网络模型表示实体的方法 将包含实体的空间分割成均匀的小立方体，建立一个三维数组，使数组中的每一个元素pijk与(i,j,k)的小立方体相对应。当该立方体被物体所占据时， pijk的值为1，否则为0。优点可以表示任何物体很容易实现实体的集合运算以及体积计算缺点不是一种精确的表示法，近似程度完全取决于分割的精度，与几何体的复杂程度无关需要大量的存储空间第37页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一表示方法将包含实体的空间分割成四面体单元的集合特点可以以边界面片为四面体的一个面，模型精度高能够构建复杂形体的网格模型在复杂对象的科学计算和工程分析中具有重要的应用四面体网格

17、模型数据结构复杂，实现复杂空间域边界一致的四面体剖分是近年来的研究热点。 四面体网格模型第38页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一便于做有限元分析、数据场可视化第39页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 几何建模方法的应用与发展 不同的几何建模方法可以满足不同的应用需求，对计算机软硬件的要求也不同早期计算机软硬件性能有限，只能采用线框模型表达不太复杂的对象。目前常用的CAD软件一般都包含线框模型、面模型、体模型，根据需要，可灵活使用。基于体元的体绘制方法是计算机图形学最新的发展分支，在CT、核磁共振等规则数据的处理中获得了应用。第40页，共72页，202

18、2年，5月20日，9点12分，星期一 线框模型7.2.1 LINE（直线）7.2.2 3DPOLY（三维多义线）7.2.3 SPLINE（样条曲线）7.2.4 ELEV（标高设置）第41页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一1 LINE（直线）1输入命令的方法下拉菜单：单击DrawLine。命令行：输入LINE并回车。2命令行提示Command： LINE返回本节第42页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一2 3DPOLY（三维多义线）1输入命令的方法下拉菜单：单击Draw3D Polyline。 命令行：输入3DPOLY并回车。2命令行提示Command：

19、 3DPOLY 3dpoly（或别名3p）调用该命令后，系统首先提示用户指定三维多段线的起点： Specify start point of polyline:然后分别指定其他各个端点：Specify endpoint of line or Undo:Specify endpoint of line or Undo:Specify endpoint of line or Close/Undo:用户也可以选择“Undo（放弃）”项取消最后绘制的一段线，并从前一节点开始重新绘制；或选择“Close（闭合）”选项将最后一个节点与起点连接起来，形成闭合的三维多段线并结束命令。第43页，共72页，202

20、2年，5月20日，9点12分，星期一3 SPLINE（样条曲线）1输入命令的方法下拉菜单：单击DrawSpline命令行：输入SPLINE并回车2命令行提示Command： SPLINE 第44页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 表面模型7.3.1 3DFACE（三维面）7.3.2 3DMESH（三维多边形网格）7.3.3 3D（基本体表面）7.3.4 REVSURF（回转曲面）7.3.5 TABSURF（平移曲面）7.3.6 RULESURF（直纹曲面）7.3.7 EDGESURF（边界曲面） 第45页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一1 3DFAC

21、E（三维面）1输入命令的方法下拉菜单：单击DrawSurface3D Face。 2命令行提示Command： 3DFACE3选项说明第46页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一三维面可以是三维空间中的任意位置上的三边或四边表面，形成三维面的每个顶点都是三维点。 命令行：3dface（或别名3f）调用该命令后，系统首先提示用户指定三维面的第13点：如果用户在指定第3点时选择“exit（退出）”项，则结束该命令，否则将提示用户指定第4点：Specify fourth point or Invisible :系统将根据用户指定的四个点创建一个三维面对象。需要说明的是，这四个点可以

22、不在一个平面上，因此生成的三维面并不一定是平面。第47页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一2 3DMESH（三维多边形网格）1输入命令的方法下拉菜单：单击DrawSurfaces3D Mesh。2命令行提示Command： 3DMESH第48页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一绘制三维多边形网格 Command line: 3DMESH Mesh M size: Enter a value between 2 and 256 Mesh N size: Enter a value between 2 and 256 Vertex (0, 0):输入第一行第

23、一列 Vertex (0, 1): 输入第一行第二列 Vertex (m-1, n-1): 输入第M行第N列 编辑多边形网格 Command: pedit Select polyline: Edit vertex/Smooth surface/Desmooth/Mclose/Nclose/Undo/eXit :第49页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一绘定规曲面：通过两条指定的曲线或直线，生成一个用三维网格表示的直纹曲面。 格式：Command: rulesurfSelect first defining curve:Select second defining curve

24、:说明：若一条是封闭的，则另一条也必须是封闭的。 若曲线是非封闭的，定规曲面是从曲线上离点取位置近的一端画出。 定规曲面的分段线数由系统变量SURFTAB1确定。绘制规则曲面第50页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一绘平移曲面：产生由一条轨迹线和方向矢量所确定的网格曲面。 Command: TABSURF Select path curve:选择轨迹曲线 Select direction vector:选择方向矢量说明： 方向矢量只能是LINE、PLINE、3DPOLY。 平移曲面的分段线数由系统变量SURFTAB1确定。第51页，共72页，2022年，5月20日，9点12

