光学成像系统的频率特性

1、光学成像系统的频率特性 第1页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一3.2 透镜的傅里叶变换性质物在透镜前第2页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一3.2 透镜的傅里叶变换性质物在透镜后第3页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一3.2 透镜的傅里叶变换性质 结论 (1) 在一般情况下，频谱面上的光场分布是物频谱函数与一个二次位相因子的乘积，因而是物函数的近似傅里叶变换，即准傅里叶变换。 （2）将输入面置于透镜前焦面上，可得到物函数的准确傅里叶变换（3）照明光源，既可以用单色轴向平行光照明，也可以用光轴上的单色点光源照明。 （4）绝大多数情况下

2、是采用单色轴向平行光照明，因而物面位于透镜前焦面上并用轴向平行光照明的光路具有特殊的意义。 第4页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一透镜傅里叶变换光路变换性质 物面 位置光源位置 变换平 面位置 二次相 位因子 空间 频率 前焦面 后焦面 无 无 透镜前 处 后焦面 紧靠透镜 后焦面 透镜后 处 后焦面 傅里叶变换准傅里叶变换第5页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一 在光学信息处理中，通常是通过对物频谱的处理来达到对物所成的像进行处理的目的。如果频谱函数在空间尺度上能按一定比例缩放，则对光学信息处理在应用上将带来一定的灵活性。 当物在透镜后方时，采用平行

3、光照明，有 可起到调节频谱大小的作用。 当采用平行光照明时，若物位于透镜之前，则不管物面是否位于前焦面上，空间频率与频谱面上的空间尺度之间的比例是固定不变的，即当物位于透镜之前，且 d0=0 ，则空间频率与频谱面上的空间尺度之间的比例随q大小改变的，即第6页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一在用单色平行光照明物面时，不论物在透镜前的任意位置上，频谱面总是在后焦面上。物理解释：对物函数作傅里叶变换，频谱函数 代表空间频率为 的指数基元的权重密度。而空间频率一定的指数基元为传播方向一定的单位振幅的平面波。该平面波经过透镜之后，必然会聚在透镜后焦面的一点上。 透镜的傅里叶变换性质

4、 说明第7页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一频率坐标与位置坐标的关系x fx(x,y)f第8页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一3.3 透镜孔径对透镜傅里叶变换的影响 透镜孔径的大小总是有限的，它对其傅里叶变换特性会产生影响。 当物在透镜前，且用平行光垂直照明 ，有 下面，我们在忽略透镜孔径的衍射作用条件下，仅从几何光学近似出发，研究透镜孔径函数对光线的限制作用第9页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一透镜孔径对光线的限制作用 频谱面上任意一点处的光场可以看作是整个物体上所有各点发出的一切以方向余弦传播的平行光线经透镜会聚后的叠加，光

5、线受到了透镜孔径的限制，只有其中一部分能进入透镜并被会聚。 x fx(x,y)f透镜孔径对光线的限制作用xyx0y0M(x,y)f第10页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一只有在孔径投影区内的物体发出的以方向余弦传播 的光线才能通过透镜会聚于M点，而投影区外物体发出的该方向光线将不能进入透镜而受到限制。此时M点的光场将不能完全代表整个物在该方向平面波所对应的空间频率的谱值。如果物体在孔径投影区之外，则表明物体上以OM方向传播的平面波完全不能通过透镜而会聚，此时M点的光场为零。 薄透镜相当于一个低通滤波器，它限制了高频分量的通过。xyx0y0M(x,y)f第11页，共78页，

6、2022年，5月20日，3点53分，星期一透镜的截止频率透镜的截止频率是指恰好不能通过透镜的平面波所对应的空间频率。 以物在前焦面上且用单色平面被垂直照明的情况为例 。设透镜的焦距为 f，孔径为D，物体大小为x fxf0fflD第12页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一透镜的截止频率则对应的截止频率为截止频率 与透镜孔径D有关。透镜孔径D越大时，截止频率 越高，能通过透镜的高频分量就越多，频谱面上得到的物体的傅里叶变换就越准确。 角所对应的空间频率 x fxf0fflD第13页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一物体准确傅里叶变换的最大空间频率物体的最大空

