同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章-函数与极限

1、第一章 函数与极限教学目的：1、懂得函数的概念, 把握函数的表示方法, 并会建立简洁应用问题中的函数关系式；2、明白函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；3、懂得复合函数及分段函数的概念, 明白反函数及隐函数的概念；4、把握基本初等函数的性质及其图形；以及懂得极限的概念, 懂得函数左极限与右极限的概念,5、极限存在与左、右极限之间的关系；6、把握极限的性质及四就运算法就；7、明白极限存在的两个准就, 并会利用它们求极限, 把握利用两个重要极限求极限的方法；8、懂得无穷小、无穷大的概念,把握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限；9、懂得函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类

2、型；10、明白连续函数的性质和初等函数的连续性,明白闭区间上1 连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质；教学重点：1、 复合函数及分段函数的概念；2、 基本初等函数的性质及其图形；3、 极限的概念极限的性质及四就运算法就；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小的比较；6、 函数连续性及初等函数的连续性；7、 区间上连续函数的性质；教学难点：1、 分段函数的建立与性质；2、 左极限与右极限概念及应用；3、 极限存在的两个准就的应用；4、 间断点及其分类；5、 闭区间上连续函数性质的应用；1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念2 集合 简称集 : 集合是

3、指具有某种特定性质的事物的总体 . 用 A, B, C .等表示 . 元素 : 组成集合的事物称为集合的元素 为 a M. 集合的表示 : . a 是集合 M 的元素表示列举法 : 把集合的全体元素一一列举出来 . 例如 A a, b, c, d, e, f, g. 描述法 : 如集合 M 是由元素具有某种性质 P 的元素 x 的全体所 组成 , 就 M 可表示为A a1, a2, , an, M x | x 具有性质 P . 例如 M x, y| x, y 为实数 , x 2 y 2 1. 几个数集 : N 表示全部自然数构成的集合, 称为自然数集 . N 0, 1, 2, , n, . N

4、1, 2, , n, . R 表示全部实数构成的集合 Z 表示全部整数构成的集合, 称为实数集 . , 称为整数集 . Z , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . Q 表示全部有理数构成的集合3 Qp|pZ,qN且p与q 互质q子集 : 如 x A, 就必有 x B, 就称 A 是 B 的子集 , 记为 A B读作 A 包含于 B或 B A . 假如集合 A 与集合 B 互为子集 , A B 且 B A, 就称集合 A 与集合 B 相等, 记作 A B. 如 A B 且 A B, 就称 A 是 B 的真子集 , 记作 A B . 例如 , N Z Q R . 不含任何元素的集

5、合称为空集 , 记作 . 规定空集是任何集合的子集 . 2. 集合的运算设 A、B 是两个集合 , 由全部属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集简称并 , 记作 A B, 即A B x|x A 或 x B. 设 A、B 是两个集合 , 由全部既属于A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集简称交 , 记作 A B, 即 A B x|x A 且 x B. 设 A、B 是两个集合 , 由全部属于 A 而不属于 B 的元素组成的 集合称为 A 与 B 的差集简称差 , 记作 A B, 即 A B x|x A 且 x B. 4 假如我们争论某个问题限定在一个大的

6、集合 I 中进行 , 所争论 的其他集合 A 都是 I 的子集 . 此时, 我们称集合 I 为全集或基本集 . 称 IA 为 A 的余集或补集 , 记作 AC. 集合运算的法就 : 设 A、B、C 为任意三个集合 , 就1交换律 AB BA, AB BA; C ABC; C; 2结合律ABC ABC, A B3安排律ABC ACBC, ABC ACB4对偶律ABC A CB C, ABC A CB C. x A CB C, ABC A CB C 的证明 : C 且 x BCx AB Cx ABx A 且 x Bx A所以 ABC A CB C. 直积笛卡儿乘积 : 设 A、B 是任意两个集合

