利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

1、利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分第1页，共12页，2022年，5月20日，13点54分，星期一一、利用柱面坐标计算三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应，其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标 这里规定r、q 、z的变化范围为：0 r，0 q 2 ， zxyzOrzP(r, q )M(x, y, z)x yq 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标 第2页，共12页，2022年，5月20日，13点54分，星期一rr0一、利用柱面坐标计算三重积分坐标面rr0，q q 0，zz0的意义：xyzOq q 0zz0r0q 0z0 设M(x, y

2、, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应，其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标 这里规定r、q 、z的变化范围为：0 r，0 q 2 ， z 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标 第3页，共12页，2022年，5月20日，13点54分，星期一直角坐标与柱面坐标的关系：柱面坐标系中的体积元素： dv rdrdqdz柱面坐标系中的三重积分：xyzOrzP(r, q )M(x, y, z)x yq 第4页，共12页，2022年，5月20日，13点54分，星期一x2y242 解 闭区域W可表示为：r 2z4，0r2，0q2于是zx2y2或 zr24xyzO 例1 第5

3、页，共12页，2022年，5月20日，13点54分，星期一二、利用球面坐标计算三重积分这样的三个数r、j 、q 叫做点M的球面坐标 设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r 、j 、q 相对应，其中r 为原点O 与点M 间的距离，j为有向线段 与z 轴正向所夹的角，q 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有向线段 的角这里r 、j 、q 的变化范围为 0 r，0 j ，0q 2xyzOzPM(x, y, z)x yq rj第6页，共12页，2022年，5月20日，13点54分，星期一坐标面rr0，jj 0，q q 0的意义：xyzOrq j 第7页，共12页，2022年，5月20日，1

4、3点54分，星期一点的直角坐标与球面坐标的关系：球面坐标系中的体积元素： dvr2 sin j drdjdq 柱面坐标系中的三重积分：xyzOzPM(x, y, z)x yq rj第8页，共12页，2022年，5月20日，13点54分，星期一 例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积 xyzOa2a第9页，共12页，2022年，5月20日，13点54分，星期一 例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积 解 该立体所占区域W可表示为：0r2a cos j ，0ja ，0q2于是所求立体的体积为xyzOa2arj 第10页，共12页，2022年，5月20日，13点54分，星期一 例3 求均匀半球体的重心 解 取半球体的对称轴为 z 轴，原点取在球心上，又设球半径为a axyzOq jr显然，重心在z 轴上，故x y 0第11页，共12页，2022年，5月20日，13点54分，星期一 解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a， 例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量则球体