例谈放缩法证明不等式的基本策略

1、例谈“放放缩法”证明不不等式的的基本策策略江苏省苏苏州市木木渎第二二高级中学学 母建建军 21551011近年来在在高考解解答题中中，常渗渗透不等等式证明明的内容容，而不等式式的证明明是高中中数学中中的一个个难点，它可以以考察学学生逻辑辑思维能能力以及及分析问问题和解解决问题题的能力力。特别值值得一提提的是，高考中中可以用“放缩法法”证明不不等式的的频率很很高，它它是思考考不等关关系的朴朴素思想想和基本本出发点点, 有极极大的迁迁移性, 对它它的运用用往往能能体现出出创造性性。“放缩法法”它可以以和很多多知识内容容结合，对应变变能力有有较高的的要求。因为放缩缩必须有有目标，而且要要恰到好好处，

2、目目标往往往要从证证明的结结论考察察，放缩缩时要注注意适度度，否则则就不能同同向传递递。下面结合合一些高高考试题题，例谈“放缩”的基本本策略，期望对对读者能能有所帮帮助。1、添加加或舍弃弃一些正正项（或或负项）例1、已知求证证：证明： 若多项式式中加上上一些正正的值，多项式式的值变变大，多多项式中中加上一一些负的的值，多多项式的的值变小小。由于于证明不不等式的的需要，有时需需要舍去去或添加加一些项项，使不不等式一一边放大大或缩小小，利用用不等式式的传递递性，达达到证明明的目的的。本题题在放缩缩时就舍舍去了，从而是是使和式式得到化化简.2、先放放缩再求求和（或或先求和和再放缩缩）例2、函函数f（

3、x）=，求证：f（1）+f（2）+f（n）n+.证明：由由f(n)= =1-得f（11）+ff（2）+f（n）.此题不等等式左边边不易求求和,此此时根据据不等式式右边特特征, 先将分分子变为为常数，再对分分母进行行放缩，从而对对左边可可以进行行求和. 若分子, 分母如如果同时时存在变变量时, 要设设法使其其中之一一变为常常量，分分式的放放缩对于于分子分分母均取取正值的的分式。如需放放大，则则只要把把分子放放大或分分母缩小小即可；如需缩缩小，则则只要把把分子缩缩小或分分母放大大即可。3、先放放缩，后后裂项（或先裂项再放放缩）例3、已已知an=n ，求证： eq o(,ssupp5(nn),sdd

4、o5(k=1) eq f( eq r(k) , eq ao(2,k) ) 3证明： eq o(,ssupp5(nn),sddo5(k=1) = eq o(,ssupp5(nn),sddo5(k=1) 1 eq o(,ssupp5(nn),sddo5(k=2) eq f(1, eq r(k1)k(k1) ) eq o(,ssupp5(nn),sddo5(k=2) eq f(2, eq r(k1)(k1) ( eq r(k1) eq r(k1) ) =1 eq o(,ssupp5(nn),sddo5(k=2) ( eq f(1, eq r(k1) ) eq f(1, eq r(k1) ) ) =1

5、11 eq f(1, eq r(n1) ) 23本题先采采用减小小分母的的两次放放缩，再再裂项，最后又又放缩，有的放放矢，直直达目标标.4、放大大或缩小小“因式”；例4、已已知数列列满足求证证：证明 本题通过过对因式式放大，而得到到一个容容易求和和的式子子，最终终得出证证明.5、逐项项放大或或缩小例5、设设求证： 证明明： ， 本题利用用，对中每每项都进进行了放放缩，从从而得到到可以求求和的数数列，达达到化简简的目的的。6、固定定一部分分项，放放缩另外外的项；例6、求求证：证明：此题采用用了从第第三项开开始拆项项放缩的的技巧，放缩拆拆项时，不一定定从第一一项开始始，须根根据具体体题型分分别对待

6、待，即不不能放的的太宽，也不能能缩的太太窄，真真正做到到恰倒好好处。7、利用用基本不不等式放放缩例7、已已知，证证明：不不等式对对任何正正整数都都成立.证明：要要证，只只要证 .因为 ，故只要证证 ，即只要证证 .因为，所以命题题得证.本题通过过化简整整理之后后，再利利用基本本不等式式由放大即可可.8、先适适当组合合, 排序序, 再逐逐项比较较或放缩缩例8、.已知ii，m、n是正整整数，且且1iimn.(1)证证明：nniAmiA；(22)证明明：(11+m)n(11+n)m证明：(1)对对于1im，且AA =m(mi+1)，由于mn，对于于整数kk=1，2，i1，有，所以(2)由由二项式式定

7、理有有：(1+mm)n=1+Cm+Cm2+Cmn，(1+nn)m=1+Cn+Cn2+Cnm，由(1)知miAniA (1imn ，而CC=miCCinniCim(1mnm0CC=n0C=1，mC=nC=mn，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+CCm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n(11+n)m成立.以上介绍绍了用“放缩法法”证明不不等式的的几种常常用策略略，解题题的关键键在于根根据问题题的特征征选择恰恰当的方方法，有有时还需需要几种种方法融融为一体体。在证证明过程程中，适适当地进进行放缩缩，可以以化繁为为简、化化难为易易，达到到事半功功倍的效效果。但但放缩的的范围较较难把握握，常常常出现放放缩后得得不出结结论或得得到相反反的现象象。因此此，使用用放缩法法时，如如何确定定放缩目目标尤为为重要。要想正正确确定定放缩目目标，就就必须根根据欲证证结论，抓住题题目的特特点。掌掌握放缩缩技巧，真正做做到弄懂懂弄通，并且还还要根据据不同题题目的类