数学解题思维策略

1、PAGE -PAGE 17-第一讲 数学学解题思思维策略略高考考数学代代数推理理题一、数学学解题的的思维过过程数学解题题的思维维过程是是指从理理解问题题开始，从经过过探索思思路，转转换问题题直至解解决问题题，进行行回顾的的全过程程的思维维活动在高考试试卷中，有一类类问题常常以高中中代数的的主体内内容函数、方程、不等式式、数列列及其综综合部分分为知识识背景，并与高高等数学学知识及及思想方方法接轨轨，这就就是代数数推理题题这类类问题立立意新颖颖，抽象象程度高高，是数数学问题题的典型型代表具体说说来，其其思维过过程一般般分为三三步：首首先要领领会题意意（审题题）弄清题题目的条条件是什什么？结结论是什

2、什么？如如果条件件和结论论是用文文字表达达的，则则把它翻翻译成数数学语言言；其次次要明确确方向在审审题的基基础上，运用所所学知识识和数学学思想方方法，明明确解题题目标与与方向；最后要要规范表表述采用适适当的步步骤，合合乎逻辑辑地进行行推理和和运算，并正确确地表述述在这里，第一步步是关键键，这就就是我们们通常说说的审题题二、如何何审题？1、理清清题意审题，就就是明确确题目的的已知和和未知，是解题题的第一一步，这这一步不不要怕慢慢从近年年高考命命题的特特点来看看，试卷卷容量有有减少的的趋向，目的也也就是要要突出对对考生的的能力检检查，增增加思考考量，倡倡导多给给考生一一点思考考和探索索的时间间其实

3、，题题目本身身就是“怎样解解这道题题”的信息息源，所所以审题题一定要要逐字逐逐句看清清楚，可可以从语语法结构构、逻辑辑关系和和数学含含义三方方面来理理清题意意2、条件件启发解解题手段段，结论论诱导解解题方向向解题实践践表明，条件往往往预示示可知并并启发解解题手段段，结论论则预告告需知并并诱导解解题方向向可以按按照条件件列出所所有的解解题手段段表解，根据结结论写出出可能的的解题方方向，并并寻找出出它们之之间的联联系，这这样做的的另一个个好处是是，可以以将题目目进行分分解，避避免失分分3、挖掘掘隐蔽条条件对于条件件，一定定要用足足用够解题过过程中的的关键之之处，往往往是题题目未明明显写出出的，即即

4、隐蔽给给予的一方面面，解题题时如果果遇到“盲点”，可以以回过头头来分析析是否用用足用够够条件；另一方方面，也也只有细细致的审审题才能能从题目目本身获获得尽可可能多的的信息，这也说说明，审审题一定定不要怕怕慢例1（20005年年成都一一诊222题）对对于函数数f(x)，若若存在，使成立立，则称称为函数数f(x)的不不动点已知若对，f(x)恒有有两个相相异的不不动点，求实数数a的取值值范围；在的的条件下下，若yy=f(x)的图图像上AA、B两点的的横坐标标是函数数f(x)的不不动点，且A、B两点关关于直线线对称，求b的最小小值条件分分析条条件呈包包含关系系，子条条件在结结论二中中列出前提条件件解题

5、手手段：信信息迁移移（数学学含义）三个“二次”结合（数形结结合）；子条件解题手手段：隐蔽条件；对称性性（数形形结合）垂直、中点（点差法法）结论分分析两两个结论论结论一解题方方向：不不等关系系；结论二解题方方向：利利用单调调性求最最值练习：1、设，已知时时，f(x)的最小小值是 = 1 * GB2 求； = 2 * GB2 求在 = 1 * GB2 的条件件下，ff(x)00的解集集A； = 3 * GB2 设集合合，且，求求实数tt的取值值范围答案： = 1 * GB2 ； = 2 * GB2 ； = 3 * GB2 2、定义义在R上的函函数f(x)满足：如果对对于任意意，都有有，则称称函数f

