二次函数在闭区间上的最值问题

1、二次函数在闭区间上的最值问题湖北省荆州中学鄢先进二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。类型一定轴定区间例1.已知函数f(x)二x2-2x，求f(x)的最小值.解：f(x)=x2一2x=(x一1)2一1由图像可知，当x二1时，f(x)=-1min变式1.已知函数f(x)二x2-2x,xe2,4，求f(x)的最小值。分析：由图像可知，函数f(x)在2,4为增函数,f(x)二f二

2、0min变式2.已知函数f(x)二x2-2x，xe0,3，求f(x)的最大值.分析：由图像可知函数f(x)在0,1上递减，在1,3上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。f(x)二f二31一4，11上的最大值为5,求实数max例2.已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间a的值。解:将二次函数配方得f(x)二a(x+2)2+a2-4a-1，函数图像对称轴方程为x=-2,顶点坐标为(-2，a2-4a-1)，图像开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间4，1内。若a0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x=1时，函数f(x)取得最大值5即f(1)=5a+a21=5，解得a=

3、1或a=6，故a=1(a=6舍去)综上可知：函数f(x)在区间14,1上取得最大值5时，a=2-爲0或a=1点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a变化的，要注意讨论。小结：二次函数f(x)=a(xk)2+h(a0)在区间m,n最值问题。若kem,n，则f(x)=f(k)=h，f(x

4、)=maxf(m)-f(n)TOC o 1-5 h zminmax若k电m,n，当kn时，f(x)=f(n)，f(x)=f(m)minmax当a0时，仿此讨论类型二定轴动区间例3.已知函数y=x22x,xe2,a，求函数的最小值g(a).分析：由于函数图像的对称轴为x二1，区间左端点固定，区间右端点的位置不能确定，所以需分两类进行讨论，即对称轴在区间-2,a内，对称轴在区间-2,a右侧。解：T函数y二X2-2x二(x-1)2-1当-2a1时，函数在-2,1上单调递减，在1,a上单调递增，则当x二1时，y-1。minla2一2a-2a1x2例4.已知函数f(x)=-一+x+6在区间m,n上的值域

5、是2m-2,2n-2，求m,n的2值.分析：由于函数图像的对称轴为x二1，而区间左右端点值均含有参数，所以要分三类进行讨论，即对称轴在区间右侧对称轴在区间内对称轴在区间左侧解:f(x)宁+x+6二-扣-1)2+123若mn1，则f(x)=f(n)=2n一2.f(x)=f(m)=2m-经验证无解。maxmin若m1n.则f(x)在区间m,1单调递增，在1,n上单调递减，因此f(x)=f(1)=2n-2.f(x)在x=m或x=n处取最小值2m-2。maxTOC o 1-5 h z1317故2n-2=得n=.24171339由于2m-20故f(x)在x=m处取最小值2m-2.4232113即(m1)

6、2+一=2m2解得m=-117.22若1mn.则f(x)=f(m)=2n一2.f(x)=f(n)=2m一2.maxmin解得m=2,n=4.综上可知m=1yVl174点拨：当二次函数解析式确定，但自变量取值区间变化时，需根据对称轴和区间的位置关系，对区间参数进行讨论。类型三动轴定区间例5.求f(x)二x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值。分析：因为有自变量有限制条件，要求函数最值，最好是先作出函数图像，作二次函数图像时先看开口方向，再看对称轴的位置，因为此函数图像对称轴x二a.位置不定,并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要以对称轴的位置进行分类讨论。解：f(x)=(x一a)21a2，

7、对称轴为x二a.minmax当0a1时，由图可知，f(x)=f(a)-1a2,f(x)=f=34a.minmax当1a2时，由图可知，f(x)-f-34a,f(x)-f(0)-1.minmax点拨：当二次函数开口方向和给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间的位置关系即可，结合图像需分两种或三种情况讨论。例6.已知二次函数f(x)-x2+2ax+1a在0,1上有最大值2，求a的值.角解f(x)(xa)2+a2a+1.当a1时，f(x)=f(1)=2，得a=2max综上可知：a=1或a=2点拨：求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”，“三点”即区间端点与区间中

8、点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论。类型四动轴动区间例7.设a是正实数，ax+y=2(x0,y0).若y+3xx2的最大值是M(a).求M(a)2的表达式.分析：该题是二元函数求最大值，应先由ax+y=2解出y代入，消元，转化为关于x的二次函数，再求最大值。解：设f(x)=y+3xx22由ax+y=2得y=2axf(x)=(2ax)+3xx2=x(3a)2+(3a)2+2.2y02ax0.又a0,x0，/.xe0,.a2当03a0)即0a1或2a(a0)即1a2时a226M(a)=f()=+aa2a当3a3时M(a)=f(0)=2综上可知：M(a)=2(3a)2+2(0a或12a3)

9、(1a2)a2a点拨：当二次函数对称轴和区间都不固定时，还是应先配方，理清函数对称轴和区间的位置关系，然后对参数进行讨论。通过前面二次函数在闭区间上的最值问题的四类题型，我们可以发现二次函数的最值总是在对称轴或区间端点处取得，要是同学们理解了这一点，解决问题还会有意想不到的效果。3例8.已知函数f(x)二ax2+(2a-1)x-3(a丰0)在区间-,2上最大值为1,求实数2a的值.分析：若按常规方法从求函数最大值直接入手,则需作如下分类讨论：当a0时，分两种情况讨论最大值。一共有五种情形,过程繁琐。产生在二次函数的顶点或端点处，若从整体角度分析，注意到函数f(x)的最大值只可能这样可以先求函数

10、f(x)在顶点和端点的函数值，再逐一验证参数的正确性即可。解：函数f(x)的最大值只能在x1=-，或2，或x3处取得令=1，解得a=10，此时x=m302a=-3ei-，I.故f(x)的最大值不可能在xi处取得.(a=弓抛物线开口向下)令f=1，解得a=3，此时xo=審-W故f(x)=f(2)，得32max3a=，符合题意.4令f=1，解得a=斗要使f(x)在xo=导处取得最大值，必须且只须a0且xoe-2，2，经检验，只有a=-于合题意综上可知：a=4或a=-斗点拨：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点(闭区间的端点、抛物线的顶点)的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间

11、二次函数最值问题的一种有效方法。其实二次函数在闭区间上最值问题的本质就是讨论函数在区间内的单调性，在解决有关二次函数的最值问题时，我们要充分利用二次函数图像来分析问题，结合开口方向，对称轴和所给区间的位置关系，合理的进行分类讨论，有时采用逆向思维，还会有事半功倍的效果。巩固训练1已知函数y=x2-2x+3,xg0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是()A.1,+8)B.0,2C.1,2D.(s,2已知函数fx)=x22x+2的定义域和值域均为1,b,则b=.已知定义在区间0,3上的函数f(x)=kx22kx的最大值为3,那么实数k的取值范围为若函数f(x)=-x2+13在区间a,b上的最大值为2b，最小值为2a，求区间a,b。22已知2x23x，求函数f(x)