圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线解题技巧和方法综合

1、圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(Xi,yi),(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。 22如：(1) 与=1(a Ab 0)与直线相交于 A、B,设弦 AB中点为 M(Xo,y0),则有 a bXoa,二0。2 X (2) a2%=1(a O,b O)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(Xo,yo)则有 bXoy。k =0(3) y2=2px ( p0)与直线l相交于A、B设弦

2、AB中点为M(xo,yo),则有2yok=2p,即yok=p.典型例题给定双曲线X2 -y-=1。过A(2, 1)的直线与双曲线交于两点P 及F2，求线段P1 P2的中点P的轨迹方程。(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。22典型例题 设P(X,y)为椭圆=1上任一点，E(c,O) , F2(c,O)为焦点，a b/PF1F2 =n , /PF2F1 = P。(1)求证离心率33(2)求 |PF1| +PF2I 的最值。圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方

3、法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y2 =p(x +1) (p 0),直线x +v =1与*轴的交点在抛物线准线的右边。(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OAL OB,求p关于t的函数f的表达式。(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的

4、函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函 数，三角函数，均值不等式)求最值。(1),可以设法得到关于 a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把 NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关 键是由方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型

5、例题已知抛物线y2=2px(p0),过M (a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点 A、B, |AB| w 2P(1)求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求4NAB面积的最大值。(5)求曲线的方程问题.曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线 C的顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上。若点 A (-1, 0)和 点B (0, 8)关于L的对称点都在 C上，求直线L和抛物线C的方程。圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品.曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点 Q (2, 0)和圆C： x2+y2=1,动

6、 点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 九(九0)求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。(6)存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 22x y典型例题已知椭圆 C的万程+ L = 1 ,试确定 m的取值范围，使得对于直线43y =4x + m ,椭圆C上有不同两点关于直线对称(7)两线段垂直问题一，、一一y1 , y2，圆锥曲线两

7、焦半径互相垂直问题，常用ki k2 =- = -1来处理或用向量的坐标x1 , x2运算来处理。典型例题已知直线l的斜率为k,且过点P(-2,0),抛物线C:y2 =4(x + 1),直线l与抛物线C有两个不同的交点(如图)。(1)求k的取值范围；(2)直线l的倾斜角日为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品二、解题的技巧方面在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。 下面举例说明：(1)充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何

8、图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代 数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。22典型例题 设直线3x+4y+m = 0与圆x +y +x2y = 0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若 OP_LOQ ,求m的值。(2)充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点 O,焦点在y轴上的椭圆与直线 y = x+1相交于P、Q两点，. 10且 OP_LOQ , |PQ| 二求此椭圆方程。(3)充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此

9、也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆 C1： x2+y2 4x + 2y = 0和C2: x2+y22y4 = 0的交点，且圆心在直线l : 2x+4y 1 =0上的圆的方程。(4)充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这 也是我们常说的三角代换法。22x v典型例题P为椭圆 二十2=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四a b边形OAPB面积的最大值及此时点 P的坐标。圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品(5)线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长

10、的方法是：把直线方程 y = kx + b代入圆锥2曲线万程中，得到型如 ax +bx+c = 0的方程，方程的两根设为 xA, xB，判别式为,则|AB|=，1 +k2 |xA -xB|= v1 +k2 ,若直接用结论，能减少配方、开方等运算|a|过程。例 求直线x y+1 =0被椭圆x2 +4y2 = 16所截得白线段AB的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。22x y例 F1、F2是椭圆 + 1 =1的两个焦点，AB是经过F1的弦，若|AB|=8,求值259|F2A| |F2B|利用圆锥

11、曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A (3, 2)为定点，点F是抛物线y2 =4x的焦点，点P在抛物线y2 = 4x上移动，若| PA|+| PF |取得最小值，求点 P的坐标。圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品三、圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1,直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 k = tan ： , 口三0,二)点到直线的距离 d - AxBy020夹角公式：tana = 旦二k1Ja2+B21+k?ki(3)弦长公式直线 y =kx +b 上两点 A(x1, y

