食品工程原理-冯骉-衡算方程

1、一、系统和控制体第一节 简单流动系统的衡算“系统”或“控制体”：衡算的范围。拉格朗日（Lagrange）方法： 以确定的流体质点所组成的整体微团作为研究对象，观察者与这些流体微团一起运动，考察各物理量与时间的关系。被考察的流体微团的集合即为系统，系统之外所有与系统发生作用的物质统称为外界，将系统和外界分开的真实或假想的表面称为系统的边界。第二章衡算方程系统的特点：（1）系统的质量保持不变，但其边界的形状、大小和位置可以随时间而变化；（2）在系统的边界处没有质量交换，但可以有能量交换；（3）在边界上受到系统外的物质施加的力。欧拉（Euler）方法：在固定的空间位置上，对一定的空间体积进行观察，考

2、察运动参数在空间的分布及其随时间的变化。被考察的空间体积称为控制体，控制体的边界面称为控制面，它总是封闭表面。控制体的特点：（1）控制体内的流体质量可以随时间而变化；（2）控制面相对于坐标系而言是固定的，在控制面上可以有质量交换，也可以有能量交换；（3）在控制面上受到控制体以外的物质施加的力。二、简单流动系统的质量衡算简单流动系统：控制体为流动系统的某一段管道或一个（或数个）设备。质量衡算：输入的质量流量-输出的质量流量=质量累积速率（一）单组分系统 mqm1qm2流动为稳定流动时，积累量为零，上式即转化为连续性方程。（二）无化学反应的多组分系统对单个组分分别进行质量衡算：对于n个组分，可写出

3、n个衡算方程，加上总衡算方程，共有n+1个方程，其中只有n个方程是独立的。例2-1-1某楼顶的供水装置有一水池，横截面积S为0.4m2，池内水的深度Z为1.8m。槽底部阀门打开后，水即流出。若无水量补充，测得水的流量qm2与水深Z的关系为：qm2=0.25Z1/2。问经过多长时间后，水位下降至0.5m？解 Z1=1.8m，Z2=0.5m，qm1=0，qm2=0.25Z1/2kg/s，水的密度取r=1000kg/m3，瞬时质量： m=SZr=0.41000Z=400Z 故： 将已知数据代入得： 分离变量并积分： 解出q得： q=2030.5 s例2-1-2将水与糖分别加入一搅拌槽内进行混合。水的

4、流量为120kg/h，糖的流量为80kg/h。制成溶液以160kg/h的流量离开搅拌槽。由于搅拌充分，槽内浓度各处均匀。开始时槽内有水80kg。试计算1小时后槽中流出的溶液浓度。 溶液 160kg/h糖 80kg/h水 120kg/h解：以糖为组分A。qm1A=80kg/h，qm1B=120kg/h， qm2=160kg/h，qm1=120+80=200kg/h。当q=0时， m0=80kg。对糖作质量衡算得： 代入q=1 h： w2A=0.347当时间趋于无限长时，出口糖浓度趋于0.4。 即：将微分项展开： 总质量衡算式： 将总质量衡算式积分： m=40q+m0=40q+80分离变量并积分：

5、总摩尔生成速率R应根据反应的化学计量关系确定。可以选择一种产物或生成物作为基准，用此基准来表示其它组分的摩尔生成速率。（三）有化学反应的系统在衡算方程中应加入产物生成速率一项：总质量衡算式： 例2-1-3甲醇的制造按下列反应式进行： CO+2H2 CH3OH生产流程如附图所示，将反应气体通入以ZnO-Cr2O3为催化剂的反应器中，在200atm和648K下进行反应获得甲醇。制备过程中净进料的成分为66%（mol%，下同）的H2、33%的CO和1%的Ar。在分离器中可将全部产物甲醇以纯态形式分离出来，故排空气中无甲醇，且过程无副反应。排空的摩尔流量为净进料摩尔流量的10%。生产过程维持稳定状态。

6、试计算：（1）甲醇在产物中的摩尔流率与净进料的摩尔流率之比；（2）循环气的组成。解：（1）在稳态下，dn/dq=0 故得： qn2+qn2-qn1=R=R甲醇+RCO+R氢 净进料循环气排空反应器分离器纯甲醇qn1qn2qn2选甲醇为基准物质，根据反应方程： R=R甲醇+RCO+R氢=R甲醇-R甲醇-2R甲醇=-2R甲醇对甲醇作质量衡算： qn2x2甲醇+qn2x2甲醇-qn1x1甲醇+dn甲醇/dq=R甲醇 由于进料及排空气中不含甲醇，故：x2甲醇=0，x1甲醇=0。在稳态下，dn甲醇/dq=0。产物为纯甲醇，x2甲醇=1故： qn2 =R甲醇 代入甲醇的衡算式: qn2-qn1=-3R甲醇

