高中数学人教A版高中必修5第一章解三角形-正弦定理教学设计富顺一中胥芳

1、正弦定理教学设计 富顺一中 胥芳一 内容和内容解析本节内容选自人教A版必修五第一章，第一节。解三角形问题和前面所学的三角函数，三角恒等变换，向量的知识紧密相关；现实生活中，航海，天文测量，地理测量等科学也以解三角形作为理论基础。正弦定理是对初中所学边角关系的量化，也体现了几何度量在现实生活中的应用，在整个高初中教材编排中具有承前启后的作用。本节课是正弦定理的第一课时，主要是让学生对一般三角形边角关系进行探索，发现并证明正弦定理，并能运用正弦定理解决一些简单的解三角形问题。本节课的内容主要分为三个部分：第一，用一首小诗引入，提出怎样测量塔的高度这一问题。通过导学案引导学生回顾初中所学的直角三角形

2、中的边角关系，猜想出正弦定理；第二，在导学案上设计一连串的问题引导学生小组讨论，分别用“作高法”和“外接圆法”证明正弦定理，然后师生共同认识正弦定理，总结出正弦定理可以解决的两类解三角形问题；第三，运用正弦定理解决简单的解三角形问题，并且回到引入部分测量塔的高度，首位呼应，让学生体会到正弦定理的应用价值。通过这三个步骤，主要让学生来完成正弦定理的证明与应用，体现学生的主体地位。学生通过“猜想证明应用”这一过程，掌握学习数学定理的一般方法，感受正弦定理在解决实际问题中的应用。二 目标和目标解析新课标对正弦定理的要求是：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度

3、量问题，能够运用正弦定理的知识解决一些与测量有关和几何计算有关的实际问题。根据课标要求，考虑到学生的认知结构心理特征和已有的知识水平，我对本节课的教学目标主要从以下三个方面进行确定：知识与技能：（1）能准确用符号写出正弦定理； （2）能运用正弦定理解决简单的解三角形问题。过程与方法：学生通过对任意三角形边角关系的探索，发现并掌握正弦定理，在正弦定理的证明过程中，体会从特殊到一般，分类讨论等数学思想。情感态度与价值观：1.通过探究活动，培养学生探索精神和创新意识；2.通过本节课的学习，领会数学的人文价值，美学价值。三 教学问题诊断分析 教学重点：正弦定理的证明和应用教学难点：（1）正弦定理的猜想

4、和证明；（2）已知两边及其中一边所对的角，解三角形。本节课我授课的班级是理科普通班，学生的基础相对较差，平时对老师的依赖性较强，缺乏独立思考的能力，在定理的猜想和证明过程中，学生可能没有思路。因此，我在导学案中用一些列的问题加以引导，在直角三角形和锐角三角形中证明了正弦定理，而钝角三角形中的证明和外接圆证法都留给学生小组讨论完成。在证明过程中，给学生渗透分类讨论，转化，从特殊到一般等数学思想。从而突破本节课的难点。由于学生年龄，思维结构的限制，在运用正弦定理的过程中，对于已知两边及其中一边所对的角这种情况，学生可能不会分类讨论或者错解漏解，这时应该让学生相互纠错，指出错误原因，训练思维的严谨性

5、。教材的例题角不特殊，需要用计算器才能算出来，因此，我设计了一个例题和一个变式练习，包含了正弦定理可以解决的两类解三角形问题，其中涉及到一些特殊角，比如：，学生可能不知其正弦，应该引导学生回顾和差角的正弦公式，准确算出其正弦值。四 教学支持条件分析本节课的授课对象是高一学生，在此之前，学生已经学习了三角函数，三角恒等变换，平明向量等知识，这为正弦定理的学习做了一些知识准备。初中时，学生也对三角形的边角关系有一个感性认识，即“大边对大角”,还学习了直角三角形中锐角的正弦定义。但对一般三角形中边角关系的量化认识还不够。根据维果斯基的最近发展区理论，本节课应抓住学生思维的最近发展区，将正弦定理的形成