7、, 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集 合 B 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对 x, y, 把这样的有序对作为新元素 , 它们全体组成的集合称为集合 A B, 即 A B x, y|x A 且 y B. A 与集合 B 的直积 , 记为例如, R R x, y| x R 且 y R 即为 xOy 面上全体点的集合 , 5 R R 常记作 R 2.3. 区间和邻域 有限区间 : 设 ab, 称数集 x|axb 为开区间 , 记为a, b, 即a, b x|axb. 类似地有a, b x | a x b 称为闭区间 , a, b x | a xb 、a, b x | ax b 称为半

8、开区间 . 其中 a 和 b 称为区间 a, b、a, b、a, b、a, b的端点 , b a 称为区间的长度 . 无限区间 : a, x | a x , , b x | x b , , x | | x | . 区间在数轴上的表示 : 邻域 : 以点 a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域 , 记作 Ua. 设是一正数 , 就称开区间 a, a为点 a 的邻域 , 记作 Ua, , 即6 Ua, x | a x a x | | x a| . 其中点 a 称为邻域的中心 , 去心邻域 U a, : 称为邻域的半径 . U a, x |0| x a |1 时, y 1 x. 13 例如f1212

9、; f 1212; f3 1 3 4. 222. 函数的几种特性 1函数的有界性 设函数 fx的定义域为 D, 数集 X D. 假如存在数 K1, 使对任一 x X, 有 fx K1, 就称函数 fx在 X 上有上界 , 而称 K1 为函数 fx在 X 上的一个上界 . 图形特点是 y fx的图形在直线 y K1 的下方 . 假如存在数 K2, 使对任一 x X, 有 fxK2, 就称函数 fx在 X上有下界 , 而称 K 2为函数 fx在 X 上的一个下界 . 图形特点是 , 函数 y fx的图形在直线 y K2 的上方 . 假如存在正数 M, 使对任一 x X, 有| fx | M, 就称

10、函数 fx在 X 上有界 ; 假如这样的 M 不存在 , 就称函数 fx在 X 上无界 . 图形特点是 , 函数 y fx的图形在直线 yM 和 y M 的之间 . 函数 fx无界, 就是说对任何 M, 总存在 x1 X, 使| fx | M. 例如1fx sin x 在 , 上是有界的 : |sin x| 1. 2函数 f x 1x 在开区间 0, 1内是无上界的 . 或者说它在 0, 1内有下界 , 无上界 . 这是由于 , 对于任一 M1, 总有 x1:0 x 111, 使Mfx 1 1M, x 114 所以函数无上界 . 函数f x 1在1, 2内是有界的 . x2函数的单调性设函数

11、yfx的定义域为 D, 区间 ID. 假如对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当 x1x2 时, 恒有fx1 fx2, 就称函数 fx在区间 I 上是单调增加的 . 假如对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当 x1 fx2, 就称函数 fx在区间 I 上是单调削减的 . 单调增加和单调削减的函数统称为单调函数 . 函数单调性举例 : 函数 y x 2在区间 , 0上是单调增加的 , 在区间 0, 上是单调削减的 , 在（, ）上不是单调的 . 3函数的奇偶性设函数 fx的定义域 D 关于原点对称 即如 x D, 就 x D. 假如对于任一 x D, 有f x fx, 就称 fx

12、为偶函数 . 15 假如对于任一 x D, 有f x fx, 就称 fx为奇函数 . 偶函数的图形关于y 轴对称 , 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例 : y x 2, y cos x 都是偶函数 . y x 3, y sin x 都是奇函数 , y sin x cos x 是非奇非偶函数 . 4函数的周期性设函数 fx的定义域为 D. 假如存在一个正数 l , 使得对于任一x D 有x l D, 且fx l fx 就称 fx为周期函数 , l 称为 fx的周期 . 周期函数的图形特点 : 在函数的定义域内 , 每个长度为 l 的区间上 , 函数的图形有相同的外形 . 3反函数与复合函