7、间频率不超过某一数值，在频谱面上仍然可得到准确的傅里叶频谱。 当物体的最大空间频率所对应的平面波以 角传播时，物体上所有的点发出该频率分量光波的都能通过透镜，此时有对应的最大准确空间频率为： x fxfmaxfflD第14页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一综上所述：如果物体的最大空间频率不大于 ，则该系统能实现对物体的准确傅里叶变换。如果物体存在高于 的频率分量，则对于物体中大于截止频率的频率分量，将完全不能通过系统，全部被透镜孔径所拦截。对于物体中 在 范围内的频率分量，只有一部分光线能通过透镜，即存在不同程度的渐晕，因而得到的傅里叶变换不是准确的。第15页，共78页，

8、2022年，5月20日，3点53分，星期一本节所讨论的薄透镜的傅里叶变换性质，那是在近轴条件下得到的。对于非近轴情况下的傅里叶变换必须使用专门设计的傅里叶变换镜头才能获得理想的傅里叶频谱。 第16页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一3.4 正薄透镜的成像物体后表面光场：象面光场：物光波场函数分解为无数个点光源复振幅之和。 光波的传播过程是线性的，成像系统也可以看成是线性系统，如果能求出单位脉冲(函数)通过系统后的响应表达式，将它与每个相应物面元上的复振幅相乘后求和，就可得到输出面上的复振幅分布。 x, ydid00 x, yx0, y01第17页，共78页，2022年，5月

9、20日，3点53分，星期一正薄透镜的成像物面上 点的单位脉冲在透镜前表面上的光场分布为（近轴光线）在透镜后表面上的光场分布为 利用菲涅耳衍射公式，得到像平面上的光场分布，即脉冲响应第18页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一脉冲响应 由于满足高斯公式 第19页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一设透镜的横向放大率为 ，则略去所有常数位相因子，振幅点扩散函数的形式变成第20页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一对应于物点 的几何像点位置为 上式左边可以写成 的形式 在近轴条件下透镜成像系统是空间不变系统。 第21页，共78页，2022年，5月

10、20日，3点53分，星期一当透镜孔径比 大很多时，在坐标 中，在无限大的区域内可认为 第22页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一正透镜的成像 在相干光照明情况下，物面光场分布 经透镜后在像面上的光场分布为对于几何像有第23页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一若用几何像的位置坐标代替物面坐标，则积分运算可在像面上进行，即或者该式表明，实际像是几何像与脉冲内应在像面上卷积的结果，这是考虑了衍射效应后系统所成的像。衍射效应愈强，振幅点扩散函数的分布也就愈宽，则卷积的平滑作用愈强。系统的分辨率愈低像质下降。 第24页，共78页，2022年，5月20日，3点53分

11、，星期一3.5 衍射受限系统成像分析 衍射受限系统: 一个光学成像系统不存在任何几何像差，其成像过程只受到有限大小的孔径衍射的影响，则称该成像系统为衍射受限系统。 第25页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一光学成像系统的黑箱模型 光学成像系统通常是由多个光学元件(如正透镜、负透镜、光阑、转向棱镜等)组成的。系统中总是存在一个实际起限制光束通光孔径作用的孔径光阑。孔径光阑是光学系统的特征元件之一。孔径光阑经它前面的光学元件所成的像就是系统的入射光瞳(简称入瞳)，而孔径光阑经它后面的光学元件所成的像是系统的出射光瞳(简称出瞳)。 入瞳和出瞳是一对等光程共轭面。系统的衍射效应归结

12、于是由入瞳引起的，或是由出瞳引起例，二者完全等价。 第26页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一成像系统黑箱模型任何一个复杂的光学成像系统的所有光学元件都装入一个黑箱中，入瞳和出瞳是它的两个端面，其对光的衍射效应都可以只归结于黑箱两端面上的入瞳或出瞳的作用，这就是一般光学成像系统的黑箱模型。 A(xi,yi)y0 x0yxyxyixiA(x0,y0)物面黑箱像面第27页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一系统的成像过程 物平面到入瞳面，满足菲涅耳衍射；入瞳面到出瞳面，可用脉冲响应确定系统作用；出瞳面到像平面，满足菲涅耳衍射。 成像过程：物平面上任一物点发出的

