参数方程典型例题分析

1、学习好资料 欢迎下载 参数方程典型例题分析 例 1 在方程 （ 为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ） （ A）（ 2, 7）（ B）（ , ）（ C）（ , ）（ D）（ 1, 0） 分析 由已知得 可否定（ A）又 ,分别将 , , 1 代入上式得 , , 1,（ , ）是曲线上的点,应选（ C） 例 2 直线 （ 为参数）上的点 A, B 所对应的参数分别为 , ,点 P 分 所成的比为 ,那么点 P 对应的参数是（ ） （ D） （ A） （ B） （ C） 分析 将 , 分别代入参数方程, , 得 A 点的横坐标致为 , B 点的横坐标为 由定比分点坐标公式得 P 的横坐标为 ,

2、可知点 P 所对应的参数是 故应选（ C） 例 3 化以下参数方程为一般方程,并画出方程的曲线 （ 1） （ 为参数, ） （ 2） （ 为参数）； 第 1 页,共 8 页（ 3） 学习好资料 欢迎下载 （ 为参数）, 解：（ 1） , （ 或 ）,方程的曲线如图 或 故一般方程为 （ 2） 将 代入得 一般方程为 （ ）,方程的曲线如图 第 2 页,共 8 页（ 3）两式相除得 学习好资料 得 欢迎下载 代入 整理得 一般方程为 （ ）,方程的曲线如图 点评（ l ）消去参数的常用方法有代入法, 加减消元法, 乘除消元法, 三角消元法等； （ 2） 参数方程化一般方程在转化过程中,要留意由参

3、数给出的 , 的范畴,以保证一般方程与参 数方程等价 例 4 已知参数方程 如 为常数, 为参数,方程所表示的曲线是什么？ 如 为常数, 为参数,方程所表示的曲线是什么？ 解：当 时,由（ 1）得 ,由（ 2）得 , , 它表示中心在原点, 长轴长为 ,短轴长为 焦点在 轴上的椭圆 当 时, , , 第 3 页,共 8 页它表示在 轴上 学习好资料 欢迎下载 的一段线段 当 （ ）时,由（ 1）得 , 由（ 2）得 平方相减得 , 即 它表示中心在原点,实轴长为 ,虚轴长为 , 焦点在 轴上的双曲线 ,它表示 轴； 当 （ ）时, 当 （ ）时, , （ 时）或 （ 时） , 方程为 （ ）,

4、 它表示 轴上以（ 2, 0）和（ 2, 0）为端点的向左和向右的两条射线 点评 此题的启示是形式相同的方程, 由于选择参数的不同, 可表示不同的曲线, 因此要注 意区分问题中的字母是常数仍是参数 例 5 直线 （ 为参数）与圆 （ 为参数）相切,就 直线的倾斜角 为（ ） 或 （ C） 或 （ D） 或 （ A） 或 （B） 分析 将参数方程化为一般方程,直线为 （ ）, 当 时不合题意 第 4 页,共 8 页由于 学习好资料 欢迎下载 , ,它们相切的充要条件是 解得 ,又 , 或 ,应选（ A） 例 6求椭圆 上的点到直线 的最大,最小距离 解 将椭圆一般方程化为参数方程 （ ）, 就椭

5、圆任意一点 的坐标可设为 （ , ）, 于是点 到直线 的距离 ,此时 ,此时 ； 点评 利用参数方程, 将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式, 这样削减曲线上点的坐标所 含变量的个数,将二元函数的问题转化为一元函数的问题 例 7 已知点 P 是圆 C： 上一动点,点 P 关于点 A（ 5, 0）的对称 点为 Q,半径 CP 绕圆心 C 按逆时针方向旋 后得到点 M,求 的最大值和最小值 转 解 如图,设点 （ , ）, 第 5 页,共 8 页就点 M 为学习好资料 欢迎下载 , ）, （ 即 M（ , ） Q 为, ）, 又点 A（ 5, 0）为 Q 的中点,就点 （ 且 所以 时, 取得最大

6、值 时, 取得最小值 点评 此题依据圆的参数方程是利用转角 作参数, 由点 坐标求点 M 坐标,再把与坐, 标 相关的 的最值转化成 与椭圆 的最值来求解 变化时,求线段 AB 中 例 8 直线 交于 A, B 两点,当 点 M 的轨迹 解 设 AB 中点 M, ）, （ , 为参数） （ 直线 的方程为 代入椭圆方程有 中可得 设 A, B 对应的参数值分别, ,就有 , 为 又 ,即 ,又 , , 故 第 6 页,共 8 页所以 M 点的轨迹是直学习好资料 欢迎下载 在椭圆 内部的一条线段 线 例 9已知线段 ,直线 垂直平分 交 于点 O,并且在 上 O 点的同侧取点 P, ,使 ,求直线 BP 与直两 的交点 M 的轨, 线 迹 如图,以 O 为原解 为 轴, 为 轴,建立直角坐标系 点, 依题意,可知 B（ 0, 2）, （ 0, 2）, 为参数,可取任意非零的实数 又可设 P（ , 0）, （ , 0）,其中 直线 BP 的方程 为 直线 的方程为 两直线方程化简为 解得直线 BP的交点坐标为： （ 为参数） 与 消去参数 得 （ ） 点 所求点 M 的轨迹是长轴6,短轴为 4 的椭圆除去 B, 为 第 7 页,共 8 页点评 学习好资料