切线的判定与性质

1、切线的判定与性质第1页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一直线与圆的位置关系相交相切相离图 形 公共点个数 公共点名称 直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点割线1个切点切线d r没有回顾：第2页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一 图中直线l满足什么条件时是O的切线？探究：Ol方法1：直线与圆有唯一公共点方法2：直线到圆心的距离等于半径 注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。第3页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一（1） 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?（2

2、） 二者位置有什么关系？为什么？（3） 由此你发现了什么？ O 请在O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线lOA。思考：lA操作与观察：第4页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。 对定理的理解： 切线必须同时满足两条：经过半径外端；垂直于这条半径 AOl第5页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一Orl A OA是半径， l OA于A l是O的切线定理的数学语言表达：第6页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径0A

3、 则:直线l与O相切 这样我们就得到了从“位置”的角度圆的切线的判定方法切线的判定定理AOl发现：第7页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一 利用上面的定理，过圆上任意一点，你会用三角尺画O的切线吗？讨论交流：OP第8页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一1、判断：(1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ）(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）OrlAOrlAOrlA巩固：两个条件缺一不可第9页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一切线的判定方法有三种：直线与圆有唯一公共点；直线到圆心的

4、距离等于该圆的半径；切线的判定定理即 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.判定直线与圆相切有哪些方法？ 归纳：第10页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一 例1 如图，已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是O的切线。OBAC 分析：由于AB过O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可。 例题：有交点，连半径，证垂直第11页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一 例2 如图，已知：O为BAC平分线上一点，ODAB于D,以O为圆心，OD为半径作O。 求证：O与AC相切。OABCED无交点，作垂直，证半径第1

5、2页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一OBACOABCED归纳：例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.第13页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一1、如图，AB是O的直径,O过BC的中点D，DEAC. 求证：DE是O的切线AODECB证明：连接ODBDCD，OA=OB,OD是ABC的中位线.OD/AC.又 DEC90,

6、ODE90.又 D在圆周上, DE是O的切线.巩固：有交点，连半径，证垂直第14页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一2、如图,ABC中,AB=AC,AOBC于O，OEAC于E,以O为圆心,OE为半径作O.求证：AB是O的切线.FECOBA巩固：无交点，作垂直，证半径第15页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一3、如图,AB是O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在O上, CAB=30.求证:DC是O的切线.ABCDO有交点，连半径，证垂直第16页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一4、如图，AB是O的直径, C为O上一点，

7、AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分DABAODCB证明：连接OCCD 是O的切线，OCCD.又ADCD , OC/AD.ACO CAD .又OC=OD, CAO ACO CAD CAO ,故AC平分DAB第17页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一5已知：在ABC中，ABAC，以AB为直径作O交BC于D，DEAC于E，求证：DE是O的切线. 分析：因为DE经过O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD， 再证明DEOD.第18页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一6如图，已知在ABC中，ADBC于D，ADBC/2，E和F分别为AB和

8、 AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作O，求证：O与BC相切. 分析：要证明以EF为直径的O与BC相切，只要过O作OHBC于H，证 明OH等于直径EF的一半.H第19页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一7如图(3)，ABC内接于O，P、B、C在一直线上，且PA2PBPC， 求证：PA是O的切线.分析：PA过O上一点A，要证PA为切线，只要证PAAO，为此，作直径AD，并连结CD，只要证PAAD即可.第20页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一 如图，如果直线l是O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？探究：OAl第21页，共3

9、3页，2022年，5月20日，11点11分，星期一如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与直线L是不是垂直呢？AOL分析：假设OA与L不垂直，过点作OML，垂足为M。 根据垂线段最短的性质，有OMOA，这说明圆心O到直线L的距离小于半径OA，于是直线L就要与圆相交，而这与直线L是圆O的切线相矛盾。 因此，OA与直线L垂直。AOLM第22页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。归纳：OAl l是O的切线，切点为A l OA第23页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一过半径外端;垂直于这条半径.切线圆的切线

10、;过切点的半径.切线垂直于半径切线判定定理：切线性质定理：比较：OAl第24页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一 例3、如图，PA、PB分别切O于A、B，两切线相交于点P,若P=420，求ACB的度数。BPCAOPCBCAOmm例题：第25页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一1、如图, O切PB于点B,PB=4,PA=2,则O的半径多少？巩固： 注：已知切线、切点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂直关系，从而应用勾股定理计算。第26页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一2、如图，AB、AC分别切O于B、C，若A=600，点P是

11、圆上异于B、C的一动点，则BPC的度数是（ ）A、600B、1200C、600或1200D、1400或600BPCAO第27页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一练习与巩固：2、如图,在ABC中,AB=AC,BAC=120,A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则ADE等于_ _度. 1、如图，A、B是O上的两点，AC是O的切线，B=70，则BAC等于（ ）A. 70 B. 35 C. 20 D. 10OABC（2）（1）3、如图,在OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，O与AB相切于点A, 则O的直径为 。OAB（3）第28页，共33页，2022年，5月20日，11

12、点11分，星期一4、如图,PA、PB是O的切线,切点分别为A、B,且APB=50,点C是优弧上的一点,则ACB=_.5、如图，O的直径AB与弦AC的夹角为30，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则O的半径为（ ）A. B. C. 10D. 5 （5）（4）辅助线的作法：作过切点的半径第29页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一变式一：在ABC中，AB=2，AC= ，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切 ，则BC的长为 。ABC6、在ABC中，AB=2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切于点D ，则BD的长为 。ABCD变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4

13、，AB与圆相切于点B，且AB=2 ，弦BCOA，则BC的长为 。AOBC第30页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一7、如图,AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB。AOBCD（7）8、如图,AB为O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是O的切线。AOBCD（8）第31页，共33页，2022年，5月20日，11点11分，星期一小结：1、知识：切线的判定定理着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法： (1) 根据切线定义判定即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. (2)根据圆心到直线的距离来判定，即