7、 由题设： qn2/qn1=0.1 所以： R甲醇/qn1=0.3 （2）循环气的组成可由Ar的质量衡算得到。循环气的组成 与排空气的组成相同。为维持稳态，必有： qn1x1Ar=qn2x2Ar 由于： x1Ar=0.01 及 qn2=0.1qn1 得： 0.01qn1=0.1qn1x2Ar 故： x2Ar=0.1在循环气中，CO和H2是按化学计量的比例组成的，即： x2CO=x2氢/2 又： x2CO+x2氢=1- x2Ar=0.9故： x2CO=0.3 x2氢=0.6（四）管内流动的物料衡算过程可以是间歇的，也可以是连续式的。无论何种情况，必须选定一种计算基准。常用的计算基准有：（1）以加

8、入设备的一批物料为基准；（2）以物料流量为基准；（3）以单位质量原料或产品为基准。在无物料损失的情况下，对于稳态过程，应有：解简单流动系统质量衡算问题的步骤：（1）画出过程框图，标出物料的名称、物料量、组分浓度、温度、密度等；（2）选择计算基准；（3）列物料衡算方程，对每一种组分均可作物料衡算，然后解此方程组。例2-1-4某厂配制雪利酒，产品成分为酒精16%、糖3.0%。配制用的原料酒有以下三种： a b c 酒精含量/% 14.6 16.7 17.0 糖含量/% 0.2 1.0 12.0试求三种酒的配用比例。解：取产品雪利酒m=100 kg为基准，设a、b、c三种酒的配 用量分别为ma、mb

9、 、mc。 总物料衡算： ma+mb+mc =100 酒精的物料衡算： 0.146ma+0.167mb+0.170mc = 0.16100 糖的物料衡算： 0.002ma+0.01mb+0.12mc = 0.03100 联立可解得： ma =36.8kg，mb =42.4kg，mc =20.8kg三、稳定流动热力体系中的热功交换热力体系：某一由边界所限定的控制体。封闭体系：体系与外界无物质交换。开口体系或流动体系：体系与外界有物质交换。稳定流动体系：体系内部任一点上表明流体性质和流动参数的物理量如密度、流速、压强和温度等均不随时间而变。稳定流动热力体系必须具备的条件：（1）在进口截面和出口截面

10、上，流体的组成、状态、流速等参数不随时间而变；（2）进入体系的质量流量恒等于离开体系的质量流量；（3）体系与外界在单位时间内的功和热交换均保持定值。引入焓的概念： H=U+pv 代入总能量衡算式得： H1+gz1+u12/2+q-w=H2+gz2+u22/2 或： q-w=DH+gDz+Du2/2上式又称为稳定流动总能量方程式。稳定流动总能量方程的应用实例（1）换热器 此时w=0，忽略位能和动能的变化，Dz=0，Du2/2=0，方程简化为： q=DH=H1-H2 （2）压缩机设对外无热交换，q=0，忽略位能和动能的变化，则： w=DH=H2-H1（3）喷嘴 一般流体流过喷嘴的时间很短，可视为q

11、=0，w=0。忽略位能，且u1u2，近似可得：（4）节流阀q=0，w=0，流体流速近似相等。方程简化为： H1=H2例2-1-5某燃气轮机装置示意图如附图所示。若在稳定工况下工作，压气机进、出口气体的比焓分别为H1=290kJ/kg，H2=580kJ/kg，燃烧室出口气体H3=1300kJ/kg，燃气轮机出口处废气的焓H4=750kJ/kg。假定空气流量qm=5kg/s，并忽略气体流经压气机和燃气轮机时的散热损失。求燃气轮机装置的功率P。压气机燃烧室燃气轮机解： （1）分别将压气机和燃气轮机取作体系进行计算。 对压气机体系有： q=H2-H1+(u22-u12)/2+g(z2-z1)-wc 忽

12、略进出口动、位能的变化，且q=0，则轴功为： -wc=H1-H2=290-580=-290kJ/kg 同样，对燃气轮机体系有： q=H4-H3+(u42-u32)/2+g(z4-z3)-wT 忽略动能、位能的变化，且q=0，则燃气轮机的轴功： -wT=H3-H4=1300-750=550kJ/kg 整个装置的功为两个系统轴功的代数和，即 -ws=-wT+(-wc)=550-290=260kJ/kg 装置功率为：P=qmws=5260=1300kW（2）将整个装置取作体系进行计算，根据稳定流动能量方程式，若动能、位能的变化忽略，则可写成： q=H4-H1-ws -ws=q-(H4-H1)=(H3