13、数反函数 : 设函数 f : DfD是单射 , 就它存在逆映射 f1: fDD, 称此映射 f1 为函数 f 的反函数 . 按此定义 , 对每个 y fD, 有唯独的 x D, 使得 fx y, 于是有16 f1y x. 1 的对应法就是完全由函数f 的对应法就所确定这就是说 , 反函数 f的. 一般地 , y fx, x D 的反函数记成 y f1x, x fD. 如 f 是定义在 D 上的单调函数 , 就 f : D fD是单射 , 于是 f 的反函数 f 1 必定存在 , 而且简洁证明 f 1也是 fD上的单调函数 . 相对于反函数 y f 1x来说 , 原先的函数 y fx称为直接函数

14、 . 把函数 y fx和它的反函数y f 1x的图形画在同一坐标平面上 , 这两个图形关于直线 y x 是对称的 . 这是由于假如 Pa, b是 y fx图形上的点 , 就有 b fa. 按反函数的定义 , 有 a f 1b, 故 Qb, a是 y f 1x图形上的点 ; 反之 , 如Qb, a是 y f 1x图形上的点 , 就 Pa, b是 y fx图形上的点 . 而 Pa, b与 Qb, a是关于直线 y x 对称的 . 复合函数 : 复合函数是复合映射的一种特例, 依据通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述 . 设函数 y fu的定义域为 D 1, 函数 u gx在 D 上有定义且

15、gDD 1, 就由下式确定的函数y fgx, x D17 称为由函数u gx和函数 y fu构成的复合函数 , 它的定义域为D, 变量 u 称为中间变量 . 函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 f g , 即 fgx. f g 与复合映射一样 , g 与 f 构成的复合函数 f g 的条件是 : 是函数 g 在 D 上的值域 gD必需含在 f 的定义域 D f内, 即 gD D f. 否就 , 不 能构成复合函数 . D例 如 , y fu arcsin u, 的 定 义 域 为 1, 1, ugx 21x2在,133,1上有定义 , 且 gD 1, 1, 就 g 与 f 可构成复合

16、函22数yarcsin 21x2, x D; 但函数 y arcsin u 和函数 u 2 x 2 不能构成复合函数 , 这是由于对任 x R, u 2 x 2 均不在 y arcsin u 的定义域 1, 1内. 多个函数的复合 : 4. 函数的运算设函数 fx, gx的定义域依次为 D 1, D 2, D D 1D 2, 就我们可以定义这两个函数的以下运算: 和差fg : fgx fx gx, x D; 积 f g : f gx fx gx, x D; 18 商g f : fxfx, x D x|gx 0. ggx例 11设函数 fx的定义域为 l, l, 证明必存在 l, l上的偶函数

17、gx及奇函数 hx, 使得 fx gx hx. 分析 假如 fx gx hx, 就 f x gx hx, 于是且gx1fxfx, hx 1fxfx . 22证 作gx 1 2fxfx, h x 1fxfx , 就 fx gx hx, 2gx 1 2fxfx gx , fx hx. fx1fx hx 1 2fx 25. 初等函数 基本初等函数 : 幂函数 : y x R 是常数 ; 指数函数 : y a xa 0 且 a 1; 对数函数 : y loga x a 0 且 a 1, 特殊当 a e 时, 记为 y ln x; 三角函数 : y sin x, y cos x, y tan x, y

18、cot x, y sec x, y csc x; 反三角函数 : y arcsin x, y arccos x, y arctan x, y arccot x . 初等函数 : 由常数和基本初等函数经过有限次 的四就运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示 的函数 , 称为初等函数 . 例如19 y1 x2, ey sin 2x, yO1y=shxycot x 2y=ch x1等都是初等函数 . exx; -1y= e-x 12xy= ex 12双曲函数 : 双曲正弦 : sh x2双曲余弦 : chxexex; 2双曲正切 : thxsh xexex. chxexex双曲函数的性

19、质 : shx y sh x ch y ch x sh y; yOy=th xchx y ch x ch y sh x sh y. ch 2x sh 2x 1; xsh2x 2sh x ch x; ch2x ch 2x sh 2x . y下面证明shx y sh x ch y ch x sh y: sh x ch ychx sh yexexeyeyexexeye2222yexyeyxexyexyexyeyxexyex4420 exyexyshxy . 2反双曲函数 : 双曲函数 y sh x, y ch xx 0, y th x 的反函数依次为 反双曲正弦 : y arsh x; 反双曲余弦