12、1), B(x2, y2)间的距离：AB = Jl + k2 反x2=11 +k2)(x +x2)2 4x1x2或 AB =1 +5|yi - V2(4)两条直线的位置关系 l1_L 12 y k1k2=-1Lu k = k2 且 bi # b22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)x y标准方程:十=1(m 0, n A0且m # n)距离式方程: (x c)2 y2 ，,(x - c) y = 2a参数方程:x = acos y =bsin -(2)、双曲线的方程的形式有两种、一 x y标准方程：一 =1(m n 0)距离式方程： | (x c)2 y2 - ,

13、(x -c)2 y2 尸2a(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22椭圆：组；双曲线：组；抛物线：2P圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? TOC o 1-5 h z 22MF2 =2X V如：已知F1、F2是椭圆 +w-=1的两个焦点，平面内一个动点 M满足 MF1 -则动点M的轨迹是()A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线2(5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，SF1PF2 =b2tan- 21P在双曲线上时，Spf2 =b cot-.9.9. 9IPFI IPFc I-4c 一 一 一(其中 ZFiPF2=0,cos0

14、!,PFiPF2=|PFi |PF2 |cos9)IPF1IIPF2I(6)、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x轴上时为a土e%;焦点在y轴上时为aey0,可简记为“左加右减，上加下减”。(2)双曲线焦点在x轴上时为e|x0|a(3)抛物线焦点在x轴上时为I% | + P,焦点在y轴上时为| V11 + p TOC o 1-5 h z 22(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？_第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)222 2o =03设Alxy/、B(x2,y2 ), 乂似力)为椭圆工+义一 =1的弦人8中点则有 43 HYPERLINK l bookmark36 o Current

15、Document 222222x1y1x2y2,“ 一 一口 x1-x2y1十 = 1 , += 1 ;两式相减得 十 434343a4bx1 一x 、x2v1 - y2 yly2.二-= Kab =432、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立， 消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式之0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点代入曲线方程得到E0两个式子，然后 -Q),整体消元/，若有两个字圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品母未

16、知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 y=kx+b,就意味着k存在。例1、已知三角形 ABC的三个顶点均在椭圆 4x2 +5y2 =80上，且点A是椭圆短轴的一个 端点(点A在y轴正半轴上).(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；(2)若角A为90, AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为90可得出AB AC ,从而得X1X2 +

17、必丫2 -14(yi +y?) +16 = 0 ,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程； TOC o 1-5 h z 2222X1V1X2V2解：(1)设 B ( X1,y1)，C(X2,y2 ),BC 中点为(X0,y0),F(2,0)则有 一 + = 1, +=120162016两式作差有(X1X2)(X1-X2) (y1 -y2)(y1y2)=0X。.y0k=0201654, 一，一 , X1 X2rV1V24rF(2,0)为三角形重心，所以由二一2=2 ,得X0 =3,由2二一=0得y0 = 2，代 HYPERLINK l bookmark64 o Current Docume

18、nt 33入(1)得k =6 5直线BC的方程为6x -5y 28=02)由 ABXAC 得X1X2 +y1y2 -14(y1 +y2) +16 = 0(2)设 直 线 BC 方 程 为 y = kX+ b,代入4x2+5y2 = 80, 得(4 5k2 )x2 10bkX 5b2 -80 =0X1X2-10kb4 5k2X1X25b2 -804 5k2V18kV2=K,V1VL2 一 24b -80k24 5k代入(2)式得- 2 -9b -32b -1624 5k2圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品,4解得b = 4（舍）或b = 9 y 44y -4 .一一 2_ 2 一 一