13、发散球面波投射在黑箱模型的入瞳上，光波在有限大小的入瞳处发生衍射，入瞳面上每一点都成为次级子波源，次级子波源再传播到出瞳面，然后光波最终在像面上形成以几何像点为中心的光瞳的夫琅和费衍射图样。 第28页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一成像过程衍射受限系统（无像差系统）：物面上任一点发出的发散球面波投射到入瞳上，被系统变换为出瞳上的会聚球面波会聚于成像面。有像差系统：物面上任一点发出的发散球面波投射到入瞳上，出瞳上透射波场明显偏离理想球面波，偏离程度由像差决定。第29页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一衍射受限系统脉冲响应物点发出的球面波，在像方得到的将是

14、一个被出瞳所限制的球面波，该球面波以几何像点为中心的。由于光瞳的限制作用，像面上光场是以理想像点为中心的出瞳孔径的夫琅和费衍射图样。变换坐标为理想像点位置脉冲响应（点扩散函数）第30页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一衍射受限系统的成像规律设物光波场复振幅分布 各点是相干的像面上光场分布第31页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一其中脉冲响应： 理想像分布：像面上的光强分布为：并且有：第32页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一注意到：脉冲响应有：在衍射受限系统中，在相干照明条件下，系统脉冲响应函数 是光瞳函数 的傅里叶变换。由此可见光瞳

15、函数的重要性。第33页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一3.6 衍射受限系统的相干传递函数1. 相干传递函数（CTF）的概念 CTF: coherent transfer function 由于衍射受限的相干成像系统对于复振幅是线性的。在空城中，系统的成像特性由脉冲响应函数 表示，它满足卷积方程第34页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一相干传递函数对上式两边分别进行傅里叶变换并运用卷积定理，则得到相干成像系统在频域中的物像关系式第35页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一相干传递函数 定义脉冲响应函数的傅里叶变换为相干成像系统的CTF，

16、即 因为CTF反映了在相干照明时，光学成像系统对不同空间频率光波的传递能力，所以又称为成像系统的频率响应或频率特性。 第36页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一相干传递函数在衍射受限系统中，脉冲响应函数是光瞳函数的傅里叶变换，即因而CTF为 式中P的负号是因一个函数连续进行两次傅里叶变换所产生的。它表示CTF正比于反射坐标中的光瞳函数。当把光瞳面上坐标反向时，这个负号便可略去。第37页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一相干传递函数由于一般的光瞳函数都是对光轴呈中心对称的，坐标反向的结果不会产生任何实质性的影响。因此，在讨论相干成像系统的CTF时通常写成

17、第38页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一结论：2. 相干成像系统的CTF只有两个取值：1或0。 因为成像系统的光瞳函数 只有两个取值相干成像系统的CTF等于光瞳函数，只要将光瞳函数 中的空间坐标变量x、y改换成频域变量 即可. 3光学系统的作用相当于一个低通滤波器 第39页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一CTF的截至频率把能通过系统的光波的最大空间频率称为该系统的截止频率，用 表示。空间频率低于截止频率的光波能无衰减地通过系统，而空间频率高于截止频率的光波则完全不能通过系统。这表明光学系统的作用相当于一个低通滤波器。通光谱带由光瞳的形状及尺寸决定。

18、第40页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一CTF计算举例 1. 方形光瞳设相干成像系统的出射光瞳是边长为 的正方形此时光瞳函数为二维矩形函数系统的CTF也为二维矩形函数： 第41页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一截止频率为 最大截止频率Hc(fx, fy)fxfy1/2di1/2di1第42页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一 2图形光瞳当光学成像系统的出瞳为直径等于 的圆孔时，其光瞳函数为圆域函数CTF也为圆域函数截止频率在所有方向上均为 fyfx1/2di1/2diHc(fx,fy)1第43页，共78页，2022年，5月20日，

