1数字电子技术基础

1、数字电子技术基础延安大学物电学院主讲：杨世平教授绪 论课程性质：学分课程，专业基础学习本课程的重要意义数字量和模拟量模拟量：在时间上和数值上连续变化的物理量如 温度、压力、语音等表示模拟量的信号，称为模拟信号，处理模拟信号的电路称为模拟电路（Analog Circuit）数字量：在时间上和数值上离散变化的物理量如 计数表示数字量的信号，称为数字信号，处理数字信号的电路称为数字电路（Digital Circuit）在信息传递和处理时，数字方式和模拟方式相比，其优点精度和可靠性高使用灵活，易于器件标准化教学安排理论学时：72实验学时：24第一章 逻辑代数基础1.1 概述1.2 逻辑代数中的三种基本

2、运算1.3 逻辑代数的基本公式1.4 逻辑代数的基本定理1.5 逻辑代数及其表示方法1.6 逻辑函数的公式化简法1.7 逻辑函数的卡诺图化简法1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简1.1 概述1.1.1 数制和码制一、数制N进制数位码：表征某位上数的大小。位权：表征该位上数的权值。 对任意N进制数 an-1an-2a1a0a-1a-m 可以表示成如下的多项式和 an-1Nn-1+an-2Nn-2+a1N1+a0N0+a-1N-1+a-mN-m 其中ai为第i位上的位码， N称为计数的基数， Ni为第i位的权。十进制数（Decimal） 十进制数有09十个数码，按逢10进1的原则计数，是人类在处理

3、数据中常用的数制。其位权排列顺序是：108,107 ,106,105,104,103,102,101,100.10-1 ,10-2 即 1000,100,10,1,0.1,0.01,0.001例如 (101.101)10=1102+0 101+1 100+1 101+0 102+1 103二进制数（Binary） 二进制数有0和1两个数码，按逢2进1的原则计数。其位权排列顺序是： 28,27 ,26,25,24,23,22,21,20.2-1 ,2-2 即1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1,0.5,0.25,0.125例如： (101.101)2=122+0 2

4、1+1 20+1 21+0 22+1 23八进制数 八进制数有07八个数码，按逢8进1的原则计数。其位权排列顺序是： 88,87 ,86,85,84,83,82,81,80.8-1 ,8-2 即 512,64,8,1,0.125,0.0625,0.015625例如 (101.101)8= 182+0 81+1 80+1 81+0 82+1 83十六进制数（Hexadecimal） 十六进制数有09,A、B、C、D、E、F十六个数码，按逢16进1的原则计数，是计算机在存储数据中常用来表示数据地址的数制。其位权排列顺序是： 168,167 ,166,165,164,163,162,161,160.

5、16-1 ,16-2 例如 (101.101)16= 1162+0 161+1 160+1 161+0 162+1 163二、 数制间的转换1. r进制转换成十进制 （anan-1a1a0a-1a-m）ranrn+an-1rn-1+a1r1+a0r0+a-1r-1+a-mr-m 例如： （10101）B24222021 (101.11)B=22+20+21+225.75 (101)O=82+8065 (71)o=78157 (101A)H=11631161104 122十进制转化成r进制整数部分：除以r取余数，直到商为0，余数从右到左排列。小数部分：乘以r取整数，整数从左到右排列。例：（100

6、.345）D（1100100.01011）B （100）D（144）o（64）H （100）D（144）o（64）H（1100100）B二进制数与八进制数间的转换 可采用“3合1或1分3”的方法。例如：(55)8=(101 101)2(177)8=(001 111 111)24. 二进制数与十六进制数间的转换 可采用“4合1或1分4”的方法。例如：(A5)16=(1010 0101)2 (BC)16(1011 1100)B (FF)16=(1111 1111)2三、码制代码定义：用来表示不同实物的数码，称为代码。特点：没有表示数量大小的含义。如：运动会号码码制定义：为便于记忆和处理，在编制码时

7、总要遵循一定的规则，这些规则就叫做码制。几种常见的BCD代码用4位二进制数码表示1位十进制数的09的十个状态，通常称二十进制代码，简称BCD（Binary Coded Decimal）代码。 编码 种类十进制数8421码余3码2421码5211码余3循环码0000000110000000000101000101000001000101102001001010010010001113001101100011010101014010001110100011101005010110001011100011006011010011100100111017011110101101110011118100

8、01011111011011110910011100111111111010权8421242152111.1.3 算术运算和逻辑运算在数字电路中，1位二进制数码的0和1不仅可以表示数量的大小，而且可以表示两种不同的逻辑状态。例如，可以用1和0分别表示一件事情的是和非、真和伪、有和无、好和坏，或者表示电路的通和断、电灯的亮和暗等等。二值逻辑：只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑。1.算术运算当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算。规则同十进制算术运算。例(1001)B和(0101)B的算术运算加法减法乘法除法 10011001100101010101010101012