6、f(x)是R上的凹凹函数已知知二次函函数 = 1 * GB2 求证：当时，函数ff(x)是凹函函数； = 2 * GB2 如果，试求实实数a的取值值范围答案： = 1 * GB2 略； = 2 * GB2 实数a的取值值范围为为三、若干干具体的的解题策策略为了使解解题的目目标和方方向更明明确，思思路更加加活泼，进一步步提高探探索的成成效，我我们必须须掌握一一些具体体的解题题策略一切解解题的策策略的基基本出发发点在于于变换，即把面面临的问问题转化化为一道道或几道道易于解解答的新新题，以以通过对对新题的的考察，发现原原题的解解题思路路，最终终达到解解决原题题的目的的基于于这样的的认识，常用的的解题

7、策策略有熟熟悉化、简单化化、直观观化、特特殊化、一般化化和间接接化等策策略1、熟悉悉化策略略熟悉化策策略，就就是将陌陌生的题题目变为为曾经解解过的比比较熟悉悉的题目目，进而而利用已已有的知知识、经经验或解解题模式式，顺利利地解出出原题可以在在分清题题目条件件和结论论的基础础上，通通过变换换题目的的条件、结论及及其联系系上下功功夫联想回回忆基本本知识和和题型通过联想想回忆，找出现现有问题题和熟悉悉问题之之间的相相似之处处和相同同的知识识点，充充分利用用相似问问题中的的方式、方法和和结论，从而解解决现有有问题全方位位、多角角度分析析题意全方位分分析题意意，即把把题目的的所有条条件都要要分析透透，并

8、找找到各条条件间以以及条件件和结论论间的联联系，从从中找出出熟悉的的解题手手段；多多角度分分析题意意，就是是要善于于从不同同的侧面面、不同同的角度度去认识识，根据据自己的的知识和和经验，适时调调整分析析问题的的视角，找到自自己熟悉悉的解题题方向恰当构构造辅助助元素通过构造造辅助元元素，如如构造数数列、构构造图形形或几何何量、构构造等价价性命题题等，改改变题目目的形式式，变陌陌生题为为熟悉题题例2（20003年年成都一一诊200题）已已知数列列an的前n项和为为Sn，p为非零零常数，满足条条件： = 1 * GB3 a1=1； = 2 * GB3 Sn=4an+Sn 1 pan 1()； = 3

9、 * GB3 求证：数列an是等比比数列；求数列列an的通项项公式；若bnn=nan，求数数列bn的前n项和条件分分析条条件呈包包含关系系，子条条件分项项列出子条件 = 1 * GB3 、 = 2 * GB3 联想回回忆：aan=Sn Sn 1()；子条件 = 3 * GB3 联想回回忆：等等比数列列前n项和的的极限值值存在，则公比比q的绝对对值小于于1结论分分析三三个结论论结论一根据定定义证明明；结论二求出公公比；结论三联想回回忆：数数列bn的通项项是等差差、等比比数列的的通项积积，可用用错位相相减法求求前n项和解题评评析证明： Sn=4an+Sn 1 pan 1()， aan=Sn Sn

10、1=4an paan 1，（点评：应用an=Sn Sn 1()） 3an=pan 1 且且a1=1， ， ，故数列列an是首项项a1=1，公公比的等等比数列列（点评：应说明明）解： ， ，（点评：应用无无穷递缩缩等比数数列前nn项和的的极限） pp=1， 数数列an的通项项为解：， = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 1 * GB3 = 2 * GB3 ，得 （点评：使用错错位相减减法求数数列前nn项和） 练习：1、数列列an的前n项和记记作为SSn，已知知 = 1 * GB2 写出an的通项项公式，并证明明；对于给给出的正正整数kk，当nk时，且且，求k值答案： = 1 * GB2