13、-H2)-(H4-H1) =1300-580-(750-290)=260kJ/kg P=qmws=5260=1300kW 两种解法结果一致。一、通用总质量衡算第二节 通用的总衡算方程任意形状控制体，总体积为V，控制面的总面积为S。任取一面积为dS的微元，流过此微元的流体质量流量为rucosadS，流过控制面的流体质量流量为： una在控制体内任取一微元体积dV，其质量为rdV，整个控制体的质量累积速率为：总质量衡算方程： 二、通用总能量衡算以ET为单位质量流体具有的能量，则通过微元面积dS流出的能量为ruETcosadS，而通过整个控制面流出的能量为：整个控制体的能量累积速率为：总能量衡算方程

14、：三、通用总动量衡算通过整个控制面流出的净动量速率为：整个控制体的动量累积速率为：总动量衡算方程：在直角坐标系中可写成 ： 稳定流动时，动量的累积为零。对稳定的管道流动，取截面与流动方向垂直，并假设截面上的速度为均匀分布，则： SFx=qm(u2x-u1x) SFy=qm(u2y-u1y) SFz=qm(u2z-u1z)例2-2-1 试利用总动量衡算方程导出不可压缩流体作稳态流动时突然扩大的机械能损失与主体流速、截面面积之间关系。摩擦损失可忽略不计。0 1 2 0 1 2解：选择附图中虚线所示的范围为控制体，其控制面为截面S1、S2和靠近大管内壁的流体层（不包括管壁）。由于流体作一维流动，流速

15、u与ux相等，并且流速与截面S1、S2的法线方向平行，cosa=1。在湍流条件下，截面上的速度分布较为均匀，故可用主体流速ub代替ux。控制体在x方向上所承受的外力为压力和摩擦阻力，在摩擦阻力可以忽略时，合外力即等于净压力Fxp： SFx=Fxp=qm(u2-u1) （1） 由于S1=S2，假定作用在S1和S2面上的压强均匀，分别以p1、p2表示，又截面S1与截面0相接近，设p1=p0、u1=u0，则可得： Fxp=S1p1-S2p2=S2(p1-p2)=S2(p0-p2)=-S2Dp （2）又由总质量衡算，得： u2=S0u0/S2 （3）代入式（1），得 -S2Dp=qm(u2-u1)=u

16、0rS0(u2-u1)=u0rS0(u2-u0) 将式（3）代入： S2Dp=u0rS0(u0-S0u0/S2) 或： Dp/r=u02(1-S0/S2)S0/S2 （4）在无外功加入时，流体在水平直管中流动的柏努利方程为： Du2/2+Dp/r+Lf=0 （5）即： Lf=-Du2/2-Dp/r =-(u22-u02)/2-u02(1-S0/S2)S0/S2 =-(S02u02/S22-u02)-u02(S0/S2-S02/S22) =u02(1-S0/S2)2/2 （6） 一、流动场的概念第三节 微分衡算方程如果在空间的每一点，都对应某一个物理量的一个确定值，则称在这空间里确定了该物理量的

17、场。根据物理量是数量或矢量，相应地场就有数量场和矢量场。如果物理量的值不随时间而变化，则称这个场为稳定场，否则为不稳定场。为更好地描述速度场中各点的瞬时运动状态，引入“流线”的概念。流线就是与空间各点的速度矢量相切的曲线，也就是作矢量场的速度场中的矢量线。流线的性质：（1）流线不能相交；（2）在任一瞬时，空间的任何一点都有一条流线通过，因此流线是一曲线族；（3）在不稳定流动场中，流线的形状和位置随时间而变化。在稳定流动场中，流线不随时间而变。质点的空间运动轨迹称为迹线。当流动为稳定流动时，流线与迹线重合。 设流线上任一点的速度为u，其在三个坐标轴上的分量分别为ux、uy和uz。该点处曲线的切线

18、为ds，其在三个坐标轴上的分量分别为dx、dy和dz，则由流线的定义知u与ds平行，故有： uds=0根据矢量运算法则将上式展开，即得流线方程：在流场内取一封闭曲线，通过曲线上的每一点作流线，这些流线即构成一个管状表面，称为流管。流管的性质：（1）因为流线不能相交，所以流体只能在流管内流动，不能穿过流管表面；（2）流管表面上的速度方向永远与表面相切；（3）稳定流动时流管的形状不随时间而变，不稳定流动时流管的形状则随时间而变化。二、微分质量衡算和连续性方程（一）物理量的时间导数1. 偏导数r/q 某固定点处流体密度随时间的变化率2. 全导数dr/dq 观测者在流体中以任意速度运动，同时考察密度的