6、过程充分展示给学生，让学生体会到从特殊到一般，从具体到抽象的知识形成过程。我校有交互式电子白板，可以播放PPT，也可以让学生上台讲解，书写；另外，还有视频展台，可以直接展示学生的作业书写。学生已有的知识基础和学校完善的硬件设施，都为正弦定理的教学提供了可行性。五 教学过程环节师生活动设计意图问题引入激发兴趣“近测高塔远看山，量天度海只等闲。古有九章勾股法，今看三角正余弦。”让学生齐声朗读小诗，并提出问题：怎样测量塔的高度？用一首小诗引入，激发学生的求知欲。写成小诗的形式，体现数学的人文价值。建立模型，把实际问题数学化，体现建模的思想。这个引入也暗含着学习正弦定理的目的解决一些实际测量问题。回顾

7、旧知猜想定理导学案中，呈现以下问题，让学生预习填写问题一：初中所学三角形边角关系？ 大边对 ，小边对 。问题二：在中，各角正弦如何表示？= = = 问题三：能找到等量关系吗？ = = 问题四：上面等量关系能否从统一形式的角度补充完整？,由此可得： 问题五：上述结论对锐角三角形和钝角三角形是否成立？建构主义的学习观认为，学习不是简单的信息积累，而是新旧知识经验之间的双向的相互作用过程。把此部分内容设计到导学案上，让学生提前预习填写。帮助学生回顾初中所学的直角三角形中的边角关系，把握学生思维最近发展区，引导学生猜想一般三角形中的边角关系。体现新旧知识的联系。小组合作证明定理环节一 让学生小组讨论证

8、明定理，锐角三角形的情况让学生阅读教材，在导学案上完成，同时用以下问题加以引导。钝角三角形和外接圆证法由学生小组讨论完成。1.在锐角三角形中，如何构建直角三角形？2.在和中，和的正弦如何表示？= ,= 3.这两个式子能找到等量关系吗？在中，= 在中，= ，= ，得到 4.作边高时有何种等量关系？在中， , 从而= = 5. 为钝角三角形，设为边上的高，如何证明上述关系？（请同学们尝试自己推导） 环节二 正弦定理的外接圆证法 学生先小组讨论，找到一些思路，然后再由老师引导学生一起完成证明，在证明过程中，主要引导学生怎样构建直角三角形。1如图所示，在RtABC中，斜边c等于RtABC外接圆的直径2

9、R，故有eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R，如何证明？ 2 如图所示，锐角三角形ABC和它的外接圆O，外接圆半径为R，怎样证明等式eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R？3如图所示，钝角三角形ABC，A为钝角，圆O是它的外接圆，半径为R，怎样证明等式eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R？环节三 认识定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 = = = 2、一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知

10、三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .利用正弦定理可解决两类解三角形问题：（1）已知 ，求其他两边和一角；（2）已知 ，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 引导学生从文字叙述，结构特点，方程观点三个方面认识正弦定理，并和学生一起分析出正弦定理可以解决的两类问题。 通过层层递进的问题设计引导，小组参与讨论，鼓励学生自己证明正弦定理，体现从特殊到一般的思维方式，与上一环节一起，让学生领悟“观察-猜想-证明”这一学习数学定理的方式，达到突破正弦定理证明这一难点的目的讲解正弦定理的外接圆证法主要得到正弦定理中边与对应角正弦的比值是一个定值，而且这个定值与三角形外接圆有关。为以后边角互化作准备帮助

11、学生准确记忆正弦定理的符号表示，深刻认识正弦定理，分析正弦定理的应用范围运用定理加深理解例1解三角形（1）小题由教师板书书写格式，提醒学生规范书写，（2）小题选一位同学的书写用视频展台展示，请同学点评指正。第二小题中会出现两组解，学生可能不知道如何取舍，教师应点评出什么时候有两组解，遇到两组解得时候是否舍去，怎样舍去。例2 回到引入部分的问题： 如果用量角仪在C,D两点测得塔尖的仰角分别是 ，求塔AB 的高？变式练习：变式练习由学生独立完成，教师巡视，请两位同学上黑板书写，师生一起找出存在的问题，并规范书写。 例1是运用正弦定理解决简单的解三角形问题。学生通过模仿老师书写，小组之间互相纠错，准