20、: y arch x; 反双曲正切 : y arth x . 反双曲函数的表示达式 : y arsh x 是 x sh y 的反函数 , 因此, 从xeyey2中解出 y 来便是 arsh x . 令 u ey, 就由上式有 u 2 2x u 1 0. 这是关于 u 的一个二次方程 , 它的根为uxx21. 由于 u ey0, 故上式根号前应取正号 , 于是uxx21. 由于 y ln u, 故得yarsh xlnxx21. , , 它是奇函数 , 在区间 , 函数 y arsh x 的定义域为 内为单调增加的 . 21 类似地可得yarch xlnxx21, yarthx1ln1x. 21x

21、22 1 2 数列的极限一个实际问题如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆 第一作内接正四边形 它的面积记为 A1；再作内接正八边形 它的面积记为 A2；再作内接正十六边形 它的面积记为A3；如此下去 每次边数加倍 一般把内接正 8 2 n 1 边形的面积记为 An 这样就得到一系列内接正多边形的面积A1 A2 A3 An设想 n 无限增大（记为 n 读作 n 趋于穷大）即内接正多边形的边数无限增加 在这个过程中 内接正多边形无限接近于圆 同时 An 也无限接近于某一确定的数值这个确定的数值就懂得为圆的面积 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列）A1 A2A3 An 当 n 时的极限

22、数列的概念 假如依据某一法就 使得对任何一个正整数 n 有一个确定的数 xn 就得到一列有次序的数x1 x2 x3 xn这一列有次序的数就叫做数列 记为xn 其中第 n 项 xn 叫做数列的一般项23 数列的例子 n n 1 12 23 34 n n12 n 2 4 8 2 n2 1 n 12 14 18 2 1n 1 n 1 1 1 1 1 n 1 n n 1 n 1 2 12 43 n n 1 n 1它们的一般项依次为n n1 2n2 1 1 n n 1 n n 1 n 1数列的几何意义 数列 xn 可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点 x1 x2 x3 xn数列与函数 数列 xn

23、 可以看作自变量为正整数 n 的函数xn f n它的定义域是全体正整数数列的极限数列的极限的通俗定义 ：对于数列 xn假如当 n 无限增大时数列的一般项xn 无限地接近于某一确定的数值xna 就称常数 a 是数列 xn 的极限或称数列 xn收敛 a记为nlima假如数列没有极限就说数列是发散的例如n lim nn11lim n1 2 n0lim nn1 n11n24 而 2 n 1n1是发散的对无限接近的刻划 xn无限接近于 a 等价于 |xn a |无限接近于 0 极限的精确定义定义 假如数列 xn 与常 a 有以下关系 对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正整数 N 使得对于 n N

24、时的一切 xn 不等 式|xn a |0要使|xn 1|1 只要 n证明由于0, N1N当 n N 时25 |xn 1|n1n1|111n11即n11nn所以lim nn1n11n例 2 证明lim n1 n0 n12分析 |xn 0|1 n20| n12 n11n1对于0要使|xn 0|只要证明由于0N11N当 n N 时有|xn 0|1n0| n1211n121n所以lim n1n0 n1 2例 3 设|q |0要使|x n 0| | q n 1 0| |q| n 1log|q|1 就可以了故可取 N log|q|1；证明由于对于任意给定的 0存在 N log |q|1当 n N 时 有|

25、 q n 1 0| |q| n 126 所以lim nq n10收敛数列的性质定理 1极限的唯独性 数列xn不能收敛于两个不同的极限证明假设同时有nlimxna及nlimxnb且 a0存在充分大的正整数2使当 nN 时同时有ba|xn a|b2a及|xn b|N 时的一切 xn 不等式|xn a|N 时取 M max|x 1|x 2|xn| |xna a| | xn a| |a|0 N N + 当 n N 时 有|xn a|取 K N就当 k K 时 nk k K N于是|x nka|这就证明白klimx ka争论1对于某一正数0假如存在正整数N使得当n N 时有|xn a| 0 是否有 xn

