2021年新教材高中数学必修第二册6.4.1 平面几何中的向量方法 教学设计

1、2021 年新教材高中数学必修第二册： 6.4.1 平面几何中的向量方法本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教 A 版）第六章平面向量及 其应用，本节课主要学习用向量解决平面几何问题，进一步加深对向量工具性的理解。本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思 路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替 “数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的 运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单 地表述为:则

2、向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.课程目标A. 通过平行四边形这个几何模型 , 归纳总 结出用向量方法解决平面几何的问题的” 三步曲”；学科素养1.数学抽象：平面几何图形中的有关性质,如平移、全 等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量 积表示；B. 明确平面几何图形中的有关性质 , 如平 2.逻辑推理：用向量方法解决平面几何的问题的”三步 移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量 曲”；的线性运算及数量积表示；C.让学生深刻理解向量在处理平面几何问 题中的优越性.3.数学运算：向量的线性运算及数量积表示；4. 直观想象

3、：向量在处理平面几何问题中的优越性；5. 数学建模：通过向量运算的学习理解和体验实际问 题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意 识。1.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”； 2.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.多媒体第 1 页 共 6 页教学过程一、复习回顾，情境引入1. 向量的三角形法则教学设计意图核心素养目标AB BC AC。特点:首尾相接，连首尾。向量的平行四边形法则 OA OB OC通过复习前几节所 学知识，引入本节 新课。建立知识间 的联系，提高学生 概括、类比推理的 能力。特点:同一起点,对角线。2.向量减法的三角形法则

4、a b OA OB BA。特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。第 2 页 共 6 页2 22 22 2 23.平面向量的夹角公式cos a b | a | b |x1x x y y1 2 1 2y x y 1 2 24.模| a | a x y1 15.共线向量定理a / b(b 0) a b6.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何 的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的 一些问题二、探索新知例 1. 如图 6.4-1 ， DE 是 ABC 的中位线，用向量方法证明：1DE / BC

5、, DE BC2.通 过 例 题 让 学 生 了 解 用 向 量 方 法 证明几何问题，提高 学生的解决问题、分 析问题的能力。思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？ “三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；第 3 页 共 6 页通过思考，总 结用向量方法做几 (3)把运算结果“翻译”成几何关系.例 2.如图，已知平行四边形 ABCD，你能发现对角线 AC 和 BD 的长度 与两条邻边 AB 和 AD 的长度之间的关系吗？何问题的步骤，提 高学生分析

6、问题、 概括问题的能力。通过例题进一步熟 悉向量的工具作 用，提高学生用向 量解决几何知识解 决问题的能力。三、达标检测1已知在ABC 中，若ABa，ACb，且 ab0，则ABC 的形状为 ( )A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定答案 A2在直角三角形 ABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 1 P 满足OPOA (ABAC)，则|AP|等于( )21A2 B1 C. D42答案 B 1 解析 OPOA (ABAC)，2 1 1 OPOA (ABAC)，AP (ABAC)，2 2AP 为 eq oac(,Rt)ABC 斜边 BC 的中线|AP|1.3.

7、如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，CP3PD，APBP第 4 页 共 6 页通过练习巩固本节 所学知识，通过学 生解决问题的能 力，感悟其中蕴含 的数学思想，增强 学生的应用意识。 1 3 AD AB AD AB25，AB 2，则ABAD的值是_答案 22 1 1 1 解析 由CP3PD，得DP DC AB，APADDPAD AB，BPAP4 4 4 1 3 AB AD AB AB AD AB . 因 为 AP BP 2 ， 所 以4 4 4 4 1 3 2，即AD2 ADAB AB22.又因为AD22 16264，所以ABAD22.4如图所示，在ABC 中，点 O 是

8、BC 的中点过点 O 的直线分别交 直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若ABmAM，ACnAN，则 mn 的值为_答案 2 1 解析 O 是 BC 的中点，AO (ABAC)2 m n又ABmAM，ACnAN，AO AM AN.2 2m n又M，O，N 三点共线， 1，则 mn2.2 2四、小结1. 向量的有关知识；2.用向量解决几何问题的步骤； 五、作业习题 6.4 1,3 题通过总结，让学生 进 一 步 巩 固 本 节 所 学内容，提高概括能 力, 提高学生的数学 运 算 能 力 和 逻 辑 推 理能力。第 5 页 共 6 页在整个教学过程中 ,首先检查学生对学案的完成程度 ,大部分学生基本能按要求完成 ,少部分基 础较弱的没有完成紧接着提出向量的几何背景,提出平面几何问题是否可用向量知识来处理.在这一 背景下提出了(例 1)，对这个问题的解决，我的做法是充分让学生分析用向量方法解决这一几何问题的过程,并归纳出用向量方法解决平面几何问题的一般步骤,当然在探究过程中学生可能会分析 得不到位和归纳不全面 ,教师