9、.符号数的表示及运算在数字电路和数字电子计算机中，二进制的正负号也是用0和1表示的。在定点运算情况下，以最高位作为符号位，正数为0，负数为1。其后各位0和1表示数值。原码反码补码 例：计算 ( 1001)2-(0101)23.逻辑运算当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照某种因果关系进行的逻辑运算。逻辑代数（Logic Algebra）：按照一定规律进行运算的代数，它是分析逻辑电路的有力工具，也是进行逻辑设计的理论基础，又名开关代数（Switching Algebra）或布尔代数（Boolean Algebra）1849年，英国数学家乔治布尔提出的。返回1.2 逻辑代数中的三种

10、基本运算两个基本概念逻辑代数也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，每个逻辑变量的取值只有0和1两种可能，表示两种不同的逻辑状态。下面以三个指示灯的控制电路，来说明逻辑代数的与、或、非三种基本运算。图（a）表明，只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才发生，这种因果关系叫逻辑与（逻辑相乘）。图（b）表明，在决定事物结果的诸多条件中，只要有任何一个满足，结果就会发生，这种因果关系叫做逻辑或，也叫逻辑相加。 图（c）表明，只要条件具备了，结果便不会发生；而条件不具备时，结果一定发生。这种因果关系叫做逻辑非，也叫逻辑求反。 逻辑关系的真值表表示若以A、B表示开关的状态，并以1表示开

11、关闭合，以0表示开关断开；以Y表示指示灯的状态，并以1表示灯亮，以0表示不亮，则可列出以0、1表示的与、或、非逻辑关系的图表逻辑真值表，简称真值表。逻辑关系的代数式表示图（a） 与逻辑Y=AB图（b） 或逻辑Y=A+B图（c） 非逻辑Y=A 逻辑运算的图形符号表示与门：实现与逻辑运算的单元电路或门：实现或逻辑运算的单元电路非门（反相器）：实现非逻辑运算的单元电路4、复合逻辑运算与非逻辑运算F1=AB或非逻辑运算F2=A+B与或非逻辑运算F3=AB+CD异或运算ABF1 01 10 10 01100逻辑表达式F=AB=AB+AB ABF=1逻辑符号ABF1 01 10 10 00011同或运算逻

12、辑表达式F=A B= AB ABF=1逻辑符号“”异或逻辑运算符“”同或逻辑运算符0V3V工作原理 A、B中有一个或一个以上为低电平0V 只有A、B全为高电平3V，二极管与门电路0V3V3V3VABF3V3V3V3V0V0V0V3V0V0V0V0V正逻辑与负逻辑则输出F就为低电平0V则输出F才为高电平3VABFVL VLVLVLVHVL1 11ABF1 00 10 00000ABF0 10 01 01 1111VL VHVH VLVH VH电平关系正逻辑负逻辑正与 = 负或正或 = 负与正与非 = 负或非正或非 = 负与非正、负逻辑间关系逻辑符号等效 在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去

13、掉小圈，当一根线上有两个小圈，则无需画圈 原来的符号互换（与或、同或异或）高电平VH用逻辑1表示，低电平VL用逻辑0表示返 回正逻辑与负逻辑的概念（与门）（或门）高电平VH用逻辑0表示，低电平VL用逻辑1表示1.3 逻辑代数的基本公式 公理、定律与常用公式公理交换律结合律分配律0-1律重叠律互补律还原律反演律0 0 = 00 1 =1 0 =0 1 1 = 10+ 0 = 00+ 1 =1 + 0 =1 1+ 1 = 1A B = B A A+ B = B + A (A B) C = A (B C) (A+ B)+ C = A+ (B+ C) 自等律A ( B+ C ) = A B+ A C

14、A+ B C =( A+ B) (A+ C )A 0=0 A+ 1=1A 1=A A+ 0=AA A=0 A+A=1A A=A A+ A=AA B= A+B A+ B=AB A= A吸收律消因律包含律合并律A B+ A B =A (A+ B) (A+ B) =A A+A B=A A (A+B)=AA+ A B =A+B A (A+ B) =A B AB+ A C +BC= AB+ A C(A+B)( A+ C )(B+C)= (A+B)(A +C)证明方法利用真值表例：用真值表证明反演律A BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000 A B= A+B A+ B

15、=AB返 回等式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的公式可推广：例：证明包含律成立返 回利用基本定律1.4 逻辑代数的基本定理1.4.1 代入定理 代入定理：任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立例： A B= A+BBC替代B得由此反演律能推广到n个变量：利用反演律1.4.2 反演定理 反演定理：对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理： 若把式中的运算符“.”换成“+”, “+” 换成“.”; 常量“0”换成“1”，“1”换成“0”； 原变量换

16、成反变量，反变量换成原变量那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。注： 保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入括号 不属于单个变量上的非号有两种处理方法 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变例：F(A、B、C)其反函数为或返 回1.4.3 对偶定理 对偶定理： 对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”得到新函数式为原函数式F的对偶式F，也称对偶函数 对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即 若 F1 = F2 则F1= F2。使