26、a n假如数列 xn收敛那么数列 xn肯定有界发散的数列是否2肯定无界 . 有界的数列是否收敛 .29 3 数列的子数列假如发散 原数列是否发散 . 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的收敛性如何 .发散的数列的子数列都发散吗？4如何判定数列11 11 1N 1是发散的？30 31 1 3 函数的极限一、函数极限的定义函数的自变量有几种不同的变化趋势x 无限接近 x0 xx0 xx0 x 从 x0 的左侧 即小于 x0无限接近 x0 xx0 x 从 x0 的右侧 即大于 x0无限接近 x0 x 的肯定值 |x|无限增大xx 小于零且肯定值 |x|无限增大xx 大于零且肯定值 |x|无限

27、增大x1自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义假如当 x 无限接近于 x0 函数 fx的值无限接近于常数 A 就称当 x 趋于 x0 时 fx以 A 为极限 记作x lim x 0 fx A 或 fx A当 x x 分析 在 x x0 的过程中 fx无限接近于 A 就是|fx A|能任意小 或者说 在 x 与 x0 接近到肯定程度 比如|x x0| 为某一正数 时 |fx A|可以小于任意给定的 小的正数 即 fx A| 反之 对于任意给定的正数 假如 x 与 x0 接近到肯定程度 比如|x x0|为某一正数 就有|fx A| 就能保证当 x x0时 fx无限接近于 A32 定义 1 设函数 f

28、x在点 x0 的某一去心邻域内有定义 假如存在常数 A 对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正数 使得当 x 满意不等式 0|x x0| 时 对应的函数值 fx都满意不等式|fx A|那么常数 A 就叫做函数 fx当 xx0时的极限记为lim x x 0f xA或 fxA当 xx0定义的简洁表述l i m x x 0 xA00当 0 |x x0|时 |fx A|函数极限的几何意义 : 例 1 证明lim x x 0cc时有证明这里|fx A| |c c| 0由于0可任取0当 0 |x x0|fx A| |c c| 0所以lim x x 0cc0要使|fx A|只要 x x0|例 2 证明l

29、im x x 0 xx 0分析 |fx A| |x x0| 因此所以证明由于0当 0 |x x0|时有|fx A| |x x0|lim x x 0 xx0例 3 证明lim x 12 x1133 分析 |fx A| |2x 1 1| 2|x 1|0要使|fx A|0只要|x|122当0 |x 1|时有证 明因 为/2|fx A| |2x 1 1| 2|x 1|所以lim x 12x11lim x 2x 1 x12例 4 证明1分析 留意函数在 x 1 是没有定义的 极限并无关系但这与函数在该点是否有当 x 1 时|fx A|x212|x 1|0 要使|fx A|只要x1|x 1|证 明2|因

30、为0当0 |x 1|时有|fx A|x21|x 1|x1所以x 2limx 1 x121单侧极限如当 xx0 时 fx无限接近于某常数 A就常数 A 叫做函数 fx yy x 1 1 x当 xx0 时的左极限记为lim x x 0fx A或fx 0 A如当 xx0 时 fx无限接近于某常数 A就常数 A 叫做函数 fx当 xx0 时1 34 y x 1 的右极限记为xlim x 0fx A或 fx A争论 1 左右极限的定义如何表达 . 2 当 xx0时函数 fx的左右极限与当xx0 时函数 fx的极限之间的关系怎样 . 提示左极限的f-A定义：lim x x 0f xA0 x x0 x x0

31、 有|fx A|0l i m x x 0fx A00 x x0 x x0有|fx A|X 时 对应的函数数值 fx都满意不等式|fx A|35 就常数 A 叫做函数 fx当 x 时的极限 记为x lim f x A 或 fx Ax x lim f x A 0 X 0 当|x| X 时 有|fx A|类似地可定义极限结论 x lim xlim xfxA和lim xfxAfxAlim xfxA且lim xfx Alim xfA的定义的几何意义yA y f x AA例 6 证明X10OXxlim xx分析|f x A|10|1|100 要使|fx A|fx 只要|x|1x| x证明由于0X当|x|