19、3点53分，星期一对CTF的简要说明CTF表示光学成像系统对物分布中空间频率为的平面谐波的传递能力。它是脉冲响应函数的傅里叶变换。它的函数形式与光瞳函数相同。 反映了平面谐波通过系统后复振幅的变化，对于任意复杂的输入，经傅里叶变换后得到一系列不同方向(即不同空间频率)的平面谐波，而频谱 则表示这些平面谐波复振幅的权重因子。每个方向的平面谐波复振幅乘以该频率的传递函数值，就得到相应输出平面谐波的复振幅。第44页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一对CTF的简要说明CTF是在频域内表征光学系统对平面谐波的传递能力，而光瞳函数则是在空城中描述该系统对球面波的限制作用。只有能通过出瞳

20、的光波才能到达像面综合为像的复振幅分布。可见，CTF和光瞳函数虽然是不同域中的不同表示方法，但它们所表示的问题的实质是相同的，二者是等价的，函数形式也是相同的。因为CTF是频域中的特征量、所以当用光瞳函数来表示CTF时，自然必须把空间坐标变换成频域变量。 第45页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一3.7 衍射受限系统非相干成像的光学传递函数光学成像系统采用非相干光源例如太阳光、白炽灯等照明时，物面上各点的光振动是彼此独立、与统计无关的，这是属于非相干成像情况。在一定条件下，非相干成像系统对光强分布是线性的，并且是空间不变的；而对物和像的复振幅分布则是高度非线性的。 第46页

21、，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一光学传递函数OTF的概念（Optical transfer function） 在非相干光照明情况下，光学成像系统对光强分布是线性的。 相干照明情况下，像面上的光强分布为其中：重要第47页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一非相干成像系统的线性特性： 当用非相干光照明曲面时，曲面上的光场是空间非相干的，像面光场也是非相干的，不同位置上的几何像点的光扰动彼此统计无关。 式中角括号表示对其中的物理量在足够长的时间内求平均。 第48页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一式中 是几何像的光强分布函数，是以几何像点

22、为中心的点扩散函数。 称为系统的强度脉冲响应函数，或称为强度点扩散函数 结论：非相干成像系统对于光强是线性的。第49页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一是光瞳函数的傅里叶变换。与光瞳函数之间也存在确定的关系。 在非相干照明下，频域中的物像关系： 由于该情况下衍射受限系统对于强度分布是线性空间不变系统，所以一般描述 物像的强度关系。 第50页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一对上式进行傅里叶变换并运用卷积定理可得： 其中：由于 都是强度分布，它们必定是非负实函数，因而其频谱必定含有零频分量，而且零频分量的幅值大于任何非零频分量的幅值。 第51页，共78页，

23、2022年，5月20日，3点53分，星期一 决定像的清晰与否，主要不是看包括零频在内的总能量的大小，而在于带有物信息的那部分能量相对于零频分置的比值的大，即像的对比度。 考察 相对于各自零频分量的比值 ，反映成像质量。 用零频分量对它们归一化，得出归一化频谱： 、 第52页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一被称为光学传递函数(OTF) 第53页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一由于人眼判断图像质量的优劣往往不在于图像本身亮度的大小，而很大程度上取决于图像相对于背景的对比度，因而归一化后的相对光强分布更能反映系统的成像特性。 OTF反映的就是非相干成像系统

24、的频域持性。 一般是一个复函数，可以写成如下形式 称为调制传递函数(MTF) 称为位相传递函数(PTF) 第54页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一OTF与CTF的关系利用自相关定理可得：第55页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一OTF与光瞳函数的关系 对于相干成像系统： 对于非相干成像系统： 由于光瞳函数只有1和0两个取值，当成像系统是不存在像差的衍射受限系统时 ，且是实函数 。 第56页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一OTF的几何意义分母表示光瞳的总面积A分子表示两个错开的光瞳函数乘积的积分，恰好是两个错开的光瞳重叠部分的面积S

