《常微分方程》答案 习题1.2

1、精细；挑选；习题1.21.=2xy并满足初始条件：x=O,y=l的特解。dx解：丄=2xdx两边积分有：lnlyl=x2+cyy=ex2+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y=cex2,x=0y=1时c=1特解为y=ex2.2.y2dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。dy1解：y2dx=-(x+1)dydy=-dxy2x+1两边积分:-1y=-lnlx+1l+lnlcl1Inlc(x+1)l另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e特解：y=1Inlc(x+1)ldydx1+y2xy+x3y解：原方程为：dydx1+

2、y21yx+x3TOC o 1-5 h z1+y21dy=dx HYPERLINK l bookmark2 o Current Document yx+x3两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx2(1+x)ydx+(1-y)xdy=0-yx+1解：原方程为：dy=-dxyx两边积分：lnlxyl+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。(y+x)dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dy=xydxx+yTOC o 1-5 h zydydu令=u则=U+X代入有:xdxdxu+11-du=dxu2+1xln(ue3x-3e-y2=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0dyyy+1)

3、x2=c-2arctguy即ln(y2+x2)=c-2arctgx2dyix-y+x2y2=0dx解：原方程为：dyylxldX=x+xy则令一=ux解:原方程为：dydxtgyctgxTOC o 1-5 h zdydu=u+x-dxdx1du=sgnxdxv1u2xyarcsin=sgnxlnlxl+cx7.tgydx-ctgxdy=0ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|c两边积分1siny=另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.ccosxcosx所以原方程的通解为sinycosx=c.dyey2+3x8+=0dxydyey2解：原方程为：=e解：原方程为：=Indxxx

4、xdxy精品文档14：精细；挑选；ydy令x=u，则dxdu=u+xdxduu+x=ulnudxln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.xdy10.=ex-ydxdy解：原方程为：了=exe-ydxey=cexdy11=(x+y)2dxdydu解：令x+y=u,则=-1dxdxdu-1=u2dx1du二dx1+u2arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dx1(x+y)2dydu解：令x+y=u,则=-1dxdxdu1dxu2u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.dy2x一y+1dxx2y+1解：原方程为：(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dxxdy

5、+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y2-y)-dx2+x=cxy-y2+y-x2-x=cdx解：原方程为：(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0精品文档精细；挑选；11dxy-d(少yduuu将1代入2式有：-=(1+u2)xdxx2xu=；u2+2+cx求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设(x+y)为所求曲线上任意一点，贝切线方程为：y=y(x-x)+y+2y)-d(少x2+5x)=0y2+4y+x2+10 x-2xy=c.dy15：=(X+1)2+(4y+l)2+8xy+1dx2+3解：原

6、方程为：J=(x+4y)dxdy1du令x+4y=u贝9=dx4dx1du1-=u2+34dx4du=4u2+13dxu=tg(6x+c)-12tg(6x+c)=3(x+4y+1).16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程:ydx1)y(1+x2y2)dx=xdyTOC o 1-5 h zxdy2+x2y22)=ydx2-x2y2证明：dydu令xy=u,贝9x+y=-dxdxdy则dX=1duxdx，有:x2xdu=f(u)+1udx1u(f(u)+1)1du=dxx所以原方程可化为变量分离方程。dy1duu1)令xy=u贝9=-(1)dxxdxx2dyy原方程可化为：=1+(xy)2dxx则与X轴，y轴交点分别为:x=x0一yy=y-xy00则x=2x0=X-0所以xy=c0y求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中Q二一。4y解：由题意得：y=x11dy=dxyxln|y|=ln|xc|y=cx.a=则y=tgax所以c=1y=x.4证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y=kx则:y=kx2+c即为所求。感恩和爱是亲姐妹。有感恩的地方就有爱，有爱的地方就有感恩。一方在哪里，另一方迟早会出现。你做一切都是为自己做，