32、X 时有|A |10|1x|x |36 所以lim x10y1 的水平渐近线 xx直线 y 0 是函数一般地假如lim xfx c就直线 y c 称为函数 y fx的图形的水平渐近线二、函数极限的性质定理 1函数极限的唯独性 时假如极限lim x x0fx 存在那么这极限唯独使得当 0 |x x0|定理 2函数极限的局部有界性 假如 fxAxx0那么存在常数 M 0 和有|fx| M0 当 0 |x x0|时证明 由于 fxAxx0所以对于1有|fx A| 1于是|fx| |fx A A| |fx A| |A| 1 |A|这就证明白在 x0 的去心邻域 x| 0 |x x0| 定理 3函数极限

33、的局部保号性 内 fx是有界的假如 fxAxx0而且 A 0或 A 0 那么存在常数0 使当0 |x x0|时有 fx 0或 fx 037 证明 就 A 0 的情形证明|fx 由于x lim x0f xAf所以对于AA0 当 0 |x x0|时有2A|AAAx fx 0222定理 3假如 fx Ax x0A 0 那么存在点 x0的某一去心邻域 在该邻域内 有 | f x | 1 | A |2推论 假如在 x0 的某一去心邻域内 fx 0或 fx 0 而且fx Ax x0 那么 A 0或 A 0证明 设 fx 0 假设上述论断不成立 即设 A0 那么由定理 1就有 x0的某一去心邻域 在该邻域内

34、 fx 0 这与 fx 0的假定冲突所以 A 0定理 4 函数极限与数列极限的关系 假如当 x x0时 fx的极限存在 xn为 fx的定义域内任一收敛于 x0 的数列 且满意 xn x0n N 那么相应的函数值数列 fx n 必收敛 且lim f x n lim f x n x x 0证明 设 fx Ax x0 就 0 0 当 0 |x x0| 时 有|fx A|又由于 xnx0n故对0N N当 n N 时有|xn x0|38 由假设 xn x0n N 故当 n N 时 0 |x n x 0|从而|fxn A|即lim nf xnlim x x 0fx 39 1 4 无穷小与无穷大一、无穷小假

35、如函数 fx当 x x0或 x 时的极限为零 那么称函数 fx为当 x x0或 x 时的无穷小特殊地 以零为极限的数列 xn称为 n 时的无穷小例如由于1 lim x0所以函数 x 1 为当 x时的无穷小40 由于 limx 1x 1 0 所以函数为 x 1 当 x 1 时的无穷小由于n lim n 11 0 所以数列 n 11 为当 n 时的无穷小争论 很小很小的数是否是无穷小？0 是否为无穷小？提示 无穷小是这样的函数 在 x x0或 x 的过程中 极限为零 很小很小的数只要它不是零 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零无穷小与函数极限的关系定理 1在自变

36、量的同一变化过程xx0或 x中函数 fx具有极限 A 的充分必要条件是fx A其中是无穷小有证明设lim x x 0fx A0 0使当 0 |x x0|时|fx A|令fx A就是 xx0 时的无穷小且fx A这就证明白 fx等于它的极限 A 与一个无穷小之和于x0 时的无穷小反之设 fx A其中 A 是常数是 x是|fx A| | |因是 xx0时的无穷小| |0 0 使当 0 |x x0|有或|fx A|41 这就证明白 A 是 fx 当 xx0 时的极限就有| |就有简要证明令fx A 就|fx A| | |假如0 0 使当 0 |x x0|有 fx A|反之 假如0 0使当0 |x x