25、 fyfxfyfxdifxdifyfyfx第57页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一结 论1. 衍射受限系统的OTF在数值上等于归一化的两个错位光瞳的重叠面积。2. 对于不同的空间频率 ，两个光瞳的错位量不同，归一化的重叠面积也不同, 有不同的值。3. 0TF恒为非负实数，但它不一定是频率的单调下降函数。 第58页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一OTF的一般性质OTF具有一系列非常简单而又普遍的性质，其中最重要的三个性质是 ：第59页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一OTF计算举例 方形光瞳光瞳总面积用几何方法可以求出两光瞳错位后的

26、重叠面积 fxfydifxdifyL-difxL-dify第60页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一OTF在 方向上的截止频率为 OTF的截止频率是CTF的截止频率的2倍 第61页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一 的值不像 一样是常数1，而是随空间频率的增大而减小。fyfx2fy02fx01H方形光瞳衍射受限系统OTF第62页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一2. 圆形光瞳圆形光瞳的直径为 在截止频率内的OTF为: fxfydifxdifx1/2（局部放大图）两个错位圆形光瞳重叠区域面积计算第63页，共78页，2022年，5月20日

27、，3点53分，星期一相干照明时CTF的截止频率 :OTF的截止频率是CTF截止频率的2倍： fyfx1H(fx, fy)2fx0圆形光瞳的衍射受限系统的OTFfx2f0f0方孔H(fx,fy)圆孔H(fx,fy)0CTF和OTF的比较HCH(fx, fy)HC(fx, fy)1第64页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一OTF的物理解释 1. 0TF是像的强度归一化频谱与物体(或理想几何像)的强度归一化频谱之比值，是成像系统强度脉冲响应 (即点扩散函数) 的傅里叶变换。 2. 0TF的物理含义与CTF相似，只不过前者是对光强而言，而后者是对复振幅而言。 重要结论第65页，共7

28、8页，2022年，5月20日，3点53分，星期一3.8 实际光学系统的传递函数 衍射受限系统的传递函数可以用光瞳函数来描述。 任何一个实际光学系统总是存在像差的。根据波像差理论，像差的存在会使得出瞳上的实际波前偏离理想球面波前。这一偏差是位相偏差引起的。因此，实际成像系统的光瞳函数是复函数。为此引入“广义光瞳函数” ，其定义： W(x，y)表示波面对理想球面的偏离的光程差，被称为波像差第66页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一实际光学成像系统的CTF 与衍射受限系统相比，实际成像系统的CTF只是增加了一个位相偏差项 位相因子会影响像的对比度，但不会改变系统的截止频率。 第6

29、7页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一实际光学成像系统的OTF有像差的非相干成像系统的截止频率与无像差时的截止频率一样。像差将使高频部分和较高频部分的传递能力降低，使像的光强分布中高频分量的衬度下降。 当衬度低于某值时，接收器将无法分辨。 第68页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一3.9 相干成像和非相干成像的比较 对同一个成像系统，0TF的截止频率是CTF的截止频率的两倍。是否表明同一个成像系统用非相干照明比用相干照明的成像效果更好呢?结论并非如此简单。 CTF的截止频率确定的是像中包含的复振幅分布中的最高频率分量，而OTP的截止频率则是反映像的强度分

30、布中的最高频率分量。两种情况下的截止频率是分别对复振幅和光强而言的，二者所描述的对象不是同一物理量，因而不能直接进行比较。 无论是相干照明还是非相干照明，通常最终接收的是像的强度分布，必须将相干照明情况下对复振幅的描述转换成对光强度的描述，然后通过强度分布来进行比较 第69页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一像的强度频谱与衬度在相干照明时像的光强度 在非相干照明时，像的光强度 相关运算符号 第70页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一假设物体是两个不同类型的一维光栅A和B。它们的振幅透射系数分别为 为系统的相干截止频率 物体A和B的强度透过率是相同的，均为 为简单起见。假定成像系统的出瞳为正方形，并且只研究一维情况。 第71页，共78页，2022年，5月20日，3点53分，星期一在两种照明情况下物体A的像光强频谱 fxfx0-fx0-2fx02fx00HC1fxfx0-fx0-2fx02fx00HC# HC1相干非相干fxfx0-fx0-2fx02fx01/21/40HC Gg1/42fx-2fxfxfx0-fx0-2fx02fx01/21/20Ggfx-fxfxfx0-fx0-2fx0