19、一 TOC o 1-5 h z 直线过定点（0, 一 ），设 D（x,y）,则9一 = _1,即 9y +9x 32y 16 = 0 9x x一 216 220 2所以所求点D的轨迹方程是x +(y-6) =(，) (y04)。994、设而不求法 例2、如图，已知梯形 ABCD中AB =2CD，点E分有向线段 AC所成的比为 九，23双曲线过C、D、E二点，且以A、B为焦点当M九时，求双曲线离心率 e的取34值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy,如图，若设C1-,h 1代22222入三_%

20、=1 ,求得h=，进而求得xE =，yE =，再代入 三4=1 ,建立目标 a ba b函数f (a, b, c,九)=0 ,整理f (e,儿)=0 ,此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略，建立目标函数f(a,b,c5) =0,整理f(e,K)=0化繁为简.解法一：如图，以 AB为垂直平分线为 y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系 xOy ,则CD y轴因为双曲线经过点 C、D,且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知 C、D关于y轴对称依题意，记A(-c,0 ), C l-,hE(x,y0 ),其中c=1 |AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得22cc_

21、2_-2 c _ h、。=下=行亍y。1+九22设双曲线的方程为X,=1 ,则离心率e=-a2b2a圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品由点C、E在双曲线上，将点 C、E的坐标和e = c代入双曲线方程得 a22e h .2 =1 ，4 be2 _2 TOC o 1-5 h z 了 b222由式得h e-2 = -1 b24将式代入式，整理得e2_(4 4九)=1 +2% ,3e2 1e2 2 44，一 232由题设2 _ , _3得，2 1343解得所以双曲线的离心率的取值范围为坛,V10 分析：考虑AE , AC为焦半径，可用焦半径公式，AE , AC用E,C的横坐标表示，回避h

22、的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一，AE =(a+exE ), AC =a+e% ,c-cx2-Xe -1 , -2 c2-1AEAC,.、一一3，代入整理九=1,由题设1 , ：.，e 12- 3 /日一W九M 一得,34e2 2二4解得,7 e J0所以双曲线的离心率的取值范围为JO】5、判别式法例3已知双曲线C .亡_二=1,直线l过点aQ5,0),斜率为k ,当0 k 1时，双曲22线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为 反，试求k的值及此时点B的坐标。圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合

23、必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B作与l平行的直线，必与双曲线 C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 =0.由此出发，可设计如下解题思路:l : y =k(x - . 2)0 :二 k ;： 1直线i在i的上方且到直线i的距离为J2l: y =kx +Y 2k2 一2 2 2k把直线i的方程代入双曲线方程，消去 V,令判别式 = 0解得k的值解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅 有一点B到直线l的距离为J5”，相当于化归的方程有唯一解 .据此设计出如下解题思路:问题Ekx r

24、2 +x2 一行k关于x的方程=2 = J2 (0 k 1)有唯k2_ J口转化为一元二次方程根的问题求解简解：设点M (x, ：2+x2)为双曲线C上支上任一点，则点 M到直线l的距离为:kx T2 +x2 -vk于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k |x kx,从而有kx-V2 + x2 -72k =-kx+2 + x2 +V2k.于是关于x的方程(* )圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品kx . 2 x2. 2k = . 2(k2-1)卜；2 +x2 2 =(v；2(k2 +1) -s/2k +kx)2, 2(k2 1) - 2k kx 0-_2#2 -1x2+2

25、k12(k+1)-V2kx 2(k+1)_q_2k)-2 =0,：2(k2 +1) _&k +kx 0.由0 k 1可知:,2 1t 1, 2方程(k2 -1 X2 +2k2(k2 +1) &k X+；2(k2 + 1) -v2k)2 = 0 的二根同正，故是(中)等价于一 _21) - .2k -2 = 0.J2(k2 +1) -2k + kx a 0 恒成立，于k2 -1 x2 2k . 2(k2 1) - .2k x . 2(k2 .一2 . 5由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式 4=0,就可解得 k =公？.5点评：上述解法紧扣解题目标， 不断进行问题转换， 充分体现了全局观念与整