37、0|有 | |fx A|这就证明白假如A 是 fx 当xx0 时的极限就是 xx0 时的无穷小假如是 xx0 时的无穷小就 A 是 fx 当 xx0 时的极限类似地可证明 x 时的情形例如由于1x 311而lim x130所以lim x1x 312 x322x 32 x2 x32二、无穷大假如当 x x0或 x 时 对应的函数值的肯定值 |fx|无限增大就称函数 fx为当 x x0或 x 时的无穷大 记为x limx 0 f x 或 limx f x 应留意的问题 当 x x0或 x 时为无穷大的函数 fx 按函数极限定义来说 极限是不存在的 但为了便于表达函数的这一性态 我们也说“ 函数的极

38、限是无穷大”并记作x lim x 0 f x 或 x lim f x 42 争论 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大 . 提示 x lim x 0 f x M 0 0 当0 |x x | 时 有|fx| M正无穷大与负无穷大所以lim x x x0 f x1Mlim x xx0 fx 1时有例 2 证明lim x 1 x11当 0 |x 1|证 由于M 0M|x1| 1M1|1只要|x|1lim 1x 1 x1提示要使|1| 1|xxM铅直渐近线假如lim x x 0fx就称直线xx 0是函数y fx的图形的铅直渐近线例如 直线 x 1 是函数 yx 11 的图形的铅直渐近线定

39、理 2 无穷大与无穷小之间的关系 在自变量的同一变化过程中假如 fx为无穷大43 就f1为无穷小反之假如 fx为无穷小且 fx 0 就f1为无穷x x 大简要证明假如lim x x0fx0且 fx 0 那么对于10 当 0 |x0 x |M时有|fx |1由于当 0 |xx |时 fx 0 从而x |时M|f1|M x 所以f1为 xx0 时的无穷大x 假如x lim x 0fx 那么对于M10 当 0 |x有|fx |M1即|f1|所以为 xx 时的无穷小 x简要证明假如 fx0 xx0且 fx 0就00时当 0 |x x0|时有|fx|即所以 fxxx0假如 fxxx0就M 00 当 0

40、|x x0|有|fx| M即所以 fx0 xx044 1 6 极限运算法就及定理 1有限个无穷小的和也是无穷小1 0例如当 x0 时 x 与 sin x 都是无穷小x sin x 也是无穷小简要证明设及是当 xx0 时的两个无穷小就02 0使当 0 |x x0|1 时有| |当 0 |x x0|2 时有| |明取min12就当 0 |x x0|时有| | | | | 2这说也是无穷小45 证明 考虑两个无穷小的和设 及 是当 x x0 时的两个无穷小 而任意给定的 0 由于 是当 x x0时的无穷小 对于 20 存在着 10 当 0 |x x0| 1时 不等式| | 2成立 由于 是当 x x

41、0 时的无穷小 对于2 0 存在着 2 0 当0 |x x0| 2时 不等式| | 2成立 取 min 1 2 就当 0 |x x0| 时| | 2及| | 2同时成立 从而 | | | | | | | | 2 2 这就证时了 也是当x x0时的无穷小定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小简要证明 设函数 u 在 x0 的某一去心邻域 x|0 |x x0| 1内有界即 M 0 使当 0 |x x0| 1 时 有|u| M 又设 是当 x x0 时的无穷小 即 0 存在 2 0 使当 0 |x x0| 时 有| |取 min 1 2 就当 0 |x x0| 时 有46 |u|M所以这说明 u也

42、是无穷小例如当 x时1 是无穷小 xarctan x 是有界函数1 arctan x 也是无穷小 x推论 1常数与无穷小的乘积是无穷小推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小定理 3 假如 lim f x A lim g x B 那么1 lim f x gx lim f x lim g x A B2 lim f x gx lim f x lim g x A B3 limg f xx limlim g f x x B A B 0证明1 由于 lim f x A lim g x B 依据极限与无穷小的关系 有f x A g x B其中 及 为无穷小 于是f x g x A B A B 即 f x g x可表示为常数 A B与无穷小 之和 因此lim f x g x lim f x lim g x A B 推论 1 假如 lim f x存在 而 c 为常数 就lim c f x c lim f x47 推论 2 假如 lim f x存在 而 n 是正整数 就lim f x n lim f x n定理 4 设有数列 xn