12、确应用正弦定理例2是实际应用问题，与引入当中的问题遥相呼应，让学生学以致用，体会到正弦定理确实能解决实际问题。变式练习的设计，可以让学生强化练习，突出本节课重点定理的应用。本题第二小题有两组解，体现分类讨论思想，培养学生严谨的思维方式和勤奋务实的学习态度。课堂小结深化提高请学生小结本节课的主要内容，学生谈本节课的收获，其他学生补充，总结出本节课的重点与难点。知识重点：正弦定理 正弦定理解决两类解三角形问题： （1）已知两角和一边； （2）已知两边和其中一边所对的角。思维方法：从特殊到一般 分类讨论 转化师生互动，体现学生主体地位，改变老师总结的方法，由学生相互补充总结，再次让学生在脑海中呈现本

13、节课的重难点，达到教学目标作业布置板书设计必做：教材第四页练习，阅读与正弦定理有关的数学史。（印出资料发给学生）选做：查找资料，找出正弦定理的其他证明方法，写成小论文。板书设计正弦定理学生展示多媒体展示学生展示由于学生的注意力主要集中在黑板中央，所以本节课的知识主要由中间的多媒体呈现出来，两边空出的黑板留给学生展示，体现学生的主体地位教材练习主要是正弦定理的应用，帮助学生强化记忆公式，训练学生的计算能力。高中数学课程标准要求体现数学的文化价值，阅读正弦定理的发展史可以帮助学生了解正弦定理的由来，渗透数学文化。六 目标检测设计一 选择题1在ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，若A105

14、，B45，b2eq r(2)，则c等于()A1 B2 r(2) r(3)2在ABC中，已知A150，a3，则其外接圆的半径R的值为 ()A3 r(3) C2 D不确定3在ABC中，sin Asin C，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形4在ABC中，A60，a，b，则B等于( )A45或135 B60C45 D1355在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于( )A120 B105 C90 D75二 填空题6在ABC中，A60，a4eq r(3)，b4eq r(2)，则B等于 7在ABC中，若tan A，C150，BC1，

15、则AB_.8在ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b2a，BA60，则A_.三 解答题9（1）在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形（2）在ABC中，已知a2，b6，A30，解三角形10.如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B、D两点的仰角分别为75,30,于水面C处测得B、D两点的仰角分别为60,60,AC= km,试探究图中哪两点间距离与BD相等,并求BD(计算结果精确到 km, 设计意图：目标检测中的题目主要是运用正弦定理解三角形，帮助学生准确运用定理，规范书写，提高计算能力。个别题涉及到边角互

16、换，在上课过程中，老师没有指出具体怎样边角互换，但是正弦定理的外接圆证法引出了2R，成绩相对较好的同学可以解出。最后一个题是实际应用问题，学生可以仿照例二完成，让学生体会到正弦定理在解决实际问题中的作用。正弦定理教案说明建构主义学习观认为，学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己构建知识的过程。新课标倡导积极主动，用于探索的学习方式。基于这些理念的指导，考虑到教材内容编排特点和学生已有的认知水平。我设计本节课主要由教师的启发和学生的讨论组成，形成教师为主导，学生为主体的课堂模式。对于本节内容，我具体做了如下设计：（1）设计导学案，让学生提前预习，培养学生的自主学习能力。（2）课堂中

17、，首先以一首诗引入，提出测量塔的高度这一问题，然后检查学生的预习情况，鼓励学生从直角三角形的边角关系出发，猜想出正弦定理。然后通过学生的小组讨论，用两种方法完成正弦定理的证明，这是本节课的难点。在讨论证明和教师总结的过程中，教师注意渗透分类讨论，转化，从特殊到一般等数学思想方法。（3）引导学生从文字叙述，结构特点和方程的观点三个方面认识正弦定理，总结出正弦定理可以解决的两类解三角形问题。（4）通过两道例题和一个变式训练让学生准确运用正弦定理，提高计算能力，例题中又回到引入部分，告诉具体数据，计算塔的高度，让学生感受到正弦定理的应用价值。本节课之前，学生不知正弦定理内容和证明方法。通过教师的问题引导，学生的小组讨论，课堂练习。运用“观察类比猜想证明应用”这一思维方法证明并应用正弦定理。使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，感受到数学学习的苦与乐，从而达到本节课的教学目标。正弦定理点评 指导教师 张体富正弦定理的探究证明和简单应用是对三角知识的应用，同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。本节课，教师使学生通过对任意三角形边角关系的探索，发现并证明正弦定理，感受“类比猜想证明”的科学研究问