11、；k=2, 3, 42、一计计算装置置有一数数据入口口A和一个个运算结结果的出出口B将自自然数列列中的各各数依次次输入AA口，从从B口得到到数列结果表表明：从A口输入入n=1时时，从BB口得到到；当时，从从A口输入入n，从B口得到到的结果果是将前前一结果果先乘以以自然数数列中的的第个奇奇数，再再除以自自然数列列中的第第n+1个个奇数从A口口分别输输入2和和3时，从B口分别别得到什什么数？猜测并并证明当当入口AA输入自自然数列列时，从从B口得到到的数列列的通项项公式；为满足足计算需需要，工工程师对对装置进进行了改改造，使使B口出来来的数据据依次进进入C口进行行调整，结果为为一列数数据若若，则非非

12、零常数数p、q满足什什么关系系式，才才能使CC口所得得数列为为等差数数列？答案：和；3、一个个正三棱棱锥，其其侧棱长长为1，且三条条侧棱两两两垂直直，求该该三棱锥锥的外接接球的表表面积答案：2、简单单化策略略简单化策策略，就就是当我我们面临临的是一一道结构构复杂、难以入入手的题题目时，要设法法将其转转化为一一道或几几道比较较简单、易于解解答的新新题，以以便通过过对新题题的考察察，启迪迪解题思思路，以以简驭繁繁，解出出原题简单化是是熟悉化化的补充充和发挥挥一般般说来，我们对对于简单单问题往往往比较较熟悉或或容易熟熟悉因因此，在在实际解解题时，这两种种策略常常常是结结合在一一起进行行的，只只是着眼

13、眼点有所所不同而而已解解题中，实施简简单化策策略的途途径是多多方面的的，常用用的有：寻求中中间环节节，分类类考察讨讨论，简简化已知知条件，恰当分分解结论论等寻求中中间环节节，挖掘掘隐含条条件就多数结结构复杂杂的题目目的生成成背景而而论，大大多是由由一些简简单题目目经适当当组合并并抽去中中间环节节而构成成的因因此，应应尽可能能从题目目的因果果关系入入手，寻寻求可能能的中间间环节和和隐含条条件，把把原题分分解成一一组相互互联系的的系列题题，以实实现复杂杂问题简简单化分类考考察讨论论某些题目目，其解解题的复复杂性在在于它的的条件、结论（或问题题）包含含多种不不易识别别的可能能情形对于这这类问题题，选

14、择择恰当的的分类标标准，把把原题分分解成一一组并列列的简单单题，有有助于实实现复杂杂问题简简单化简化已已知条件件，恰当当分解结结论如果解题题的复杂杂性来自自于条件件或结论论的抽象象概括，可以考考虑将条条件进行行简单化化处理，或尝试试把结论论分解为为几个简简单的部部分，以以便各个个击破，解出原原题例3已知等等比数列列的各项项为不等等于1的的正数，数列满满足，设设， = 1 * GB2 求数列列的前多多少项和和最大，最大值值为多少少？ = 2 * GB2 试判断断是否存存在自然然数M，使当当nM时，恒成成立？若若存在，求出相相应的MM，若不不存在，请说明明理由； = 3 * GB2 令，试试判断数

15、数列的增增减性条件分分析三三个条件件第一个条条件解题手手段：等等比数列列；第二个条条件解题手手段：两两个数列列间的关关系等比数数列的对对数；第三个条条件解题手手段：第第二个数数列具体体化结论分分析三三个结论论，皆属属探索性性命题结论一最值探探索；结论二有界性性探索；结论三单调性性探索解题关关键数数列是定定义在正正整数集集上的函函数解题评评析（ = 1 * ROMAN I）设等等比数列列的公比比为，则则 ， 数数列为等等差数列列，设公公差为dd（点评：挖掘隐隐含条件件数列列为等差差数列） ， ， 设数列前前k项和最最大，则则， 前前11项项和及前前12项项和为最最大，其其和为1132（ = 2