17、公式的数目增加一倍。 求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。注： 函数式中有“”和“”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“”， “”换成“”。 例：其对偶式返 回1.5 逻辑函数及其表示方法1.5.1 逻辑函数用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量A、B、C、.连接起来，所得的表达式F = f（A、B、C、.）称为逻辑函数。1.5.2 逻辑函数的表示方法真值表逻辑函数式 逻辑图波形图输入变量不同取值组合与函数值间的对应关系列成表格用逻辑符号来表示函数式的运算关系输入变量输出变量取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互

18、矛盾、相互对立的两种逻辑态反映输入和输出波形变化的图形又叫时序图ABCF000001001011100110111011断“0”合“1”亮“1”灭“0”C开，F灭0000C合，A、B中有一个合，F亮11C合，A、B均断，F灭0逻辑函数式 挑出函数值为1的项1101111101111 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项 这些乘积项作逻辑加输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC、ABC、ABCF= ABC+ABC+ABC逻辑图F= ABC+ABC+ABC乘积项用与门实现，和项用或门实现波形图010011001111返 回4 从逻辑图写出逻辑式2 从逻辑式列出真值表3

19、从逻辑式画出逻辑图1 从真值表写出逻辑函数式返 回各种表示方法间的相互转换1.5.3 逻辑函数的标准形式最小项：n个变量有2n个最小项，记作mi3个变量有23（8）个最小项m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）一、 最小项和最大项乘积项和项最小项二进制数十进制数编号最小项编号i-各输入变量取值看成二进制数，对应的十进制数0 0 1A B C0 0 0m0m1m2m3m4m5m6m71000000001000000110 1 00 1 11

20、 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项 最小项的性质： 同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0。即mimj=0 (ij) 全部最小项之和为1，即 任意一组变量取值，只有一个最小 项的值为1，其它最小项的值均为0 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子例： 最大项n个变量有2n个最大项，记作in个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次） 同一组变量取值任意两个不同最大项的和为1。即Mi+Mj=1 (ij

21、) 全部最大项之积为0，即 任意一组变量取值，只有一个最大 项的值为0，其它最大项的值均为1最大项：最大项的性质： 最小项与最大项的关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系即: mi =Mi Mi =mi若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。 例：m1m3m5m7=逻辑函数的标准形式二、标准积之和( 最小项）表达式式中的每一个乘积项均为最小项F(A、B、C、D)例：求函数F(A、B、C)的标准积之和表达式解：F(A、B、C、D)利用反演律利用互补律，补上所缺变量CA B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01

22、 1 1mi01234567FMi0123456700010111例：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式 从真值表找出F为1的对应最小项解:0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 0 6 6 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑加F(A、B、C)逻辑函数的标准形式三、标准和之积( 最大项）表达式式中的每一个乘和项均为最大项F(A、B、C)例：F(A、B、C)见教材P23返 回1-6 逻辑函数的公式简化法常用的化简方法逻辑函数的最简形式函数的简化依据 逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作降低成本提高电路的工

23、作速度和可靠性逻辑函数的简化返 回最简式的标准 首先是式中乘积项最少 乘积项中含的变量少 与或表达式的简化代数法化简函数与门的输入端个数少 实现电路的与门少 下级或门输入端个数少方法： 并项： 利用将两项并为一项，且消去一个变量B 吸收： 利用A + AB = A消去多余的项AB 配项：利用和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项BC 消元：利用消去多余变量A代数法化简函数例：试简化函数解：利用反演律配项加AB消因律消项AB 或与表达式的简化F（或与式）求对偶式 F（与或式）简化 F（最简与或式）求对偶式 F（最简或与式）返 回1-7 逻辑函数的卡诺图化简法用卡诺图化简逻辑函数逻辑函数的卡诺图表

24、示法1.7.1逻辑函数的K图表示法一、 卡诺图（K图）图中的一小格对应真值表中的一行，即对应一个最小项，又称真值图A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AABBABBAABABAB1010 m0 m1 m2 m3 miABC01000111100001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD二变量K图三变量K图四变量K图二、 用卡诺图表示逻辑函数1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0。2、若已知函数的真值

25、表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。例子3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。例子图形法化简函数返 回例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图ABCF000 0 0 1 01001110010111011100111000ABC0100011110 1 110 0 0 0 0 010111001110图形法化简函数例：将F(A、B、C、D)化为最简与非与非式。解：0100011110001110CDABAB111111B CD11 ACD ABC11AC1111m14,m15两次填10000图形法化简函数K图的特点1.7

26、.2 用卡诺图化简逻辑函数 k图为方形图。n个变量的函数-k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项； k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同 有三种几何相邻：邻接、相对（行列两端）和对称（图中以0、1分割线为对称轴）方格均属相邻0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD四变量K图两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量ABD ADA1四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量十六个相邻格圈在一起，结果mi=1一、合并最小项的规则： 几何相邻的2i（i = 1、2、3n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，