26、体思维的 优越性.例4已知椭圆C：x2 +2y2 =8和点P (4, 1),过P作直线交椭圆于 A、B两点，在线 段AB上取点Q,使空 =-AQ ,求动点Q的轨迹所在曲线的方程.PB QB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰， 学生往往不知从何入手。 其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 .因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q的横、 纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点Q(x, y)的变化是由直线 AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为 参数，如何将x, y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条AP AQ件： =

27、来转化 曲A、B、P、Q四点共线，不难得到_xa +xb) -2xaxb ,要建立xPB QBx-8-(xa xb)与k的关系，只需将直线 AB的方程代入椭圆 C的方程，利用韦达定理即可圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品通过这样的分析， 可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.在得到x = f (k比后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 x, y的方程(不含 k),则可由y = k(x-4)+1解得k =二，直接代入x=f(k)即可得到轨 x -4迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设A(xi 汨诲，y2),Q(x,y),则

28、由竺=处可得：匕1=1%,PB QBx2 - 4 x2 - x(1)解之得：x=4(x1 2)一 2x1x2 8-(x1 *2)设直线AB的方程为：y = k(x4)+1,代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一元二次方程:(2k2 +1k2 +4k(1 -4k)x+2(1 -4k)2 -8 = 0(2)4k(4k -1)xi X2 -,2k 1xx22(1 -4k)2 -8二22k 1代入(1),化简得：x二生U.k 2与 y =k(x4)+1 联立，消去 k得：(2x+y 4(x4) = 0.圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品在（2）中，由 = -64k2 +64k +24 a

29、0 ,解得2诃,2+严，结合（3）可求得:：k16 _2 1016 2 10故知点 Q 的轨迹方程为：2x + y4 = 0（ 16-210 x16+20的情形. -27k +6d9k2 -5-27k -6V9k2 -5(1 =2)长2)9k 49k 4X _ -9k 2 .9k2 -518k_18=1= 1 _18x29k +29k2 -5 9k+20时,所以APPB所以18-1 1 9 Nik2综上PB 5分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是

30、充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原AP %因在于 =-1不是关于x1，x2的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有PB x2了，即我们可以构造关于 x1，x2的对称关系式圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品简解2：设直线l的方程为：y = kx +3,代入椭圆方程，消去 y得XiX2X1X29k2 4 x2 54kx 45 = 0-54k 9k2 4, 459k2 4令 =八，则，九+1+2324k2*)X22 一45k - 20 一25在（*）中，由判别式 之0,可得k2,92从而有324 k245k20结合。九wi得!z 1.5上 一 AP . 1综上,

31、 一 1 _PB 5变量的有界点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法,性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的

32、相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思 维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品例6椭圆长轴端点为 A,B , O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且 AF FB =1 , 1=1 .(I)求椭圆的标准方程；(n)记椭圆的上顶点为 M ,直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l ,使点F 恰为APQM的垂心？若存在，求出直线 l的方程 若不存在，请说明理由。思维流程:tan(a c)(a - c)= 1 , c = 1写出椭圆方程k PQ =1两根之和, 两根之积 解扃殍MP FQ = 0得出关于m的方程解出m

33、由 AF FB =1 , |。耳=1-22(i)如图建系，设椭圆方程为 三十4=1(a Ab0),则c = 1 a b222又 AF FB=1 即(a+c) (ac)=1 = a -c a =22X 9故椭圆方程为一 y2 = 12(n)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为APQM的垂心，则设 P&yJQGR),M(0,1),F(1,0),于是设直线l为y = x + m ,y 二 x m由 22x2 2y2 =2得，3x2 4mx 2m2 -2 = 0MP FQ = 0 = x1(x2 _1)+y2(y1 1)又 yj = x +m(i =1,2)得 x1(x2 -1)十(x2 十 m

34、)(x1 + m -1) = 0 即圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品22x1x2 (x1 x2)(m -1) m - m = 0由韦达定理得22m - 2 4m2-2(m -1) m - m = 04八解得m = -或m = 1 (舍) 经检验m34,-符合条件.3点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2,0)、B(2,0)、C 11,3 i三点,2(I)求椭圆E的方程:(n)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(1,0), H(1,0),当ADFH内切圆的面积最大时，求A D