25、分，星期一绘旋转曲面：由一条轨迹曲线绕一轴线，生成一个用三维多边形网格表示的回转面。说明： 方向矢量只能是LINE、PLINE、3DPOLY。 平移曲面的分段线数由系统变量SURFTAB1和SURFTAB2确定。第52页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一绘定界曲面用四条首尾相连的边构造一个由三维多边形网格表示的曲面说明： 边界曲面的各边只能是LINE、ARC、SPLINE、PLINE、3DPOLY，且四条边首尾相连。 用户选择的第一条边的方向为多边形网格的M方向，它的邻边方向为N方向。例图第53页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一3 3D（基本体表面）1

26、输入命令的方法下拉菜单：单击DrawSurfaces3D Surfaces。2命令行提示Command：3DBox/Cone/Dish/Dome/Mesh/Pyramid/Sphere/Torus/Wedge：3选项说明 第54页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一3D Objects对话框基本形体表面包括：Box(长方体或正方体)、Cone(圆锥体)、Dish（碟形网格表面）、Dome（穹形网格表面）、Mesh（指定四个点形成的网格表面）、Pyramid（棱锥体）、Sphere（球体）、Torus（圆环体）、Wedge（楔形体）格式：Command: 3D/Draw-Sur

27、faces-3D Surfaces第55页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一4 REVSURF（回转曲面） 在AutoCAD 2002中，回转曲面是指通过一条轨迹线绕一根指定的轴旋转生成的空间曲面。绘制旋转曲面的命令是REVSURF，该命令可用来创建具有回转体表面的空间形体，如酒杯、茶壶、花瓶、灯罩等。图所示的酒杯就是一个回转曲面。第56页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 回转曲面第57页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一5 TABSURF（平移曲面）指一条轨迹线或图形对象沿着一条指定方向矢量平移延伸而形成的三维曲面。绘制平移曲面的

28、命令是TABSURF。1输入命令的方法下拉菜单：单击DrawSurfacesTabulated Surface。命令行：输入TABSURF并回车。 2命令行提示Command： TABSURF3说明第58页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 平移曲面返回本节第59页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一6 RULESURF（直纹曲面）直纹曲面是指由两条指定的直线或曲线为相对的两边而生成的一个三维曲面。绘制直纹曲面的命令是RULESURF。1输入命令的方法下拉菜单：单击DrawSurfacesRuled Surface。 2命令行提示Command： RULE

29、SURF3说明第60页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一 直纹曲面返回本节第61页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一7 EDGESURF（边界曲面）边界曲面是指以4条空间直线或曲线为边界创建得到的空间曲面。绘制边界曲面的命令是EDGESURF。1输入命令的方法 ：下拉菜单：单击DrawSurfacesEdged Surface。2命令行提示 Command： EDGESURF 3说明第62页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一10 边界曲面第63页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一三维实体造型综合举例例题1绘制如下图

30、所示斜面上的圆。第64页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一作图步骤：一、单击UCS工具条上 图标，进入正交的左视图，绘制立体的左视图的轮廓。Command: PlineSpecify start point:输入起点Current line-width is 0.0000Specify next point or Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width:80（打开正交功能，沿十字光标方向取值，以下同）Specify next point or Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width:50Specify

31、next point or Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width:C第65页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一二将多边形拉伸为一个直柱体单击Solids工具条上图标 或键入Extrude或单击下拉菜单Draw Solids Extrude。命令行提示为：Command: ExtrudeCurrent wire frame density: ISOLINES=4Select objects: 选择上一步骤所画的三角形Select objects: （回车结束选择）Specify height of extrusion or Path: 5

32、0（拉伸高度）Specify angle of taper for extrusion :（回车，拉伸的侧面不倾斜）单击View工具条上图标 ，结果如右图所示。三消隐单击下拉菜单View Hide，对实体模型进行消隐，结果如图所示。第66页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一三消隐单击下拉菜单View Hide，对实体模型进行消隐，结果如图所示。说明：AutoCAD可以拉伸的对象有：圆、椭圆、正多边形和矩形命令画的图形、封闭的样条曲线、封闭的多义线、面域等。一般的封闭图形要生成面域后才能拉伸ISOLINES是系统变量，控制用网线显示曲面的密度。该变量的缺省值是4，其值越大，网

33、线越密。在Specify height of extrusion or Path:提示下，输入正值，拉伸方向与Z轴正方向相同；输入负值，拉伸方向与Z轴正方向相反。也可以输入P的选项，延指定的路径拉伸成扫掠实体。Specify angle of taper for extrusion :提示输入锥面角。缺省值是0度，表示拉伸时侧面不倾斜，即柱体。第67页，共72页，2022年，5月20日，9点12分，星期一四建立新坐标系在UCS工具条上选取图标，建立斜面上的新坐标系。命令行出现如下提示：Command: UcsCurrent ucs name: *LEFT*（提示当前UCS坐标正处在左视图状态下）Enter an option