19、变化。此时密度对时间的变化率除与时间和空间位置有关外，也与观测者的运动速度有关。以密度为例：3随体导数Dr/Dq 观测者以与流体流动的速度相同的速度运动，则有： ux=dx/dq uy=dy/dq uz=dz/dq 这种导数称为“随体导数”，或称“拉格朗日导数”。局部导数对流导数（二）连续性方程的通用形式 x z y0dxdydz在流动的流体中取一平行六面体微元，边长分别为dx、dy和dz，流速分量分别为ux，uy和uz，则从左侧面流入的质量通量为： ruxdydz从右侧面流出的质量通量为：在x方向上净流出的质量通量为： 在y方向上净流出的质量通量为：在z方向上净流出的质量通量为：总的净质量流

20、量为： 微元体内质量的累积速率为： 由此得微分质量衡算式： （三）连续性方程的化简 引入随体导数的概念后： 稳态流动 不可压缩流体柱坐标系中的通用连续性方程 球坐标系中的通用连续性方程 例2-3-1不可压缩流体二维流动的速度分布为： 问此流动是否满足连续性方程式。解： 满足连续性方程式，流动是连续的。 三、微分动量衡算和运动方程 （一）流动的流体所受的力 体积力 dFgx=Xrdxdydz=0 dFgy=Yrdxdydz=0 dFgz=Zrdxdydz=-grdxdydz 表面力： 当微元的体积缩小为一点时，相对两个表面上的法向应力和剪应力相应地大小相等，方向相反。因此，用3个法向应力分量和6

21、个剪应力分量就可以表达任何一点流体所受的应力，这9个应力分量分别是： txx、tyy、tzz、txy、tyx、txz、tzx、tyz、tzy。可以证明，在6个剪应力分量中只有3个是独立的，即有： txy=tyx txz=tzx tyz=tzy这样，任何一个微分控制体的受力状态，可以用9个独立的分量（3个法向应力，6个剪应力）完全表达。 （二）用应力表示的运动微分方程 用拉格朗日方法考察流动流体微元，牛顿第二定律为：在x方向上流体微元受的应力为：xzy0合力：加上质量力后：y方向： z方向： 即以应力表示的运动微分方程 （三）应力与剪切速率的关系 1. 剪应力与速度梯度（即剪切速率）之间的关系：

22、 2. 法向应力与静压力和剪切速率的关系： （四）纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程 将应力和剪切速率间的关系代入运动方程：四、运动方程的应用 （一）理想流体的稳态层流 对重力场内的稳定流动，有： 流线方程： uydx=uxdy uzdx=uxdz uydz=uzdy 将运动方程诸式分别乘以dx、dy和dz，再代入流线方程，最后将三个方程相加，得到： uxdux+uyduy+uzduz=-gdz-dp/r 积分得流线上的柏努利方程： u2/2+gz+p/r=常数 （二）平壁间的稳态层流设粘度为常数的不可压缩流体流过两平行平板之间，流动为充分发展的稳态层流，两块板是固定的，且为无限

23、宽，流动的推动力为x方向的压强梯度。xy z02y0连续性方程： Navier-Stokes方程： 可见p不是z的函数，若2y0很小，p也不是y的函数 。积分得： 可见速度分布为抛物线。（三）圆管内的稳态层流 设粘度为常数的不可压缩流体由一恒定的压强梯度推动，在一半径为r0的水平管内流动。 zxy0qr连续性方程： Navier-Stokes方程： 五、微分能量衡算方程 （一）微分能量衡算方程的推导用拉格朗日方法，微元控制体的热力学第一定律为： DU=q-w 流体做的功： 即： dU=dq-(pdv-dhf)用随体导数的形式表达为： 取微元六面体，由于采用拉格朗日方法，所以其质量不变，上式各项

24、均乘以rdxdydz得： 引入焓： H=U+pv 则： 代入上式：若考虑内热源的存在：（二）微分能量衡算方程的特定形式在一般工程问题中，流体的摩擦热可以忽略不计。 1无内热源不可压缩流体的对流传热 2固体中的导热 无内热源时为傅立叶（Fourier）第二定律 ：有内热源的稳态导热为泊松（Poisson）方程 ： 无内热源的稳态导热为拉普拉斯（Laplace）方程： 例2-3-3密度为常数的流体在水平管内作层流流动时被加热，试用微分能量衡算方程导出其偏微分方程及其边界条件。流体的流速为常数，在半径r=r0的管壁处热流率是常数q0，过程处于稳定状态，并假定在z=0的进口处已建立起速度分布。假设物性是常数。解：根据连续方程得ux/z=0。采用柱坐标求解稳定状态的 运动方程，得到抛物线型的速度分布： uz=uzmax1-(r/r0)2 （1） 因为流体的密度为常数，可用柱坐标系的微分能量衡算方程。在这种情况下ur=0和uq=0。因为轴对称，t/q=0，2t/q2=0。对于稳态，t/q=0。因此有： 通常z方向导热项2t