几类不同增长的函数模型二

1、几类不同增长的函数模型二第1页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一 1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失。绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子。整个20世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过。 “指数爆炸”模型生态故事：“一群兔子引发的危机”第2页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一 某公司为了实现1000万元利润

2、的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？ 本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么? 本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型,实质是比较三个函数的增长情况。思考例第3页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一思考 怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢? 要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元

3、,以及奖励比例是否超过25%进行分析,才能做出正确选择。 由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合公司的要求即可。第4页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一可以看到：在区间10,1000上只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方借助计算机作出三个函数的图象第5页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一 对于模型y=0.25x，它在区间10,1000上递增，当x=20时， y=5 ，因此x(20,1000)时，y5，因此该模型不符合要求。 对于模型y=1.002x，

4、由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0 =5，由于它在10,1000上递增，因此当xx0时，y5，因此该模型也不符合要求。通过计算确认上述判断第6页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一(1) 由函数图象可以看出，它在区间10,1000上递增，而且当x=1000时，y=log71000+14.555,所以它符合奖金不超过5万元的要求。对于模型y=log7x+1(2) 再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x 10,1000时，是否有成立。第7页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一

5、令 f(x)= log7x+1-0.25x，x10,1000.利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此f(x) f(10) -0.31670,即 log7x+10.25x所以，当x 10,1000，时说明按模型y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求.第8页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一实际应用问题分析、联想、抽象、转化构建数学模型解答数学问题审 题数学化寻找解题思路还原（设）（列）（解）（答） 解答例题的过程实际上就是建立函数模型的过程，建立函数模型的程序大概如下：第9页，共34页，202

6、2年，5月20日，9点19分，星期一比较函数的增长快慢.第10页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一比较函数的增长快慢.8642-22468xyO第11页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一比较函数的增长快慢.8642-22468xyO第12页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一比较函数的增长快慢.8642-22468xyO第13页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一比较函数的增长快慢.8642-22468xyO第14页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一比较函数的增长快慢.8642-22468xyO你能

7、分别求出使成立的x的取值范围吗？第15页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一30282624222018161412108642510 xyO放大后的图象第16页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一 一般地，对于指数函数yax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0, )上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.规律总结第17页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一对于对数函数ylogax (a1)和幂函数yxn(n0)在区间(0, )上，

8、随着x的增大，logax增长得越来越慢.在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn.规律总结第18页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一在区间(0, )上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和y = xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax.规律总结

9、这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长。第19页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一例1 同一坐标系中，函数yx27和y2x的图象如图.试比较x27与2x的大小.5040302010510yx27y2xxyO第20页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一例2 已知函数yx2和ylog2(x1)的图象如图，试比较x2与log2(x1)的大小.4321-124xyOyx2ylog2(x1)第21页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一想一想：当0a1，n0时，yax，yxn，ylogax为减函数，其“衰减”速度如何？你能借助图象，类比分析吗？提示：

10、如下图所示：对于函数yax(0a1)，yxn(n0)，ylogax(0a1)尽管都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，yax(0a1)的衰减速度越来越慢，会远远小于yxn(n0)的衰减速度，而ylogax(0ax0时，就有logaxxnax.第22页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一1. 下列说法不正确的是 ( ) A. 函数y2x在(0，)上是增函数 B. 函数yx2在(0，)上是增函数C. 存在x0，当xx0时，x22x恒成立 D. 存在x0，当xx0时，2xx2恒成立练习第23页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一1

11、. 下列说法不正确的是 ( C ) A. 函数y2x在(0，)上是增函数 B. 函数yx2在(0，)上是增函数C. 存在x0，当xx0时，x22x恒成立 D. 存在x0，当xx0时，2xx2恒成立练习第24页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一2.比较函数yxn(n0)和yax(a0)，下列说法正确的是 ( ) A. 函数yxn比yax的增长速度快 B. 函数yxn比yax的增长速度慢C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数 yxn与yax的增长速度D. 以上都不正确 练习第25页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一2.比较函数yxn(n0)和yax(

12、a0)，下列说法正确的是 ( B ) A. 函数yxn比yax的增长速度快 B. 函数yxn比yax的增长速度慢C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数 yxn与yax的增长速度D. 以上都不正确 练习第26页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一3. 函数ylogax(a1)、ybx(b1)和yxc(c0)中增长速度最快的是( )A. ylogax(a1) B. ybx(b1)C. yxc(c0) D. 无法确定练习第27页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一3. 函数ylogax(a1)、ybx(b1)和yxc(c0)中增长速度最快的是( B )A.

13、 ylogax(a1) B. ybx(b1)C. yxc(c0) D. 无法确定练习第28页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一4已知幂函数yx1.4、指数y2x和对数函数ylnx的图象.如图，则A表示函数 的图象，B表示函数 .的图象，C表示函数 的图象.5432124xyOABC练习第29页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一y2x5432124xyOABC练习4已知幂函数yx1.4、指数y2x和对数函数ylnx的图象.如图，则A表示函数 的图象，B表示函数 .的图象，C表示函数 的图象.第30页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一5432124xyOABC练习4已知幂函数yx1.4、指数y2x和对数函数ylnx的图象.如图，则A表示函数 的图象，B表示函数 .的图象，C表示函数 的图象.y2xyx1.4第31页，共34页，2022年，5月20日，9点19分，星期一y2xyx1.45432124xyOABCylnx练习4已知幂函数yx1.4、指数y2x和对数函数ylnx的图象.如图，则A表