初等模型数学建模

1、初等模型数学建模第1页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一多元函数模型问题5【居民电费模型】 在中国有些地区，由于电力紧张，政府鼓励“错峰”用电。四川省电网居民生活电价表（单位：元/kwh）规定“一户一表”居民生活用电收费标准如下：1.月用电量在60kwh及以下部分，每日7:0023:00期间用电， 每千瓦时0.4724元；23:00次日7:00期间用电，每千瓦时0.2295元。2.月用电量在61至100kwh部分，每千瓦时提高标准0.08元。3.月用电量在100至150kwh部分，每千瓦时提高标准0.11元。4.月用电量在150kwh及以上部分，每千瓦时提高标准0.16元

2、。 根据以上规定，建立该地“一户一表”居民用电量与电费之间的函数关系模型。若某户居民6月份的用电量为：7:0023:00期间用了200kwh，23:00次日7:00期间用了100kwh，请计算这户居民6月份应缴纳的电费。根据所建立的模型为居民提供一个合理化的用电建议。第2页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一一 模型的假设1.电表能准确地显示每户居民各时段的月用电量，且无公摊。2.假设收费标准按月执行第3页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一二 变量说明Z 一户一表居民的月电费x 居民一个月内在时段7：0023：00的用电量y 居民一个月内在时段23：0

3、0次日7：00的用电量第4页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一三 模型的分析和建立第5页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一四 模型的求解这里x=200，y=100,因x+y=300150，所以将x=200，y=100代入电费模型中第四个得Z=150.13元第6页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一五 模型的结果第7页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一六 模型的推广第8页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一问题6 手机资费模型第9页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一一

4、模型的假设1.假设北京移动公司全球通“畅听99”共推出了4种手机套餐方案。第i种（i=1,2,3,4）依次对应表中从上到下的第i种方案。2.假设套餐费用按月计算，不累计到下月。第10页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一二 变量说明yi 北京移动公司全球通“畅听99”第i种方案的资费x 手机的本地主叫时间ai 第i种方案的月基本费bi 第i种方案中包含本地主叫分钟数ci 第i种方案中超出套餐部分本地主叫资费fi 第i种方案中除去月基本费和超出套餐部分本地 主叫费的费用第11页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一三 模型的建立第12页，共48页，2022年

5、，5月20日，20点23分，星期一四 模型的求解第13页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一四 模型的推广第14页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一几何模型问题7 切割钢板的优化模型一道生产工序是用冲床从1m*1m的钢板上压切下100块直径为0.1m的小圆板，请设计一个切割方案，尽量减少损耗。请问该圆板还能压切出更多的小圆板吗？第15页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一一 模型的准备在生产车间，如何下料使浪费最少主要取决于下料的方式本问题等同于在一正方形的纸板上裁剪一些大小相同的圆，使剩余的纸屑面积最小。我们可以先用圆规在纸上画圆

6、的方法帮助分析。事实上有多种裁剪方式，方式（1）如图2-3所示，方式（2）如图2-4所示，以及更多方式。但要使浪费的材料最少，我们可以只考虑这两种方式。第16页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一第17页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一二 模型的假设1.假设冲床能高精度的切割，使圆与圆彼此相切。2.假设不考虑钢板大小和圆的大小误差。3.假设各种切割方式都不产生废品4.假设圆与圆的接触形式为以下两种，且方式不混合：（1）4圆相切，呈正方形排列（2）6圆相切，呈三角形排列第18页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一三 变量说明l 钢板

7、的长d 钢板的宽D 圆板的直径r 圆板的半径N 圆板的数量S1 圆板的总面积S 钢板的面积W 损耗第19页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一四 模型的建立及求解此时.先考虑圆成正方形排列的情形,如图一所示.通过粗略的测算和分析,可知这时横、纵方向均可压切10个半径为0.05m的圆，共可压切1010=100个小圆板。100个小圆板的面积为钢板面积为损耗为第20页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一第21页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一利用图2-5可以计算切割圆板的层数。此时，中间每层圆板的高度为 ，边上第一层圆心与最后一层圆板圆

8、心到钢板边缘的高度之和为2r.设切割圆板的层数为n，则它应满足将d=1,r=0.05代入上式，得n=11.从而可从钢板上压切106+95=105个小圆板，大于按正方形排列时压切100个小圆板的数量.105个圆的面积为钢板面积不变,损耗为 第22页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一五 模型的结果要切出100块小圆板，可以按四圆相切，呈正方形排列的方式切割，一排十个，十排。一共一百个。如果按六圆相切，呈三角形排列的方式切割，可切出更多的圆（105个）。第23页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一六 模型的推广第24页，共48页，2022年，5月20日，20

9、点23分，星期一第25页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一排列组合及其他模型基本计数原理 这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的1. 加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,； 第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1 + n2 + + nm 种方法 .第26页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3 + 2 种方法回答是第27页，共48页，2022

10、年，5月20日，20点23分，星期一则完成这件事共有种不同的方法 .2. 乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,； 第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，第28页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有 种打扮第29页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一第30页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一一 模型的假设1.线路一与线路二不能交叉2.只能在旅行社提供的线路中考虑，3.在西安转机到北京的航班可以考虑不在同一天

11、。第31页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一二 模型的分析和建立第32页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一第33页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一三 模型的结果如果小张必选北京，则他有八种选择方案如果成都到北京必须在西安转机，且成都到西安有2个航班，西安到北京有3个航班，则小张从成都到北京有6种不同的航班安排方式。第34页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一问题9【比赛场次模型】某次网球单打比赛分两个阶段进行.第一阶段为预赛,按分组单循环赛进行,共分成四组,每组n个人。第二阶段为决赛，实行淘汰赛，由各小组的

12、前二名参加，最终决出冠军。问冠军至少要打多少场比赛？第35页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一一问题的分析第36页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一二 模型的假设假设无运动员缺赛第37页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一三 模型的建立和求解第38页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一第39页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一四 模型的推广如果这次比赛的初赛和决赛均实行淘汰赛，问冠军至少要打多少场比赛？第40页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一问题10【排队打水模型】

13、每天下午5:00至5:30之间开水房的拥塞每位同学都深有感触，有些人喜欢一个人占几个水龙头，对每个人来讲，最好的办法是在不违反排队顺序的前提下尽可能早的接触水龙头。事实上大家也基本上是这样做的。试分析最节省时间的打水方案。第41页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一一 模型的假设1.假设有2个水龙头，有2n个人来打水，每人两个壶。2.假设每打一壶水需要的时间固定。第42页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一二 变量说明t 打一壶水需要的时间第43页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一三 模型的建立下面考虑两种排队打水方式：方式A（经验

14、方法）：两个人同时各用一个水龙头。相当于有2列，每列的情况为：第1人需要2t min,则n个人都花了2t min 第二人的打水时间为2t，则一共有(n-1)个人花了2tmin,以此类推，其中一列打完需要的时间为：2t*n+2t*(n-1)+.+2t=2t(1+2+。+n)=tn(n+1)则2n个全打完。共需要时间2tn(n+1) 第44页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一 方式B：只有1列，每次分配水龙头时都优先满足最前面的一个人。这样，第一个人先用两个水龙头，要t min,等他打完了第二个人再用。第2个人的等待时间和打水的时间共为t+t=2t min，以此类推，将2n个水壶打满水，共需要的时间为 t(1+2+3+2n)=tn(n+1)/2.第45页，共48页，2022年，5月20日，20点23分，星期一四 模型的求解如果n=5.t=1方式A需要的时间为：2*1*5*(5+1)=60（min）方式B需要的时间为:1+2+3+4+5+6+7+