16、* ROMAN II）若，即，当a11时，n122，不等等式不成成立；当0aa122，不等等式成立立（点评：分类考考察讨论论） 存存在，当当nM时，恒成成立（ = 3 * ROMAN IIII） ， nn133时，数数列为递递减数列列练习：1、若函函数的最最大值为为1，求求a的值答案：2、已知知设P：函数数在R上单调调递减；Q：不等等式的解解集为RR如果果P和Q有且仅仅有一个个正确，试求cc的取值值范围答案：3、设函函数，对对一切，都有，求证：对一切切，都有有3、直观观化策略略直观化策策略，就就是当我我们面临临的是一一道内容容抽象、不易捉捉摸的题题目时，要设法法把它转转化为形形象鲜明明、直观观

17、具体的的问题，以便凭凭借事物物的形象象把握题题中所涉涉及的各各对象之之间的联联系，从从而找到到原题的的解题思思路图表直直观有些数学学题，内内容抽象象，关系系复杂，给理解解题意增增添了因因难，常常常会由由于题目目的抽象象性和复复杂性，使正常常的思维维难以进进行到底底. 对于于这类题题目，借借助图表表直观，利用示示意图或或表格分分析题意意，将有有助于抽抽象内容容形象化化，复杂杂关系条条理化，使思维维有相对对具体的的依托，便于深深入思考考，发现现解题线线索图形直直观对某些涉涉及数量量关系的的题目，用代数数方法求求解，计计算量偏偏大这这时，不不妨借助助图形直直观，给给题中有有关数量量以恰当当的几何何分

18、析，以拓宽宽解题思思路，找找到简捷捷、合理理的解题题途径图象直直观不少涉及及数量关关系的题题目，都都与函数数的图象象密切相相关如如果灵活活运用函函数图象象的直观观性，常常常可以以以简驭驭繁，获获得简便便、巧妙妙的解法法例4某摩托托车生产产企业，上半年年生产摩摩托车的的投入成成本1万万元/辆辆，出厂厂价为11.2万万元/辆辆，年销销售量为为10000辆，本年度度为适应应市场需需求，计计划提高高产品档档次，适适度投入入成本，若每辆辆车投入入成本增增加的比比例为xx(0 x1)，则出出厂价相相应的提提高比例例为0.75xx，同时时预计年年销售量量增加的的比例为为0.66x，已知知年利润润写出本本年度

19、预预计的年年利润yy与投入入成本增增加比例例x的关系系式；为使本本年度的的年利润润比上年年有所增增加，问问投入成成本增加加的比例例x应在什什么范围围内？试题分分析列列表如下下：成本（万万元/辆辆）出厂价（万元/辆）销售量（辆）去年11.210000今年1+x1.2(1+00.755x)10000(1+0.66x)解题评评析依题意意和上表表数据有有 ，整理得 （点评：布列关关系式时时，不仅仅要紧扣扣题意，还要注注意自变变量x的取值值范围，特别是是应用题题的定义义域必须须同时满满足解析析式有意意义和实实际问题题有意义义，只有有准确写写出定义义域方可可避免解解答过程程的失误误或答案案的失误误）要保证

20、证本年度度的利润润比上年年度有所所增加，当且仅仅当 将y的关关系式代代入，解解不等式式组得答：为保保证本年年度的利利润比上上年度有有所增加加，投入入成本增增加的比比例x应满足足0 x0)，且，求求f(x)并证明明a1答案：2、已知知函数定定义域为为R，对于于任意实实数都满满足，当当时，判断ff(x)的奇奇偶性和和单调性性；当时，对所有有的均成成立，求求实数mm的取值值范围答案：略；3、在中中，若，则为直直角三角角形，且且C为直角角现在请你你研究：若，则则为何种种形状的的三角形形？答案：锐锐角三角角形5、一般般化策略略一般化策策略，就就是当我我们面临临的是一一道计算算比较复复杂或内在联联系不甚甚