35、FH内心的坐标;思维流程:由椭圆经过A、B、C三点设方程为mx2 - ny2 = 1得到m, n的方程由 DFH转化为ADFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点ADFH面积最大值为, 0,nA0 )将 A(-2,0)、B(2,0)、4m =1,m 9 n = 14(n) |FH |=2,设A DFH边上的高为S/dfh当点D在椭圆的上顶点时,h最大为J3 ,所以Smfh的最大值为 亚.C。,；)代入椭圆E的方程，得11斛信m二一，n.，椭圆43圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品设ADFH的内切圆的半径为 R,因为A DFH的周长为定值6.所以，S封fh所以R

36、的最大值为 亭.所以内切圆圆心的坐标为 (0,更)点石成金:e1S廛内切圆=2父的周长父r我勺内切圆例8、已知定点C(-1,0)及椭圆x2 +3y2 = 5 ,过点C的动直线与椭圆相交于A, B两点.若线段 AB中点的横坐标是 -1，求直线AB的方程;2(n)在x轴上是否存在点 M ,使MA MB为常数？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.思维流程:(D解：依题意，直线 AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+1),22将y=k(x+1)代入x +3y =5,消去y整理得(3k2 1)x2 6k2x 3k2 -5=0.设 A(。yj B(X2, y2),:=36k4 -4(3

37、k2 1)(3k2 -5) 0,则6k2X 2 二.123k2 1(2)，一 一，一 1由线段AB中点的横坐标是 -一2Xix23k23k2 11 ,解得k =也，符合题23所以直线AB的方程为 xJ3y+1=0,x3y 1 = 0.(n)解：假设在 x轴上存在点M (m,0),使MA MB为常数.当直线ABx 轴 不 垂直 时二-，,123k2 13k2 -5 x1x2 - 3k2 1所以 MA MB = (x1 -m)(x2 -m) y1y2 = (x1 -m)(x2 -m) k2(x1 1)(x2 1)= (k2+1)x1x2+(k2m/x+x2)+k2+m2.将(3)代入， 整理 得圆

38、锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品MA MB 二2(6m -1)k2 -53k2 1m21214(2m- 1)(3k2 1) -2m- 14333k2 1m22 c 1 6m 14二 m 2m - 23 3(3 k2 1)注意到MA MB是与k无关的常数,从而有6m 14=0,7 4m =,此日M MA MB =.当直线AB与x轴垂直时，此时点A, B的坐标分别为f_12当1 , I、1 ? I 5 33.、37m = 7 时，亦有 MA MB =.39综上，在x轴上存在定点 M 1 - ,03I,使MA，而为常数.14点石成金：MA MB二(6m-1)k2 -512(2m )(3k

39、2 1)-2m- -333k2 13k2 1m2_1 6m 142m - - 73 3(3k2 1)例9已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M (2, 1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为 m (mw0), l交椭圆于A、B两个不同点。求椭圆的方程;(D)求m的取值范围;(出)求证直线 MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形思维流程:22x y解：(1)设椭圆万程为 + = 1(a b 0) a ba =2b则 41-f-2.2L.ab解得Ja2 =8b2 =2，椭圆方程为(H) .直线l平行于OM ,且在y轴上的截距为 m又 Kom= 21，l的方程为：y=x + m2圆锥曲线中的典型问题与处理方法一一数学之家出品1y = 一 x + m,22_2.由 22. x 2mx 2m -4 = 0匕=1.82直线l与椭圆交于A、B两个不同点,22=(2m)2 - 4(2m2 - 4) . 0, 解得一2m0,即 3 +4k2 -m2 0,8mkx1 x2 =-2，3 4k4( m2 -3)xx2 二2- -3 +4k2p 、，2一 、23(m2-4k2)又 y1y2 =(kxm)(kx2m)