21、明显的的特殊问问题时，应设法法把特殊殊问题一一般化，从而找找出一个个能够揭揭示事物物本质属属性的一一般情形形的方法法、技巧巧或结果果，以顺顺利解出出原题例8（20002理理）已知知函数，那么 _练习：1、已知知函数，且构成成一个数数列，满满足求数列列的通项项公式，并求之之值；证明答案：，；略2、已知知椭圆和和点，若线线段ABB与椭圆圆没有公公共点，求实数数a的取值值范围答案：6、简接接化策略略间接化策策略，就就是当我我们面临临的是一一道从正正面入手手复杂繁繁难，或或在特定定场合甚甚至找不不到解题题依据的的题目时时，就需需要改变变思维视视角，从从结论（或问题题）的反反面进行行思考，以便化化难为易

22、易解出原原题. 所谓谓正难则则反，说说的也就就是这个个意思例9函数的的定义域域为R，且求证：a0，b0， （点评：分类讨讨论） ，即b00，b0 ， aa=1又， ，（点评：待定系系数法） 当时，（点评：一般化化策略） 练习：1、若二二次函数数在区间间上至少少存在一一点m，使，求求实数pp的取值值范围答案：2、某正正态总体体的概率率密度函函数是偶偶函数，而且该该函数的的最大值值为，求求总体落落入区间间之间的的概率（参考数数据：，）答案：00.466423、盒子子里装有有若干个个球，每每个球都都记有从从1开始始的一个个号码，设号码码为n的球重重（克）假设设盒子的的容量最最多可装装35个个球，而而

23、且符合合条件的的球无一一例外的的都被装装入盒中中，这些些球以等等可能性性（不受受重量、号码的的影响）从盒子子里取出出如果任任意取出出一球，试求其其重量大大于号码码数的概概率；如果同同时任意意取出22球，试试求它们们重量相相同的概概率答案：；四、寻根根查祖，提高数数学解题题能力可以通过过以下探探索途径径来提高高解题能能力：1、研究究问题的的条件时时，在需需要与可可能的情情况下，可画出出相应图图形或思思路图帮帮助思考考因为这这意味着着你对题题的整个个情境有有了清晰晰的具体体的了解解2、清晰晰地理解解情境中中的各个个元素；一定要要弄清楚楚其中哪哪些元素素是给定定了的，即已知知的，哪哪些是所所求的，即

24、未知知的3、深入入地分析析并思考考习题叙叙述中的的每一个个符号、术语的的含义，从中找找出习题题的重要要元素，要在图图中标出出（用直直观符号号）已知知元素和和未知元元素，并并试着改改变一下下题目中中（或图图中）各各元素的的位置，看看能能否有重重要发现现4、尽可可能从整整体上理理解题目目的条件件，找出出它的特特点，联联想以前前是否遇遇到过类类似题目目5、仔细细考虑题题意是否否有其他他不同理理解题目的的条件有有无多余余的、互互相矛盾盾的内容容？是否否还缺少少条件？6、认真真研究题题目提出出的目标标通过目目标找出出哪些定定理、法法则、公公式同题题目或其其他元素素有联系系7、如果果在解题题中发现现有你熟熟悉的一一般数学学方法，就尽可可能用这这种方法法的语言言表示题题的元素素，以利利于解题题思路的的展开以上途径径特别有有利于开开始解题题者能迅迅速“登堂入入室”，找到到解题的的起步点点在制定定计划寻寻求解法法阶段，可以利利用下面面这套探探索方法法：1、设法法将题目目与你会会解的某某一类题题联系起起来或者尽尽可能找找出你熟熟悉的、最符合合已知条条件的解解题方法法2、记住住：题的的目标是是寻求解解答的主主要方向向在仔细细分析目目标时即即可尝试试能否用用你熟悉悉的方法法去解题题3、解了了几步后后可将所所得的局局部结